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Paralelismo

Transversais, critérios e recíprocas

Use relações entre ângulos com atenção às hipóteses e às recíprocas dos teoremas.

Transversal e oito ângulos

Duas retas r e s cortadas pela mesma transversal t formam oito ângulos. Correspondentes ocupam a mesma posição relativa; alternos ficam em lados opostos de t; colaterais ficam no mesmo lado. Cada interseção também forma pares opostos pelo vértice e pares lineares.

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal As retas sólidas r e s possuem marcas idênticas de paralelismo. A transversal t forma oito ângulos numerados, quatro em cada ponto de interseção. r s t 1 2 3 4 5 6 7 8
As marcas iguais registram r ∥ s; a transversal t determina pares correspondentes, alternos e colaterais. Figura ilustrativa, sem escala.
Legenda do diagrama: correspondentes 1–5, 2–6, 3–7, 4–8; alternos internos 3–6 e 4–5; alternos externos 1–8 e 2–7; colaterais internos 3–5 e 4–6; colaterais externos 1–7 e 2–8.

Relações quando r∥s

  • correspondentes, alternos internos e alternos externos são congruentes;
  • colaterais internos e colaterais externos são suplementares;
  • opostos pelo vértice são congruentes independentemente do paralelismo;
  • adjacentes de um par linear somam 180°.

Critérios recíprocos

Para duas retas cortadas pela mesma transversal, basta que um par corretamente identificado de correspondentes ou alternos seja congruente, ou que um par de colaterais seja suplementar, para concluir paralelismo.

Transitividade e perpendicularidade

No mesmo plano, se r∥s e s∥u, então r∥u ou coincide conforme a convenção de retas distintas. Duas retas distintas e coplanares perpendiculares a uma mesma reta são paralelas.

Ângulos quebrados e linha auxiliar

Traçar pelo vértice uma paralela às retas dadas transporta ângulos por correspondência ou alternância. Some as parcelas somente após justificar cada transporte.

Pegadinhas

  • Dizer apenas “ângulos iguais provam paralelismo”.
  • Usar relações de paralelas sem r∥s ou sem uma recíproca válida.
  • Confundir colaterais com alternos.
  • Esquecer que opostos pelo vértice independem de paralelismo.
  • Usar linha auxiliar sem declarar seu paralelismo.

Questões resolvidas

1. Colaterais internos

Em r∥s, medem 3x+9 e 5x+11.

São suplementares: 8x+20=180.

x=20; medidas 69° e 111°.

2. Recíproca

Alternos externos medem 7x−13 e 4x+32.

Para garantir r∥s: 7x−13=4x+32.

x=15.

3. Ângulo quebrado

Duas paralelas e uma linha quebrada formam parcelas de 38° e 47° no vértice.

Trace uma paralela auxiliar pelo vértice.

Os ângulos transportados somam 38°+47°=85°.

Exercícios

Fácil

1. Em duas retas paralelas cortadas por transversal, alternos externos são:

A) congruentesB) complementaresC) sempre retosD) sem relação
Médio

2. Colaterais internos medem 2x+10 e 4x+20. x=

A) 20B) 25C) 30D) 35
Médio

3. No diagrama, r∥s. Se o ângulo 1 mede 72°, seu correspondente na outra interseção mede:

A) 18°B) 72°C) 108°D) 144°
Difícil

4. Duas retas são cortadas pela mesma transversal e um par de alternos internos é congruente. Conclui-se:

A) as retas são paralelasB) as retas são perpendicularesC) apenas que os ângulos são agudosD) nada
Difícil

5. Duas paralelas recebem duas transversais que formam, numa linha quebrada, ângulos de 32° e 58° com as paralelas. O ângulo interno entre os ramos é:

A) 26°B) 58°C) 90°D) 122°

Gabarito comentado:

1-A: É relação direta do paralelismo.

2-B: 6x+30=180, x=25.

3-B: Correspondentes em paralelas são congruentes.

4-A: É a recíproca, com o par e a transversal identificados.

5-C: Uma paralela auxiliar transporta as parcelas; 32°+58°=90°.

Resumo final

  • A posição do par angular é indispensável.
  • Correspondentes e alternos são congruentes em paralelas.
  • Colaterais são suplementares.
  • As recíprocas são critérios de paralelismo.
  • Linhas auxiliares devem ser justificadas.