Definição, elementos e notação
Na geometria elementar, duas semirretas de mesma origem formam a configuração básica de um ângulo. Para interpretar corretamente um enunciado, convém distinguir três ideias relacionadas, mas não idênticas.
Configuração formada por duas semirretas de mesma origem.
Uma das regiões determinadas pelos lados. Pode ser escolhida a abertura menor ou a abertura reflexa.
Giro de uma semirreta inicial até uma semirreta final, com medida e sentido definidos.
Indica qual região ou giro está sendo medido; a dupla de lados, sozinha, pode não eliminar a ambiguidade.
Em ∠AOB ou AÔB, O é o vértice e deve aparecer no meio. Os lados são a , semirreta de origem O que passa por A, e a , semirreta de origem O que passa por B. A escrita sem seta pode representar um segmento ou seu comprimento, conforme a convenção; por isso, a natureza do objeto deve ser explicitada.
- Vértice: origem comum O.
- Lados: as duas semirretas que partem de O.
- Região interna: região angular escolhida como interior.
- Região externa: a outra região determinada pelos mesmos lados.
Quando não houver ambiguidade, a medida pode ser indicada por uma letra grega, como α ou β. Em uma leitura introdutória de rotação, o sentido anti-horário é o contrário do movimento dos ponteiros do relógio; o horário segue esse movimento. Nesta aula, não trataremos de várias voltas nem de ângulos orientados avançados.
Classificação pela medida
Nesta primeira classificação, consideramos medidas entre 0° e 360°. Um grau é 1/360 de uma volta completa. As faixas abaixo não se sobrepõem.
Os extremos merecem atenção: 0° é nulo, não agudo; 90° é reto, não agudo nem obtuso; 180° é raso, não obtuso nem reflexo; 360° é completo, não reflexo.
Convexidade é outro critério
Nesta página, chamaremos de convexo o ângulo com 0° < α < 180° e de côncavo o ângulo reflexo, com 180° < α < 360°. Nulo, raso e completo serão tratados como casos-limite separados. Assim, “agudo” e “convexo” não são classificações concorrentes: todo agudo é convexo, mas também há ângulos retos e obtusos convexos.
Graus, minutos e segundos
O sistema sexagesimal divide cada unidade em 60 partes. Minutos e segundos de arco são unidades angulares; não representam tempo neste contexto.
De graus decimais para graus, minutos e segundos
Exemplo: converter 38,625°.
Conserve 38°. Multiplique a parte decimal: 0,625 × 60 = 37,5′.
Conserve 37′. Converta a parte decimal restante: 0,5 × 60 = 30″.
Resultado: 38,625° = 38°37′30″.
Verificação: 38 + 37/60 + 30/3.600 = 38,625.
De graus, minutos e segundos para decimal
Exemplo: converter 27°15′36″.
27 + 15/60 + 36/3.600 = 27 + 0,25 + 0,01.
Resultado: 27,26°.
Verificação: 0,26 × 60 = 15,6′ e 0,6 × 60 = 36″.
Normalização
Uma escrita normalizada usa minutos e segundos entre 0 e 59. Assim, 75″ = 1′15″ e 82′ = 1°22′. As unidades excedentes são transportadas para a posição imediatamente superior.
Adição sexagesimal
Calcule: 28°45′50″ + 17°36′25″.
Segundos: 50″ + 25″ = 75″ = 1′15″.
Minutos: 45′ + 36′ + 1′ = 82′ = 1°22′.
Graus: 28° + 17° + 1° = 46°.
Resultado: 46°22′15″.
Subtração com empréstimo
Calcule: 42°18′20″ − 17°45′35″.
Como 20″ < 35″, será necessário obter 60″ de um minuto. Antes, como 18′ < 45′, empreste 1° = 60′: 42°18′20″ = 41°78′20″.
Agora empreste 1′ = 60″: 41°78′20″ = 41°77′80″.
Subtraia por unidade: 80″ − 35″ = 45″; 77′ − 45′ = 32′; 41° − 17° = 24°.
Resultado: 24°32′45″.
Verificação: 24°32′45″ + 17°45′35″ = 42°18′20″ após normalizar.
Radianos
Considere um ângulo central que determina, numa circunferência, um arco de comprimento s e raio r. Sua medida em radianos é:
s e r devem ser expressos na mesma unidade. Por isso, s/r é uma razão adimensional; o nome “radiano” indica como interpretamos a medida angular resultante. Se s = r, então θ = r/r = 1 rad: um radiano é o ângulo central cujo arco tem comprimento igual ao raio.
Multiplique por π e divida por 180.
Multiplique por 180 e cancele π quando possível.
Exemplo 1: 150° × π/180 = (150/180)π.
Dividindo numerador e denominador por 30: 150/180 = 5/6.
Resultado: 150° = 5π/6 rad.
Exemplo 2: (7π/4) × (180/π).
Cancele π e simplifique 180/4 = 45: 7 × 45° = 315°.
Resultado: 7π/4 rad = 315°.
Relações entre ângulos
Possuem a mesma medida, ainda que estejam em posições diferentes.
Possuem o mesmo vértice e pelo menos um lado comum.
São consecutivos e suas regiões internas não se sobrepõem.
Todo par adjacente é consecutivo; nem todo par consecutivo é adjacente.
Complementaridade, suplementaridade e replementaridade dependem da soma das medidas, não da posição. Portanto, dois ângulos podem ser complementares ou suplementares sem estarem lado a lado.
C(α) = 90° − α existe como medida não negativa para 0° ≤ α ≤ 90°.
S(α) = 180° − α existe como medida não negativa para 0° ≤ α ≤ 180°.
R(α) = 360° − α existe como medida não negativa para 0° ≤ α ≤ 360°.
Dois ângulos adjacentes e suplementares cujos lados não comuns são semirretas opostas.
Fora desses domínios, a subtração fornece resultado negativo e não representa complemento, suplemento ou replemento no conjunto de medidas adotado.
Complemento de 37°: 90° − 37° = 53°.
Suplemento de 124°: 180° − 124° = 56°.
Replemento de 215°: 360° − 215° = 145°.
Ao redor de um ponto: 80° + 135° + x = 360°, logo x = 145°.
Opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes formam quatro ângulos. Cada par de ângulos opostos pelo vértice (OPV) é congruente; ângulos adjacentes formam pares lineares e somam 180°.
Por que os opostos são congruentes?
Se α + β = 180° e γ + β = 180°, então α + β = γ + β.
Subtraindo β dos dois membros, obtemos α = γ.
A conclusão vem dos pares lineares, não da aparência da figura.
Exemplo completo
Dois OPV medem 3x + 20° e 5x − 10°.
Como são congruentes: 3x + 20 = 5x − 10.
2x = 30, logo x = 15.
Medida: 3 × 15 + 20 = 65°. Verificação: 5 × 15 − 10 = 65°.
Cada adjacente mede 180° − 65° = 115°.
Bissetriz
A bissetriz é a semirreta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. Se o total mede θ, cada parte mede θ/2; se cada parte mede α, o total mede 2α.
Exemplo direto: um ângulo de 86° é dividido por sua bissetriz.
Cada parte mede 86°/2 = 43°.
Verificação: 43° + 43° = 86°.
Exemplo algébrico: as partes medem 3x − 4° e x + 18°.
Como são congruentes: 3x − 4 = x + 18, então 2x = 22 e x = 11.
Primeira expressão: 3 × 11 − 4 = 29°. Segunda: 11 + 18 = 29°.
O ângulo total mede 29° + 29° = 58°.
Pegadinhas e erros comuns
- Raso × completo
180° é meia-volta; 360° é uma volta inteira.
- Extremos das faixas
90° é reto, 180° é raso e 360° é completo; não pertencem às faixas abertas vizinhas.
- Consecutivo × adjacente
Lado comum não basta: adjacentes também exigem interiores sem sobreposição.
- Posição desnecessária
Complementares e suplementares não precisam estar lado a lado; basta a soma correta.
- Aparência não é hipótese
Não conclua igualdade, perpendicularidade ou bissetriz apenas pelo desenho.
- Unidades de arco
′ e ″ indicam minutos e segundos angulares, não tempo.
- Decimal não é sexagesimal
0,5° vale 30′, não 50′.
- Normalização
Valores com 60′ ou 60″ devem ser transportados para a unidade superior.
- Empréstimos
Na subtração, 1° fornece 60′ e 1′ fornece 60″.
- Graus × radianos
Converta tudo para a mesma unidade antes de somar ou comparar.
- OPV × adjacentes
OPV são congruentes; adjacentes em par linear são suplementares, não necessariamente iguais.
- x não é sempre a resposta
Depois de encontrar x, calcule a medida pedida e faça a verificação.
- Domínios
Um “complemento” negativo não é medida angular válida no conjunto adotado.
- Rotação coincidente
Lados coincidentes podem representar 0° ou 360°; o giro considerado distingue os casos.
Questões resolvidas passo a passo
1. Notação e classificação
Em ∠COD, a abertura considerada mede 205°. Identifique vértice, lados e classificação.
Leitura: a letra central O é o vértice.
Lados: semirreta de origem O que passa por C e semirreta de origem O que passa por D.
Classificação: 180° < 205° < 360°, portanto o ângulo é reflexo ou côncavo.
Verificação: não é raso porque não mede 180°, nem completo porque não mede 360°.
2. Decimal para sexagesimal
Converta 52,4375° para graus, minutos e segundos.
Conserve 52° e calcule 0,4375 × 60 = 26,25′.
Conserve 26′ e calcule 0,25 × 60 = 15″.
Resultado: 52°26′15″.
Verificação: 52 + 26/60 + 15/3.600 = 52,4375°.
3. Adição com normalização
Calcule 35°48′55″ + 12°27′18″.
55″ + 18″ = 73″ = 1′13″.
48′ + 27′ + 1′ = 76′ = 1°16′.
35° + 12° + 1° = 48°.
Resultado: 48°16′13″.
Verificação: minutos e segundos finais estão entre 0 e 59.
4. Graus para radianos
Converta 210° para radianos.
Use θrad = θgraus × π/180.
210° × π/180 = (210/180)π = (7/6)π.
Resultado: 7π/6 rad.
Verificação: 210° é maior que 180°, então a medida deve ser maior que π rad.
5. Ângulo e complemento
Um ângulo é 18° maior que seu complemento. Determine ambos.
Se o ângulo é α, seu complemento é 90° − α; o domínio exige 0° ≤ α ≤ 90°.
Monte: α = (90° − α) + 18°.
2α = 108°, logo α = 54°.
Complemento: 90° − 54° = 36°.
Verificação: 54° + 36° = 90° e 54° é 18° maior que 36°.
6. OPV e par linear
Dois OPV medem 4x + 5° e 6x − 35°. Determine x, esses ângulos e os adjacentes.
OPV são congruentes: 4x + 5 = 6x − 35.
2x = 40, então x = 20.
Medida dos OPV: 4 × 20 + 5 = 85°. Pela outra expressão: 6 × 20 − 35 = 85°.
Adjacentes: 180° − 85° = 95°.
Verificação: 85° + 95° = 180°.
7. Bissetriz algébrica
As partes criadas por uma bissetriz medem 5x − 13° e 3x + 15°. Determine o ângulo total.
A bissetriz cria partes congruentes: 5x − 13 = 3x + 15.
2x = 28, logo x = 14.
Cada parte: 5 × 14 − 13 = 57°; pela outra expressão, 3 × 14 + 15 = 57°.
Total: 2 × 57° = 114°.
Verificação: as duas expressões coincidem.
8. Ao redor de um ponto
Três ângulos ao redor de um ponto medem 72°, 118° e 2x + 10°. Determine x e a terceira medida.
Uma volta completa soma 360°.
72 + 118 + (2x + 10) = 360.
200 + 2x = 360, então x = 80.
Terceiro ângulo: 2 × 80 + 10 = 170°.
Verificação: 72° + 118° + 170° = 360°.
Exercícios
1. Em ∠AOB, quais são o vértice e os lados?
2. Um ângulo de 180° é:
3. O complemento de 37° mede:
4. O suplemento de 124° mede:
5. A forma sexagesimal de 23,375° é:
6. A forma decimal de 27°15′36″ é:
7. A medida 225° corresponde, em radianos, a:
8. Uma bissetriz cria partes 4x − 7° e 2x + 19°. O ângulo total mede:
9. Dois OPV medem 3x + 15° e 5x − 25°. Um ângulo adjacente a eles mede:
10. Calcule 50°12′10″ − 23°48′35″.
11. Dois OPV medem 2x + 10° e 4x − 30°. Qual par apresenta x e a medida de um adjacente?
12. Ao redor de um ponto, os ângulos medem 2x + 10°, x + 20° e 3x − 30°. O valor de x é:
Gabarito comentado:
1-B: em ∠AOB, O está no meio e é o vértice; os lados são semirretas, não comprimentos.
2-C: 180° é ângulo raso. “Obtuso” exige medida estritamente menor que 180°.
3-A: 90° − 37° = 53°. A soma 37° + 53° confirma a complementaridade.
4-B: 180° − 124° = 56°. A alternativa D usa 360° e daria o replemento.
5-B: 0,375 × 60 = 22,5′ e 0,5 × 60 = 30″; portanto 23°22′30″.
6-C: 27 + 15/60 + 36/3.600 = 27 + 0,25 + 0,01 = 27,26°.
7-D: 225 × π/180 = 5π/4. A fração 225/180 simplifica por 45.
8-C: 4x − 7 = 2x + 19 dá x = 13; cada parte mede 45° e o total, 90°.
9-B: 3x + 15 = 5x − 25 dá x = 20 e os OPV medem 75°; o adjacente mede 180° − 75° = 105°.
10-C: 50°12′10″ = 49°71′70″; subtraindo, obtemos 26°23′35″.
11-D: 2x + 10 = 4x − 30 dá x = 20; os OPV medem 50° e o adjacente, 130°.
12-B: (2x + 10) + (x + 20) + (3x − 30) = 360, então 6x = 360 e x = 60.
Resumo final
Em ∠AOB ou AÔB, O é o vértice e os lados são semirretas de origem O.
Nulo 0°; agudo entre 0° e 90°; reto 90°; obtuso entre 90° e 180°; raso 180°; reflexo entre 180° e 360°; completo 360°.
1° = 60′, 1′ = 60″ e 1° = 3.600″.
π rad = 180°; use graus × π/180 e radianos × 180/π.
Complementares 90°, suplementares 180° e replementares 360°.
Adjacentes são consecutivos com interiores disjuntos; ao redor de um ponto, a soma é 360°.
OPV são congruentes; pares lineares são adjacentes e somam 180°.
Divide o ângulo em duas partes congruentes e precisa ser informada ou marcada.