Elementos e contagem
Pirâmide possui uma base poligonal, ápice fora do plano da base, faces laterais triangulares, arestas da base e arestas laterais. A altura h é a perpendicular do ápice ao plano da base.
Para base n-gonal: V=n+1, A=2n e F=n+1.
Reta, regular e oblíqua
Numa pirâmide reta, a projeção do ápice ocupa um ponto interior característico da base. Na pirâmide regular, a base é regular e essa projeção é seu centro; por isso, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
Numa pirâmide oblíqua, a projeção do ápice não coincide com o centro da base. Fórmulas de apótema lateral uniforme não se aplicam.
Altura, apótemas, raio e aresta lateral
Na pirâmide regular, h é a altura; ap é o apótema da base; g é o apótema lateral, altura de uma face; R_b é o raio circunscrito à base; e é a aresta lateral.
Dois triângulos retângulos fundamentais
A primeira seção vai do ápice ao ponto médio de um lado da base. A segunda vai do ápice a um vértice. Não troque ap por R_b: eles coincidem apenas em casos degenerados.
Áreas da pirâmide regular
Se P_b é o perímetro da base, g o apótema lateral e A_b a área da base:
A fórmula lateral depende de faces isósceles congruentes, portanto é restrita à pirâmide regular.
Volume de qualquer pirâmide
Para qualquer pirâmide, reta ou oblíqua, usando altura perpendicular h:
Ela ocupa um terço do volume de um prisma com a mesma base e a mesma altura.
Seções paralelas e semelhança
Se uma seção paralela está a distância x do vértice e a altura total é H, a pequena pirâmide e a original são semelhantes com k=x/H.
O tronco restante tem volume V_original−V_pequena, isto é, fração 1−k³ do original.
Tetraedro regular
No tetraedro regular todas as quatro faces são triângulos equiláteros de lado a. Resultados úteis:
A altura vem de Pitágoras entre a aresta e a distância do centro da base triangular a um vértice.
Pegadinhas e condições de validade
- g é apótema lateral; ap é apótema da base. Eles pertencem a triângulos diferentes.
- A_L=P_bg/2 exige pirâmide regular; V=A_bh/3 vale para qualquer pirâmide.
- Em seção paralela, áreas variam com k² e volumes com k³, não com k.
- A distância x deve ser medida do vértice para usar k=x/H.
Questões resolvidas passo a passo
1. Métricas na base quadrada
Pirâmide regular de base quadrada lado 10 e h=12. Encontre g e e.
ap=10/2=5 e R_b=diagonal/2=5√2.
g=√(12²+5²)=13.
e=√(12²+(5√2)²)=√194.
2. Área e volume
Na pirâmide anterior, calcule A_L, A_T e V.
P_b=40, g=13 e A_b=100.
A_L=40·13/2=260; A_T=360.
V=100·12/3=400.
3. Seção paralela
Uma seção está na metade da altura medida desde o vértice. O volume original é 240.
k=1/2, então V_pequena/V_original=k³=1/8.
V_pequena=30.
O tronco restante tem volume 240−30=210.
4. Altura pela área total
Base quadrada lado 6 e A_T=96. Encontre h e V.
A_b=36; A_L=60. Como P_b=24, 60=24g/2 e g=5.
ap=3; h=√(5²−3²)=4.
V=36·4/3=48.
Exercícios
1. Uma pirâmide quadrangular possui V, A e F iguais a:
2. Uma pirâmide tem A_b=30 e h=9. Seu volume é:
3. Base quadrada lado 10 e h=12. O apótema lateral é:
4. Na mesma pirâmide, a aresta lateral mede:
5. Se P_b=40 e g=13 numa pirâmide regular, A_L é:
6. Uma pirâmide tem altura 12 e base de área 144. Uma seção paralela à base tem área 16. A distância da seção ao vértice é:
7. Cortando uma pirâmide na metade da altura desde o vértice, o tronco fica com que fração do volume?
8. Um telhado decorativo tem forma de pirâmide regular de base quadrada, lado 6 e área total 96. O volume interno correspondente é:
Gabarito comentado:
1-B: Para n=4: V=5, A=8, F=5.
2-A: V=30·9/3=90.
3-C: g=√(12²+5²)=13.
4-C: R_b=5√2 e e²=144+50=194.
5-B: A_L=P_bg/2=260.
6-B: A razão de áreas é 16/144=1/9, então k=1/3 e x=kH=4.
7-C: Remove-se (1/2)³=1/8; resta 7/8.
8-B: A_L=60 dá g=5; h=4 e V=48.
Resumo final
- Pirâmide n-gonal: V=n+1, A=2n e F=n+1.
- Na regular: g²=h²+ap² e e²=h²+R_b².
- A_L=P_bg/2 apenas na regular; V=A_bh/3 em qualquer pirâmide.
- Seções paralelas geram razões k, k² e k³.
- Tetraedro regular: A_T=a²√3, h=a√6/3 e V=a³√2/12.