Relação de Euler: escopo e variáveis
No escopo escolar desta aula, usamos a relação em poliedros convexos:
V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces. Aqui, A não representa área. A relação conecta contagens globais, mas não substitui as condições de incidência.
Verificações em famílias conhecidas
Tetraedro: 4−6+4=2. Cubo: 8−12+6=2. No prisma n-gonal, 2n−3n+(n+2)=2. Na pirâmide n-gonal, (n+1)−2n+(n+1)=2.
Essas verificações confirmam a compatibilidade das contagens; não constituem uma demonstração geral da fórmula.
Descoberta de uma grandeza
Quando duas contagens são conhecidas, isole a terceira:
Antes de substituir, identifique se “faces laterais” inclui ou não bases e se o enunciado informa um poliedro convexo.
Dupla contagem pelas faces
Se f₃ é o número de faces triangulares, f₄ o de quadrangulares e assim por diante, cada aresta aparece em duas faces:
Para faces todas triangulares, 3F=2A; para todas quadrangulares, 4F=2A. Em faces mistas, some cada tipo separadamente.
Dupla contagem pelos vértices
O grau de um vértice é o número de arestas que chegam a ele. Como cada aresta tem dois extremos:
Se todos os V vértices têm o mesmo grau q, então qV=2A. Essa equação costuma ser combinada com as incidências das faces e com Euler.
Faces mistas e possibilidade
Um roteiro seguro é: (1) contar F; (2) usar incidências de faces para obter A; (3) usar graus, se fornecidos, para obter V; (4) testar V−A+F=2.
Se as equações contradizem Euler, a configuração convexa é impossível. Se concordam, ela é apenas numericamente possível; uma construção ainda pode exigir condições adicionais.
Desigualdades e poliedros regulares
Em poliedros convexos usuais, cada face possui ao menos três lados e em cada vértice chegam ao menos três arestas. Portanto:
Num poliedro regular com faces p-gonais e q faces por vértice, pF=2A e qV=2A. Com Euler e a exigência de que a soma dos ângulos ao redor do vértice seja menor que 360°, restam apenas cinco combinações convexas: os poliedros de Platão.
Pegadinhas e condições de validade
- Euler, sozinha, não prova que uma lista (V,A,F) corresponde a um poliedro existente.
- Não confunda A de arestas com área nem conte apenas faces laterais como F total.
- Em incidências, cada aresta é contada duas vezes; esquecer a divisão por 2 dobra A.
- As formas simples V−A+F=2 desta aula são usadas para poliedros convexos no nível escolar.
Questões resolvidas passo a passo
1. Face desconhecida
Um poliedro convexo possui V=12 e A=18. Encontre F.
Euler: 12−18+F=2.
F=8.
A verificação fornece 12−18+8=2.
2. Apenas faces triangulares
Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares. Calcule A e V.
3F=2A: 36=2A, então A=18.
Euler: V−18+12=2.
V=8.
3. Faces mistas
Há 6 faces triangulares e 3 quadrangulares. Calcule A e V, supondo o poliedro convexo existente.
F=6+3=9.
2A=6·3+3·4=30, então A=15.
Euler: V−15+9=2, logo V=8.
4. Duas equações e Euler
Um poliedro convexo tem 5 faces, apenas triangulares e quadrangulares, e grau 3 em todos os vértices. Determine os tipos de face.
Sejam t e q as quantidades: t+q=5.
Incidências: 3t+4q=2A e graus: 3V=2A.
Com Euler, substituindo V=(3t+4q)/3 e A=(3t+4q)/2, resulta 3t+2q=12.
Do sistema com t+q=5: t=2 e q=3; é a estrutura do prisma triangular.
Exercícios
1. No cubo, V−A+F vale:
2. Um poliedro convexo tem V=12 e A=18. Seu número de faces é:
3. Um poliedro com 12 faces triangulares possui quantas arestas?
4. Se todos os 10 vértices têm grau 4, o número de arestas é:
5. Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares e 5 quadrangulares. Seus números A e V são:
6. Uma peça poliédrica convexa tem 8 faces triangulares e todos os vértices de grau 4. Quantos vértices possui?
7. Uma lista V=7, A=12 e F=7 satisfaz Euler. A conclusão correta é:
8. Um poliedro convexo tem 5 faces, apenas triangulares e quadrangulares, e grau 3 em cada vértice. As quantidades de faces triangulares e quadrangulares são:
Gabarito comentado:
1-C: 8−12+6=2.
2-B: 12−18+F=2, então F=8.
3-C: 3·12=2A, logo A=18.
4-B: 4V=2A: 40=2A e A=20.
5-A: 2A=18+20=38, A=19; F=11 e Euler dá V=10.
6-B: 3F=24=2A e 4V=2A=24, então V=6; Euler também confere.
7-C: 7−12+7=2 é necessário, mas não suficiente para existência ou tipo das faces.
8-B: O sistema t+q=5 e 3t+2q=12 dá t=2 e q=3.
Resumo final
- Para poliedros convexos escolares, V−A+F=2.
- Faces: Σ(lados)=2A; vértices: Σ(graus)=2A.
- Faces mistas exigem uma parcela para cada tipo.
- Compatibilidade com Euler é necessária, mas não garante existência.
- As desigualdades 3F≤2A e 3V≤2A vêm dos mínimos de três lados e três arestas.