Troncos de pirâmide e de cone

Definição e formação por corte paralelo

Um tronco de pirâmide ou de cone é obtido quando um plano paralelo ao plano da base intercepta o sólido entre a base e o ápice. O corte separa um sólido menor semelhante ao original e o tronco restante.

O tronco tem uma base maior e uma menor, situadas em planos paralelos. As bases são semelhantes e homotéticas; sua altura é a distância perpendicular entre esses planos. No tronco de pirâmide, as faces laterais são trapézios. No regular, são trapézios isósceles congruentes. No tronco de cone circular reto, a lateral é curva, as bases são coaxiais e a geratriz é constante.

Superfície × sólido. A superfície reúne bases e lateral; o sólido inclui também o interior, cujo volume será calculado.

Somente o corte paralelo garante uma única razão de semelhança. O corte oblíquo pode produzir bases não semelhantes e medidas laterais diferentes. Esquema sem escala.

Elementos e notação

Símbolo	Significado
A_M, A_m	áreas das bases maior e menor
P_M, P_m	perímetros das bases maior e menor
R, r	raios maior e menor, independentemente da posição
h	distância perpendicular entre os planos das bases
g	geratriz do cone ou apótema lateral da pirâmide
H, x	alturas do sólido original e do menor retirado
k	razão linear: menor/original

Para um tronco próprio: A_M > A_m > 0 e h > 0. No cone: R > r > 0. Na pirâmide regular, os centros das bases e o ápice original são alinhados; g é a altura de cada trapézio lateral, e não sua aresta oblíqua.

Linhas douradas indicam alturas perpendiculares; g acompanha a face lateral. R e r indicam tamanho, não posição. Esquema sem escala.

Semelhança entre o sólido menor e o original

O paralelismo torna os sólidos semelhantes. Com k = medida menor/medida original, temos 0 < k < 1:

x H = r R = P m P M = k

A m A M = k² e V m V o = k³

Logo, k = √(A_m/A_M) = ∛(V_m/V_o). Comprimentos e perímetros variam com k; áreas, com k²; volumes, com k³.

Reconstrução das alturas

Como h = H − x e x/H = k, então x = kH e h = H(1 − k). Portanto:

H = h 1 - k x = kh 1 - k

No tronco de cone, k = r/R:

H = Rh R - r x = rh R - r

Essas formas exigem R > r. Se R = r, o denominador zera porque nenhum cone finito não degenerado produz esse cilindro por um único corte paralelo.

Derivação do volume geral

Considere A_M como a área da base maior, A_m a menor, H a altura original, x a parte retirada e h a altura do tronco.

Passo a passo da dedução

Subtraia o volume do sólido menor do volume original. Pela semelhança, A_m=k²A_M e x=kH.
V = A_MH(1 − k³)/3
Use H=h/(1−k) e fatore a diferença de cubos.
1 − k³ = (1 − k)(1 + k + k²)
Cancele o fator 1−k.
V = A_Mh(1 + k + k²)/3
Substitua A_Mk=√(A_MA_m) e A_Mk²=A_m.
V = h[A_M + A_m + √(A_MA_m)]/3

Fórmula final

V = h[A_M + A_m + √(A_MA_m)]/3

Hipóteses: bases paralelas, semelhantes e homotéticas; corte paralelo em pirâmide ou cone; h perpendicular às bases; áreas na mesma unidade quadrada.

Volume do tronco de cone circular reto

Substituindo A_M = πR² e A_m = πr² na fórmula geral, temos √(A_MA_m) = πRr:

V = πh(R² + Rr + r²) 3

Quando V, R e r são conhecidos, h = 3V/[π(R² + Rr + r²)]. Isolar R ou r gera, em geral, uma equação quadrática e exige selecionar a raiz geometricamente admissível.

Geratriz e áreas do tronco de cone

Na seção axial do tronco circular reto, h e R − r são os catetos e g é a hipotenusa:

g² = h² + (R - r)²

A relação não vale globalmente em tronco oblíquo, cujas geratrizes podem ter medidas diferentes.

Área lateral

Se G e g_m são as geratrizes dos cones original e menor, a semelhança fornece G = Rg/(R − r) e g_m = rg/(R − r). Então:

A L = πRG - πrg m = πg(R² - r²) R - r = π(R + r)g

Área total e recipientes

A T = π(R + r)g + πR² + πr²

aberto na base menor: retire πr²;
aberto na base maior: retire πR²;
sem as duas bases: use somente A_L.

Planificação lateral do tronco de cone

A lateral planificada é um setor anular. Para R > r, seus raios externo e interno e seu ângulo central em radianos são:

G = Rg R - r g m = rg R - r θ = 2π(R - r) g

O arco externo tem comprimento θG = 2πR e o interno, θg_m = 2πr. A área θ(G² − g_m²)/2 simplifica para π(R + r)g.

Os arcos do setor tornam-se as circunferências das bases durante a montagem. Planificação esquemática, sem escala.

Tronco de pirâmide: caso geral e regular

No caso geral, cada lateral é um trapézio. Se seus lados paralelos são ℓ_i e m_i e sua altura é g_i:

A L = Σ i (ℓ i + m i)g i 2

Não se usa um único g quando as alturas dos trapézios diferem. Sempre A_T = A_M + A_m + A_L.

No tronco regular, todos os trapézios são isósceles congruentes e têm apótema lateral g. Somá-los fornece:

A L = (P M + P m)g 2

Para n lados de medidas L e ℓ, P_M = nL e P_m = nℓ. Se a_M e a_m são os apótemas das bases:

g² = h² + (a M - a m)²

Na face trapezoidal, se q é a aresta lateral:

q² = g² + (L - ℓ)² 4

g é a altura do trapézio; (L − ℓ)/2 é a projeção de cada lado oblíquo. Em geral, q ≠ g.

Planificação do tronco de pirâmide

Uma planificação válida reúne as duas bases semelhantes e n trapézios laterais com arestas compatíveis. No caso regular, os trapézios são isósceles congruentes; suas bases são os lados L e ℓ e seus lados oblíquos são as arestas laterais q.

A montagem só fecha quando as arestas que serão unidas têm a mesma medida. As figuras não estão em escala.

Fórmula direta ou diferença de volumes?

Método	Quando é mais eficiente
Fórmula direta	A_M, A_m e h são conhecidos e √(A_MA_m) é simples.
Diferença	A razão k, o sólido original ou suas alturas são dados ou fáceis de reconstruir.

Em problemas longos, calcular V_original − V_menor e comparar com a fórmula direta é uma excelente verificação independente.

Condições e casos-limite

Tronco próprio: A_M > A_m > 0 e h > 0; no cone, R > r > 0.
r = 0: deixa de ser tronco próprio e V = πR²h/3, volume do cone.
A_m = 0: V = A_Mh/3, volume da pirâmide.
R → r: caso-limite cilíndrico: V → πR²h, g → h e A_L → 2πRh.
A_M = A_m = A: a extensão algébrica dá V = Ah, caso prismático ou cilíndrico.

R = r não é um tronco próprio produzido por um cone finito não degenerado; é uma extensão ou limite.

Capacidade e dimensões internas

1 cm³ = 1 mL 1 dm³ = 1 L 1 m³ = 1000 L 1 L = 1000 cm³

Capacidade usa dimensões internas. Com espessura, não se deve simplesmente diminuir raios e altura: uma espessura medida na lateral inclinada não equivale a uma subtração vertical. Use dimensões internas fornecidas ou derive-as somente quando a construção estiver determinada.

Recipiente parcialmente cheio

Num recipiente tronco-cônico reto, r é o raio inferior, R o superior, H a altura total e y a altura do líquido desde a base inferior. Por variação linear:

ρ(y) = r + (R - r)y H

O líquido forma um tronco de raios r e ρ(y), altura y:

V(y) = πy[r² + rρ(y) + ρ(y)²] 3

Ele não é, em geral, semelhante ao recipiente inteiro, embora pertença ao mesmo cone imaginário prolongado. Para r = 0, forma um cone; para y = H, recupera o volume total.

O raio da superfície livre cresce linearmente com a altura. O volume, porém, não cresce linearmente. Figura sem escala.

Exemplo. Para r = 2, R = 5, H = 6 e y = 3, ρ = 7/2 e V = π[4 + 7 + 49/4] = 93π/4.

Erros que derrubam pontos

Trocar altura perpendicular h por geratriz ou apótema g.
Associar R à base inferior: R é o raio maior, qualquer que seja a posição.
Aplicar o volume a bases não semelhantes ou corte não paralelo.
Usar k como razão de áreas ou volumes; as razões são k² e k³.
Esquecer a raiz em k = √(A_m/A_M).
Usar R + r no Pitágoras ou R − r na área lateral.
Incluir bases ausentes em recipientes abertos.
Usar geratriz única no cone oblíquo ou apótema único na pirâmide irregular.
Confundir apótema lateral g com aresta lateral q.
Chamar R = r de tronco próprio.
Afirmar que metade da altura contém metade do volume.
Usar dimensões externas para capacidade ou deduzir medidas pela aparência.

Exemplos resolvidos passo a passo

1. Tronco de cone completo

R = 5, r = 2 e h = 4.

g = √[4² + (5 − 2)²] = 5.

A_L = π(5 + 2)·5 = 35π e A_T = 35π + 25π + 4π = 64π.

V = 4π(25 + 10 + 4)/3 = 52π.

2. Pirâmide quadrada

Bases de lados 10 e 4, h = 8.

A_M = 100, A_m = 16 e √(A_MA_m) = 40.

V = 8(100 + 16 + 40)/3.

V = 416 unidades cúbicas.

3. Semelhança e dois métodos

Cone original: R = 6, H = 12; cone retirado: r = 2.

k = 1/3, x = 4 e h = 8.

Diferença: 144π − 16π/3 = 416π/3.

Direta: 8π(36 + 12 + 4)/3 = 416π/3.

4. Pirâmide regular completa

Bases quadradas de lados 10 e 4, h = 4.

a_M = 5, a_m = 2; g = √(4² + 3²) = 5.

A_L = (40 + 16)·5/2 = 140; V = 4(100 + 16 + 40)/3 = 208.

A_T = 140 + 100 + 16 = 256.

5. Reconstrução pelas áreas

A_M = 100, A_m = 16 e h = 6.

k = √(16/100) = 2/5.

H = 6/(1 − 2/5) = 10 e x = 4.

V = 6(100 + 16 + 40)/3 = 312.

6. Base menor desconhecida

Base maior quadrada de lado 10, h = 6 e V = 312.

Se s é o lado menor: 312 = 6(100 + s² + 10s)/3.

s² + 10s − 56 = 0, então s = 4 ou s = −14.

Descarta-se a raiz negativa: s = 4.

7. Cone com geratriz dada

R = 8, r = 2 e g = 10.

h = √[10² − (8 − 2)²] = 8.

A_L = π(8 + 2)·10 = 100π; A_T = 168π.

V = 8π(64 + 16 + 4)/3 = 224π.

8. Nível do líquido

r = 2, R = 5, H = 6 e y = 3.

ρ = 2 + (5 − 2)·3/6 = 7/2.

V = π·3[4 + 7 + 49/4]/3.

V = 93π/4; não é metade da capacidade.

Exercícios

Fácil

1. As fórmulas específicas de troncos desta aula exigem corte:

A) perpendicular ao eixoB) paralelo ao plano da baseC) passando pelo ápiceD) oblíquo à base

Fácil

2. Sobre R e r no tronco de cone, é correto afirmar:

A) R é sempre o raio inferiorB) r é sempre o raio superiorC) a posição define as letrasD) R é o maior e r o menor, qualquer que seja a posição

Fácil

3. Uma capacidade interna de 7 dm³ equivale a:

A) 7 LB) 70 LC) 700 LD) 0,7 L

Médio

4. Se A_m/A_M = 9/25 e h = 8, então k, H e x valem:

A) 9/25, 12, 4B) 3/5, 12, 20C) 3/5, 8, 12D) 3/5, 20, 12

Médio

5. A_M = 100, A_m = 16 e h = 8 produzem volume:

A) 312B) 416C) 624D) 832

Médio

6. Para R = 8, r = 2 e g = 10, a sequência (h, A_L, V, A_T) é:

A) (6, 80π, 168π, 224π)B) (8, 100π, 168π, 224π)C) (8, 100π, 224π, 168π)D) (10, 60π, 224π, 168π)

Médio

7. Tronco de pirâmide regular quadrada: lados 14 e 6, h = 3. Os valores de g, A_L e V são:

A) 5, 200 e 316B) 4, 160 e 316C) 5, 400 e 280D) 7, 200 e 392

Difícil

8. No tronco anterior, a aresta lateral q mede:

A) 5B) √41C) √29D) 9

Difícil

9. Um tronco de pirâmide quadrada tem lado maior 10, h = 6 e V = 312. O lado menor é:

A) 2B) 3C) 4D) 6

Difícil

10. Um corte está a 2/5 da altura total, medida desde o ápice. A fração do volume que permanece no tronco é:

A) 2/5B) 3/5C) 8/125D) 117/125

Difícil

11. Recipiente com r = 2, R = 5 e H = 6 está cheio até y = 3. O volume do líquido é:

A) 93π/4B) 39π/2C) 39πD) 117π/4

Difícil

12. Analise: I. A planificação lateral é setor anular e θ = 2π(R − r)/g. II. Quando r → R, g → h e A_L → 2πRh. III. Para r = 0, o volume vira o do cilindro. IV. R = r define tronco próprio.

A) apenas IB) apenas I e IIC) apenas II e IIID) I, II, III e IV

Gabarito comentado:

1-B: o paralelismo garante bases semelhantes e o sólido retirado semelhante ao original.

2-D: as letras indicam tamanho, não posição.

3-A: 1 dm³ = 1 L, usando dimensões internas.

4-D: k = √(9/25) = 3/5; H = 8/(1 − 3/5) = 20 e x = 12.

5-B: V = 8(100 + 16 + 40)/3 = 416.

6-C: h = √(100 − 36) = 8; A_L = 100π, V = 224π e A_T = 168π.

7-A: os apótemas são 7 e 3; g = 5, A_L = (56 + 24)·5/2 = 200 e V = 316.

8-B: q² = 5² + [(14 − 6)/2]² = 41.

9-C: s² + 10s − 56 = 0; a raiz positiva é s = 4.

10-D: retira-se (2/5)³ = 8/125; permanece 117/125.

11-A: ρ = 7/2 e V = π[4 + 7 + 49/4] = 93π/4.

12-B: I e II são verdadeiras; r = 0 produz cone, e R = r é somente limite cilíndrico.

Resumo final

Tema	Relações essenciais
Semelhança	k = √(A_m/A_M), H = h/(1 − k), x = kh/(1 − k)
Volume geral	V = h[A_M + A_m + √(A_MA_m)]/3
Cone reto	g² = h² + (R − r)²; A_L = π(R + r)g; A_T = A_L + πR² + πr²; V = πh(R² + Rr + r²)/3
Pirâmide regular	g² = h² + (a_M − a_m)²; A_L = (P_M + P_m)g/2; A_T = A_M + A_m + A_L

h é perpendicular; g acompanha a superfície.
Áreas variam com k² e volumes com k³.
Fórmulas laterais exigem cone reto ou pirâmide regular.
Capacidade usa dimensões internas.
Nenhuma medida, perpendicularidade ou semelhança deve ser inferida apenas pelo desenho.

Troncos de pirâmide e de cone

Definição e formação por corte paralelo

Elementos e notação

Semelhança entre o sólido menor e o original

Reconstrução das alturas

Derivação do volume geral

Passo a passo da dedução

Volume do tronco de cone circular reto

Geratriz e áreas do tronco de cone

Área lateral

Área total e recipientes

Planificação lateral do tronco de cone

Tronco de pirâmide: caso geral e regular

Planificação do tronco de pirâmide

Fórmula direta ou diferença de volumes?

Condições e casos-limite

Capacidade e dimensões internas

Recipiente parcialmente cheio

Erros que derrubam pontos

Exemplos resolvidos passo a passo

1. Tronco de cone completo

2. Pirâmide quadrada

3. Semelhança e dois métodos

4. Pirâmide regular completa

5. Reconstrução pelas áreas

6. Base menor desconhecida

7. Cone com geratriz dada

8. Nível do líquido

Exercícios

1. As fórmulas específicas de troncos desta aula exigem corte:

2. Sobre R e r no tronco de cone, é correto afirmar:

3. Uma capacidade interna de 7 dm³ equivale a:

4. Se Am/AM = 9/25 e h = 8, então k, H e x valem:

5. AM = 100, Am = 16 e h = 8 produzem volume:

6. Para R = 8, r = 2 e g = 10, a sequência (h, AL, V, AT) é:

7. Tronco de pirâmide regular quadrada: lados 14 e 6, h = 3. Os valores de g, AL e V são:

8. No tronco anterior, a aresta lateral q mede:

9. Um tronco de pirâmide quadrada tem lado maior 10, h = 6 e V = 312. O lado menor é:

10. Um corte está a 2/5 da altura total, medida desde o ápice. A fração do volume que permanece no tronco é:

11. Recipiente com r = 2, R = 5 e H = 6 está cheio até y = 3. O volume do líquido é:

12. Analise: I. A planificação lateral é setor anular e θ = 2π(R − r)/g. II. Quando r → R, g → h e AL → 2πRh. III. Para r = 0, o volume vira o do cilindro. IV. R = r define tronco próprio.

Resumo final

4. Se A_m/A_M = 9/25 e h = 8, então k, H e x valem:

5. A_M = 100, A_m = 16 e h = 8 produzem volume:

6. Para R = 8, r = 2 e g = 10, a sequência (h, A_L, V, A_T) é:

7. Tronco de pirâmide regular quadrada: lados 14 e 6, h = 3. Os valores de g, A_L e V são:

12. Analise: I. A planificação lateral é setor anular e θ = 2π(R − r)/g. II. Quando r → R, g → h e A_L → 2πRh. III. Para r = 0, o volume vira o do cilindro. IV. R = r define tronco próprio.