Elementos e classificação
O cilindro possui duas bases circulares paralelas e congruentes, centros alinhados pelo eixo, raio r, diâmetro 2r, geratrizes e altura h perpendicular entre os planos das bases.
No cilindro reto, geratriz g=h; no oblíquo, g e h não coincidem em geral. Cilindro de revolução é o reto gerado pela rotação de um retângulo.
Áreas do cilindro reto
Para raio r e altura h:
A_T inclui duas bases. Um reservatório aberto ou um rótulo usa apenas as superfícies indicadas.
Volume no reto e no oblíquo
A fórmula vale para cilindros retos e oblíquos, desde que h seja a distância perpendicular entre as bases. Cavalieri explica a igualdade de volumes quando base e altura permanecem.
Planificação e rótulos
No cilindro reto, a superfície lateral abre-se num retângulo de lados 2πr e h. As bases são dois círculos de raio r.
Seções e cilindro equilátero
A seção axial do cilindro reto é um retângulo 2r×h. Uma seção paralela à base é um círculo congruente. Se h=2r, a seção axial é quadrada e o cilindro é chamado equilátero.
Cilindro vazado
Num tubo de raio externo R, raio interno r e altura h, o volume do material é:
Capacidade interna é πr²h. Área externa, área interna e bordas anulares são grandezas diferentes.
Capacidade e unidades
Reservatórios usam dimensões internas. 1 dm³=1 L e 1 cm³=1 mL. Um tanque cilíndrico de raio em metros produz volume em m³; multiplique por 1000 para litros.
Variação do nível de líquido
Num cilindro vertical de seção constante A_b, um volume acrescentado ΔV aumenta o nível em Δh=ΔV/A_b. Em deslocamento de objetos totalmente submersos, ΔV é o volume deslocado.
Pegadinhas e condições de validade
- g=h apenas no cilindro reto.
- A_T inclui duas bases; rótulo usa apenas A_L.
- No tubo, volume do material não é capacidade interna.
- Variação de nível Δh=ΔV/A_b exige seção constante.
Questões resolvidas passo a passo
1. Lata fechada
r=3 e h=5. Calcule A_L, A_T e V.
A_L=2π·3·5=30π.
A_T=30π+2π·9=48π.
V=π·9·5=45π.
2. Tubo cilíndrico
R=5, r=3 e h=10. Calcule o volume do material.
Área anular=π(25−9)=16π.
Multiplicando por h=10: V=160π.
A capacidade interna seria 90π, outra grandeza.
3. Reservatório
Raio interno 1 m e altura útil 2 m. Qual a capacidade?
V=π·1²·2=2π m³.
1 m³=1000 L.
Capacidade=2000π L.
4. Subida do nível
Despejam-se 2 L num cilindro de raio 10 cm. Quanto sobe o nível?
2 L=2000 cm³.
A_b=π·10²=100π cm².
Δh=2000/(100π)=20/π cm.
Exercícios
1. No cilindro reto, a relação entre geratriz e altura é:
2. Para r=3 e h=5, o volume é:
3. Para r=3 e h=5, a área total fechada é:
4. Um cilindro reto é equilátero quando:
5. Um rótulo cobre cilindro de r=4 e h=10. Sua área é:
6. Tubo com R=5, r=3 e h=10 tem volume de material:
7. Tanque de raio 1 m e altura 2 m comporta:
8. 2 L elevam o nível de um cilindro de raio 10 cm em:
Gabarito comentado:
1-C: A geratriz é perpendicular às bases e mede h.
2-C: πr²h=45π.
3-C: 30π+18π=48π.
4-B: A seção axial 2r×h torna-se quadrada.
5-B: A_L=2πrh=80π.
6-C: π(25−9)10=160π.
7-C: 2π m³=2000π L.
8-C: 2000/(100π)=20/π cm.
Resumo final
- No reto, g=h; no oblíquo, em geral não.
- A_L=2πrh e A_T=2πrh+2πr² no reto.
- V=πr²h vale também no oblíquo com h perpendicular.
- Seção axial quadrada caracteriza h=2r.
- Tubo: V_material=π(R²−r²)h.