Retas paralelas e transversal
Trabalharemos na geometria euclidiana plana. Coplanaridade, distinção e quantidade de pontos comuns fazem parte das definições; a aparência do desenho não substitui essas hipóteses.
Duas retas distintas, coplanares e sem ponto comum. Notação: r ∥ s.
Duas retas coplanares com exatamente um ponto comum.
Possuem todos os pontos em comum. Nesta página, não são chamadas de paralelas, pois adotamos paralelismo entre retas distintas.
Reta que intercepta duas ou mais retas em pontos distintos.
Retas perpendiculares são concorrentes que formam ângulos retos; portanto, não são paralelas. Duas paralelas permanecem à mesma distância, mas essa observação não será usada isoladamente como definição.
Duas retas cortadas por uma transversal
A faixa entre r e s é a região interna; as regiões fora dessa faixa são externas. “Correspondentes”, “alternos” e “colaterais” descrevem posições e podem ser reconhecidos antes de saber se r ∥ s. Congruência ou suplementaridade dependerá do paralelismo, salvo OPV e pares lineares.
Classificação dos pares angulares
| Par | Posição | Pares no diagrama | Se r ∥ s |
|---|---|---|---|
| Correspondentes | mesma posição relativa | 1–5, 2–6, 3–7, 4–8 | congruentes |
| Alternos internos | internos, lados opostos de t | 3–6, 4–5 | congruentes |
| Alternos externos | externos, lados opostos de t | 1–8, 2–7 | congruentes |
| Colaterais internos | internos, mesmo lado de t | 3–5, 4–6 | suplementares |
| Colaterais externos | externos, mesmo lado de t | 1–7, 2–8 | suplementares |
| Opostos pelo vértice | opostos na mesma interseção | 1–4, 2–3, 5–8, 6–7 | congruentes mesmo sem r ∥ s |
Pares lineares
São ângulos adjacentes cujos lados não comuns são semirretas opostas; por isso, somam 180°. Essa propriedade e a congruência dos OPV independem de r ∥ s. Exemplos no ponto superior: 1–2, 2–4, 4–3 e 3–1.
Relações quando r ∥ s
São congruentes: m(∠1) = m(∠5), e analogamente nos demais pares correspondentes.
São congruentes: m(∠3) = m(∠6) e m(∠4) = m(∠5).
São congruentes: m(∠1) = m(∠8) e m(∠2) = m(∠7).
São suplementares: m(∠3) + m(∠5) = 180° e m(∠4) + m(∠6) = 180°.
São suplementares: m(∠1) + m(∠7) = 180° e m(∠2) + m(∠8) = 180°.
Se m(∠1) = α, então 1, 4, 5 e 8 medem α; 2, 3, 6 e 7 medem 180° − α. Portanto, os oito ângulos assumem somente duas medidas, suplementares entre si.
Exemplo: m(∠1) = 68°.
∠4 = 68° por OPV; ∠5 = 68° por correspondência; ∠8 = 68° por OPV de 5.
∠2 é par linear de 1: 180° − 68° = 112°. Por OPV e correspondência, ∠3, ∠6 e ∠7 também medem 112°.
Verificação: todo par linear soma 68° + 112° = 180°, e todos os correspondentes possuem a mesma medida.
Encadeamento sem circularidade
Adotando como resultado fundamental que correspondentes em paralelas são congruentes: ∠2 e ∠6 são correspondentes, então m(∠2)=m(∠6). Como ∠2 e ∠3 são OPV, m(∠2)=m(∠3). Pela transitividade, m(∠3)=m(∠6), provando a congruência dos alternos internos 3 e 6.
Além disso, ∠5 e ∠6 formam um par linear, logo m(∠5)+m(∠6)=180°. Substituindo m(∠6) por m(∠3), obtemos m(∠3)+m(∠5)=180°: os colaterais internos 3 e 5 são suplementares.
Critérios recíprocos de paralelismo
O teorema direto parte de r ∥ s e conclui uma relação angular. A recíproca parte de uma relação angular, em posição corretamente identificada, e conclui r ∥ s.
- Correspondentes congruentes ⇒ retas paralelas.
- Alternos internos congruentes ⇒ retas paralelas.
- Alternos externos congruentes ⇒ retas paralelas.
- Colaterais internos suplementares ⇒ retas paralelas.
- Colaterais externos suplementares ⇒ retas paralelas.
Justificativa da recíproca dos correspondentes
Pelo ponto B em s, trace a única reta u paralela a r. O teorema direto garante que o ângulo correspondente formado por u e t é congruente ao ângulo correspondente em r. Se, por hipótese, o ângulo formado por s e t na mesma posição também tem essa medida, a semirreta de s coincide com a de u nessa posição. Logo s = u e, portanto, s ∥ r. A unicidade impede uma segunda reta distinta por B com a mesma direção paralela.
Método para resolver questões
- Identifique
Retas envolvidas e a transversal comum.
- Separe a direção lógica
O paralelismo foi dado ou precisa ser provado?
- Classifique o par
Correspondente, alterno, colateral, OPV ou par linear.
- Escolha a relação
Congruência ou suplementaridade, com o motivo.
- Monte a equação
Use as expressões completas das medidas.
- Resolva
Encontre x sem perder sinais ou unidades.
- Responda ao pedido
x pode não ser a medida angular solicitada.
- Verifique
Substitua x nas expressões originais.
- Teste a possibilidade
Medidas devem ser positivas e compatíveis com a relação.
Três modelos algébricos
Correspondentes em r ∥ s: 4x + 8° e 6x − 22°.
4x + 8 = 6x − 22 ⇒ 2x = 30 ⇒ x = 15.
4·15 + 8 = 68° e 6·15 − 22 = 68°.
Verificação: as medidas coincidem, como exige o teorema direto.
Colaterais internos: 3x + 9° e 5x + 11°.
(3x + 9) + (5x + 11) = 180 ⇒ 8x + 20 = 180 ⇒ x = 20.
Medidas: 69° e 111°.
Verificação: 69° + 111° = 180°.
Recíproca: alternos externos medem 7x − 13° e 4x + 32°. Determine x para que as retas sejam paralelas.
Para garantir paralelismo: 7x − 13 = 4x + 32 ⇒ 3x = 45 ⇒ x = 15.
As duas medidas valem 92°.
Verificação: 7·15 − 13 = 92° e 4·15 + 32 = 92°.
Conclusão: para x = 15, o critério recíproco permite afirmar que as retas são paralelas.
Transitividade e perpendicularidade
Se r, s e u são distintas, r ∥ s e s ∥ u, então r ∥ u. Se a distinção entre r e u não for dada, elas também podem coincidir.
Se r e s são distintas e coplanares, r ⟂ t e s ⟂ t, então r ∥ s.
No segundo caso, t funciona como transversal e produz ângulos correspondentes retos, ambos de 90°. Pela recíproca dos correspondentes, r ∥ s. A teoria mais ampla de perpendicularidade fica para a próxima aula.
Linha paralela auxiliar e “ângulos quebrados”
“Ângulo quebrado” é um nome informal para uma linha poligonal. Ao traçar uma paralela auxiliar pelo vértice V, declare a qual reta ela é paralela e use correspondentes ou alternos para transportar cada medida. Soma, diferença ou suplemento depende da posição dos ramos e do ângulo pedido.
Pegadinhas e contraexemplos
- Hipótese ausente
Não use relações de paralelas sem r ∥ s dado ou provado.
- Ângulos quaisquer
Congruência isolada não prova paralelismo; o par e a transversal precisam ser identificados.
- Direto × recíproca
Um começa com paralelismo; o outro termina provando paralelismo.
- Alternos × colaterais
Alternos ficam em lados opostos de t; colaterais, no mesmo lado.
- Correspondentes × OPV
Correspondentes estão em interseções diferentes; OPV, na mesma.
- Colaterais
Em paralelas são suplementares, não congruentes em geral.
- Relações locais
OPV e pares lineares independem de r ∥ s.
- Aparência
Retas que parecem paralelas ou ângulos que parecem iguais ainda exigem marcas ou hipóteses.
- Linha auxiliar
Declare seu paralelismo e justifique cada transferência.
- Linha quebrada
Verifique a orientação antes de somar, subtrair ou suplementar.
- x × medida
Depois de encontrar x, calcule o ângulo pedido.
- Possibilidade
Substitua x e confirme medidas positivas e coerentes.
Questões resolvidas passo a passo
1. Identificação no diagrama principal
Classifique os pares 2–6, 4–5, 1–7 e 2–3.
Hipóteses: use as regiões e a transversal t do diagrama principal; a classificação não exige supor r ∥ s.
Relação e motivo: compare região interna/externa, lado da transversal e interseção ocupada.
Resolução: 2–6 são correspondentes; 4–5, alternos internos; 1–7, colaterais externos; 2–3, OPV.
Resultado pedido: são essas quatro classificações; não há equação numérica nesta questão conceitual.
Se r ∥ s: m(∠2)=m(∠6), m(∠4)=m(∠5) e m(∠1)+m(∠7)=180°. Sempre vale m(∠2)=m(∠3) por OPV.
Verificação: correspondentes ficam em interseções diferentes; OPV, na mesma.
2. Sete medidas a partir de uma
No diagrama principal, r ∥ s e m(∠1)=68°.
Hipóteses: r ∥ s, t transversal e m(∠1)=68°.
Relações e motivos: OPV e correspondentes conservam a medida; pares lineares são suplementares.
Equação: 68° + β = 180°, então β = 112°.
Resultado: m(∠4)=m(∠5)=m(∠8)=68° e m(∠2)=m(∠3)=m(∠6)=m(∠7)=112°.
Verificação: em cada interseção, 68°+112°+68°+112°=360°.
3. Correspondentes algébricos
Em r ∥ s, dois correspondentes medem 4x+8° e 6x−22°.
Hipóteses: r ∥ s, mesma transversal e o par é correspondente.
Relação e motivo: correspondentes em paralelas são congruentes.
Equação e resolução: 4x+8=6x−22 ⇒ 2x=30 ⇒ x=15.
Medida pedida: 4·15+8=68°.
Verificação: 6·15−22=68°, a mesma medida.
4. Colaterais internos algébricos
Em r ∥ s, medem 3x+9° e 5x+11°.
Hipóteses: r ∥ s, mesma transversal e o par é colateral interno.
Relação e motivo: colaterais internos em paralelas são suplementares.
Equação e resolução: (3x+9)+(5x+11)=180 ⇒ 8x+20=180 ⇒ x=20.
Medidas pedidas: 3·20+9=69° e 5·20+11=111°.
Verificação: 69°+111°=180°.
5. Alternos internos
Em r ∥ s, alternos internos medem 5x−7° e 3x+29°.
Hipóteses: r ∥ s, mesma transversal e o par é alterno interno.
Relação e motivo: alternos internos em paralelas são congruentes.
Equação e resolução: 5x−7=3x+29 ⇒ 2x=36 ⇒ x=18.
Medida pedida: 5·18−7=83°.
Verificação: 3·18+29=83°, a mesma medida.
6. Critério recíproco
Alternos externos medem 7x−13° e 4x+32°. Determine x para garantir paralelismo.
Hipóteses: duas retas coplanares, a mesma transversal e um par alterno externo.
Relação e motivo: para aplicar a recíproca, o par deve ser congruente.
Equação e resolução: 7x−13=4x+32 ⇒ 3x=45 ⇒ x=15.
Medidas pedidas: 92° e 92°.
Verificação: 7·15−13 = 4·15+32 = 92°.
Conclusão: a congruência dos alternos externos permite afirmar que as retas são paralelas.
7. Perpendicularidade comum
r e s são distintas e coplanares, r ⟂ t e s ⟂ t. Prove r ∥ s.
Hipóteses: r e s são distintas e coplanares; r ⟂ t e s ⟂ t.
Relação e motivo: cada interseção com t contém um ângulo correspondente reto.
Equação: 90°=90°, logo o par correspondente é congruente.
Resultado: pela recíproca dos correspondentes, r ∥ s.
Verificação: distinção e coplanaridade excluem coincidência e retas reversas.
8. Linha auxiliar: soma
Na configuração abaixo, as retas horizontais e a auxiliar por V são paralelas. Calcule o ângulo interno marcado.
Hipóteses: as duas horizontais e a reta tracejada por V são paralelas; os ramos ficam em lados opostos da auxiliar.
Relação e motivo: correspondentes ou alternos transportam 38° e 47° para V.
Equação e resolução: θ=38°+47°=85°.
Medida pedida: θ=85°.
Verificação: as parcelas ocupam exatamente o arco verde e 85° é uma medida angular possível.
9. Linha auxiliar: diferença
Dois ramos partem de V para o mesmo lado da direção paralela, com inclinações 58° e 32°. Determine o menor ângulo.
Hipóteses: os dois ramos partem de V, ficam no mesmo lado da direção paralela e o menor ângulo é pedido.
Relação e motivo: a abertura menor é a diferença entre as inclinações medidas a partir da mesma direção.
Equação e resolução: θ=58°−32°=26°.
Medida pedida: θ=26°.
Verificação: 32°+26°=58°; somar 58°+32° representaria outra região.
10. OPV, par linear e paralelismo
No diagrama principal, r ∥ s, m1=3x+8° e m3=5x+12°. Determine x, m6 e m8.
Hipóteses: r ∥ s, t transversal e as expressões medem ∠1 e ∠3.
Relação e motivo: 1 e 3 formam par linear; depois, usam-se alternos internos e externos.
Equação e resolução: (3x+8)+(5x+12)=180 ⇒ 8x+20=180 ⇒ x=20.
Medidas pedidas: m(∠1)=68°, m(∠3)=112°, m(∠6)=112° e m(∠8)=68°.
Verificação: 68°+112°=180°; os pares alternos têm medidas iguais.
Exercícios
1. No plano, duas retas distintas e sem ponto comum são; e uma reta que as intercepta em pontos diferentes é:
2. No diagrama principal, qual par é correspondente?
3. No diagrama principal, qual par é alterno interno?
4. No diagrama principal, qual par é colateral interno?
5. No diagrama principal, r ∥ s e m(∠1)=74°. Quanto mede seu correspondente ∠5?
6. No diagrama principal, r ∥ s e m(∠1)=62°. Quanto mede ∠6?
7. Correspondentes em r ∥ s medem 4x+8° e 6x−22°. Qual par contém x e a medida comum?
8. Colaterais internos em paralelas medem 3x+9° e 5x+11°. x vale:
9. No diagrama principal, r ∥ s, m(∠2)=3x+5° e m(∠3)=5x−15°. Quanto mede ∠6?
10. Alternos externos medem 7x−13° e 4x+32°. Para garantir que as retas coplanares sejam paralelas, x deve valer:
11. r e s são distintas e coplanares, r ⟂ t e s ⟂ t. Logo:
12. No diagrama principal, r ∥ s, m1=3x+8° e m3=5x+12°. Quanto mede ∠8?
13. Colaterais externos medem 5x+10° e 3x+26°. Para que a recíproca garanta paralelismo, x vale:
14. Na configuração de diferença da seção “Linha paralela auxiliar”, duas inclinações no mesmo lado medem (5x+3)° e (2x+9)°. Se o menor ângulo entre os ramos mede 36°, quais são x e a maior inclinação?
15. Em lados opostos de uma paralela auxiliar, as parcelas de um ângulo medem (3x+2)° e (2x+8)°. O ângulo adjacente a essa soma mede 95°. Quais são x e a medida do ângulo formado pelas parcelas?
Gabarito comentado:
1-B: paralelas são distintas, coplanares e disjuntas; transversal intercepta ambas em pontos diferentes.
2-A: 2–6 ocupam a mesma posição relativa. B é alterno interno, C colateral interno e D OPV.
3-C: 4–5 são internos e ficam em lados opostos de t.
4-D: 3–5 são internos e ficam no mesmo lado da transversal.
5-B: correspondentes em paralelas são congruentes: m5=m1=74°.
6-C: m2=180°−62°=118° e ∠6 corresponde a ∠2.
7-A: 4x+8=6x−22 dá x=15; ambas as expressões valem 68°.
8-B: colaterais internos são suplementares: 8x+20=180, x=20.
9-A: 2 e 3 são OPV: 3x+5=5x−15, x=10, m2=35°; ∠6 corresponde a ∠2.
10-C: alternos externos congruentes formam critério recíproco: 7x−13=4x+32, x=15.
11-B: os correspondentes formados com t são retos; pela recíproca, r ∥ s.
12-D: 1 e 3 são par linear: 8x+20=180, x=20 e m1=68°; ∠8 é alterno externo de ∠1.
13-B: a recíproca exige soma 180°: 5x+10+3x+26=180, então x=18.
14-A: no mesmo lado, a diferença é 36°: (5x+3)−(2x+9)=36 ⇒ 3x−6=36 ⇒ x=14; a maior inclinação é 5·14+3=73°.
15-C: o ângulo das parcelas é suplementar a 95°, então mede 85°. Assim, (3x+2)+(2x+8)=85 ⇒ 5x+10=85 ⇒ x=15.
Resumo final
Retas distintas, coplanares e sem ponto comum.
Intercepta as retas em pontos distintos; a faixa entre elas é interna.
Em paralelas, são congruentes.
Em paralelas, internos ou externos são suplementares.
Independem do paralelismo: OPV congruentes; par linear soma 180°.
O direto usa r ∥ s; a recíproca prova r ∥ s a partir de um par válido.
Correspondentes/alternos congruentes ou colaterais suplementares.
Transitividade e retas distintas coplanares perpendiculares à mesma reta.
Declare o paralelismo e justifique cada transporte angular.
Orientação determina soma, diferença ou suplemento.