Formação por corte paralelo
Um plano paralelo à base corta uma pirâmide ou um cone, retirando um sólido menor semelhante ao original. O tronco possui duas bases paralelas e semelhantes; h é a distância perpendicular entre elas.
Semelhança entre sólido original e retirado
Se a razão linear entre o sólido menor e o original é k, então áreas de base variam por k² e volumes por k³. Alturas, raios, lados e apótemas correspondentes variam linearmente.
Esse princípio permite descobrir a altura original ou retirada antes de calcular o tronco.
Volume geral do tronco
Se A₁ e A₂ são as áreas das bases e h é a altura perpendicular:
A fórmula vale para tronco de pirâmide e de cone obtidos por corte paralelo. Os parênteses abrangem toda a soma.
Tronco de cone circular reto
R é o raio maior, r o menor, h a altura e g a geratriz. Na seção axial:
As áreas são:
Tronco de pirâmide regular
P₁ e P₂ são os perímetros das bases regulares; ap₁ e ap₂ são seus apótemas; g é o apótema lateral do tronco.
Para bases regulares alinhadas:
Fórmula direta ou diferença de volumes
O volume pode ser obtido pela fórmula geral ou por V_original−V_retirado. A diferença é conveniente quando a semelhança fornece facilmente as alturas e medidas do sólido original.
Use os dois métodos como verificação quando o problema for longo.
Recipientes e capacidade
Copos, baldes e reservatórios tronco-cônicos usam dimensões internas para capacidade. Se o nível do líquido é paralelo às bases, o líquido forma outro tronco ou cone semelhante, conforme alcance o vértice imaginário.
Converta volume: 1 dm³=1 L e 1 cm³=1 mL.
Condições e limites
É necessário R≥r≥0 e h>0 no tronco de cone. Se r=0, a expressão reduz ao cone; se as bases têm áreas iguais, o sólido deixa de ser um tronco por semelhança estrita e aproxima um prisma ou cilindro.
Pegadinhas e condições de validade
- h é altura perpendicular; g é geratriz ou apótema lateral e geralmente g>h.
- Razão de raios é linear, mas razão de áreas é quadrática e de volumes é cúbica.
- A fórmula direta exige bases semelhantes originadas por corte paralelo.
- Capacidade usa medidas internas e inclui apenas o volume ocupado pelo líquido.
Questões resolvidas passo a passo
1. Tronco de cone completo
R=5, r=2 e h=4. Calcule g, A_L e V.
g=√(4²+(5−2)²)=5.
A_L=π(5+2)·5=35π.
V=πh(R²+Rr+r²)/3=4π(25+10+4)/3=52π.
2. Tronco de pirâmide quadrada
Lados das bases 10 e 4, h=8. Calcule o volume.
A₁=100, A₂=16 e √(A₁A₂)=40.
V=8(100+16+40)/3.
V=416.
3. Semelhança e diferença
Cone original: R=6 e H=12. O corte deixa topo de raio 2. Calcule o volume do tronco.
Razão linear 2/6=1/3; altura do cone pequeno=12/3=4.
V_original=π·6²·12/3=144π; V_pequeno=π·2²·4/3=16π/3.
V_tronco=416π/3.
4. Área lateral piramidal
Bases quadradas de lados 10 e 4, h=8. Calcule A_L.
ap₁=5, ap₂=2; diferença=3.
g=√(8²+3²)=√73.
P₁=40, P₂=16; A_L=(40+16)√73/2=28√73.
Exercícios
1. Um tronco é obtido por corte de pirâmide paralelo à:
2. No tronco de cone reto com R=5, r=2 e h=4, a geratriz é:
3. Para R=5, r=2, h=4 e g=5, A_L vale:
4. Bases de áreas 100 e 16 e altura 8 produzem volume:
5. Se a razão linear do sólido menor para o original é 1/3, a razão dos volumes é:
6. Cone de R=6 e H=12 é cortado, retirando cone semelhante de raio 2. A altura do tronco é:
7. Um reservatório cônico de R=6 e H=12 perde o cone superior semelhante de raio 2. O volume útil do tronco restante é:
8. Tronco de pirâmide quadrada tem lados 10 e 4 e h=8. Sua área lateral é:
Gabarito comentado:
1-C: O paralelismo garante bases semelhantes.
2-C: g=√(4²+3²)=5.
3-C: π(R+r)g=35π.
4-C: 8(100+16+40)/3=416.
5-D: Volumes de sólidos semelhantes variam com o cubo.
6-C: O cone menor tem altura 4; resta 12−4=8.
7-B: 144π−16π/3=416π/3.
8-B: g=√(8²+3²)=√73 e A_L=56g/2.
Resumo final
- Troncos resultam de corte paralelo e possuem bases paralelas semelhantes.
- V=h(A₁+A₂+√(A₁A₂))/3.
- Cone reto: g²=h²+(R−r)² e A_L=π(R+r)g.
- Pirâmide regular: A_L=(P₁+P₂)g/2.
- Semelhança usa k, k² e k³; capacidade usa dimensões internas.