Definição rigorosa e elementos
Nesta aula consideramos prismas convexos. Um prisma resulta da translação de uma região poligonal plana segundo um vetor não paralelo ao plano dessa região.
Equivalentemente, possui duas regiões poligonais congruentes em planos paralelos distintos, chamadas bases. Vértices correspondentes são ligados por arestas laterais paralelas e congruentes; as faces laterais são paralelogramos. O sólido inclui interior, faces, arestas e vértices, e a base tem ao menos três lados.
A distância perpendicular entre os planos das bases é a altura h. Aresta lateral, diagonal da base, diagonal facial, diagonal espacial e seção transversal são elementos distintos.
Prisma reto, oblíquo e regular
| Tipo | Condição | Relação métrica |
|---|---|---|
| Reto | Arestas laterais perpendiculares às bases. | g=h. |
| Oblíquo | Arestas laterais não perpendiculares. | h=g·senα; propriamente oblíquo: g>h. |
| Regular | Prisma reto com bases regulares. | Não confunda lado ou apótema da base com h. |
α é o ângulo agudo da aresta lateral com o plano da base, com 0°<α≤90°.
Nomenclatura e contagem
O nome vem da base: triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal ou n-gonal. Para base n-gonal, n≥3:
São 2n vértices; 2n arestas das bases mais n laterais; e n faces laterais mais duas bases. Euler confirma:
Área da base
A_b é a área de uma base; P_b, seu perímetro. Use a fórmula que corresponde aos dados e não suponha regularidade.
| Base | Área |
|---|---|
| Triângulo | bh_t/2, Heron ou outra fórmula compatível. |
| Equilátero de lado ℓ | ℓ²√3/4 |
| Quadrado / retângulo | ℓ² / ab |
| Losango | d₁d₂/2 |
| Hexágono regular | 3√3ℓ²/2 |
| Polígono regular | P_b·ap/2=nℓ²/[4tan(π/n)] |
Áreas do prisma reto
Se os lados da base medem a₁,…,a_n, cada face lateral é um retângulo de altura h:
Para a superfície fechada:
Em embalagem aberta, some apenas as faces existentes.
Área lateral do prisma oblíquo
As faces laterais são paralelogramos, e suas alturas próprias não precisam coincidir com h. Se o lado correspondente mede a_i, a aresta lateral mede g e o ângulo entre essas direções é β_i:
Uma seção reta é feita por plano perpendicular às arestas laterais. Se seu perímetro é P_r, então A_L=gP_r. Não troque P_r por P_b.
Volume e Princípio de Cavalieri
A fórmula vale para prismas retos e oblíquos: A_b é a área de uma base e h a distância perpendicular entre os planos das bases. Dimensionalmente, área × comprimento = volume; cm²·cm=cm³.
Cavalieri: se dois sólidos ficam entre os mesmos planos paralelos e todas as seções em alturas correspondentes, por planos paralelos às bases, têm áreas iguais, então seus volumes são iguais. Num prisma, toda seção paralela interna é congruente à base e tem área constante A_b; assim, um reto e um oblíquo de mesma área de base e altura têm mesmo volume.
Seções planas
| Corte | Resultado |
|---|---|
| Paralelo às bases | Polígono congruente à base; área constante. |
| Perpendicular às arestas laterais | Seção reta; no oblíquo, seu perímetro pode determinar A_L. |
| Plano oblíquo | Forma depende da posição do plano. |
| “Diagonal” | Só tem significado após indicar pontos ou arestas que definem o plano. |
Seções paralelas à base são congruentes e têm área constante.
Seções paralelas são semelhantes à base e variam com a altura.
Diagonais
Diagonal da base fica numa base; diagonal facial fica numa face lateral; diagonal espacial liga vértices que não pertencem à mesma face. Num prisma reto, se uma diagonal adequada da base mede d_b:
A fórmula exige o triângulo retângulo formado por d_b,h,D. √(a²+b²+h²) é específica do paralelepípedo reto-retângulo.
Contagem combinatória
Num prisma convexo n-gonal, as diagonais contidas nas faces somam n(n−1): duas bases contribuem n(n−3) e as faces laterais, 2n. As diagonais espaciais são n(n−3). Logo:
No prisma triangular, n(n−3)=0: ele não possui diagonais espaciais segundo essa definição.
Planificações
No prisma reto, a faixa lateral tem n retângulos de altura h, com larguras na ordem dos lados da base, e duas bases congruentes. A rede deve fechar sem sobreposição. No oblíquo, as faces laterais são paralelogramos.
Unidades, capacidade e escalas
| Conversão | Igualdade |
|---|---|
| Capacidade | 1 dm³=1 L; 1 cm³=1 mL |
| Litro | 1 L=1000 cm³ |
| Metro cúbico | 1 m³=1000 L=100³ cm³=1 000 000 cm³ |
Conversões cúbicas não seguem o fator linear. Se todas as medidas multiplicam por k>0, perímetros multiplicam por k, áreas por k² e volumes por k³. Razão linear 2:3 dá áreas 4:9 e volumes 8:27.
Sólidos vazados e espessura
Se as seções externa e interna são constantes ao longo do mesmo comprimento h, a cavidade está inteiramente contida e as unidades são compatíveis:
Não subtraia dimensões no lugar das áreas: para retângulos ab e cd, a diferença correta é ab−cd, não (a−c)(b−d).
Erros que derrubam pontos
- Usar a aresta lateral como altura no oblíquo ou aplicar A_L=P_bh a qualquer prisma.
- Contar apenas uma base na área total fechada ou somar área com volume.
- Aplicar fórmula de paralelepípedo a base não retangular.
- Supor que toda seção seja congruente à base; isso vale para cortes paralelos.
- Usar fórmula de polígono regular sem demonstrar regularidade.
- Confundir apótema da base com altura do prisma.
- Converter m³ para cm³ multiplicando só por 100.
- Calcular vazado subtraindo medidas lineares ou inferir relações pelo desenho.
Exemplos resolvidos
1. Prisma triangular reto
Base de lados 13, 14 e 15; volume 1008.
s=21 e, por Heron, A_b=√(21·8·7·6)=84.
h=1008/84=12; P_b=42.
A_L=504 e A_T=504+168=672.
2. Hexagonal regular
Lado 4, altura 6.
A_b=24√3, P_b=24.
A_L=144, A_T=144+48√3, V=144√3.
3. Prisma oblíquo
A_b=30,g=10,α=60°.
h=10·sen60°=5√3.
V=150√3. Esses dados não determinam a área lateral.
4. Base losangular
Diagonais 6 e 8; altura 12.
A_b=24. Semidiagonais 3 e 4 dão lado 5 e P_b=20.
A_L=240, A_T=288, V=288.
5. Prisma pentagonal
n=5.
10 vértices, 15 arestas e 7 faces.
20 diagonais nas faces, 10 espaciais e 30 no total.
6. Peça vazada
Seções 12×10 cm e 10×8 cm; comprimento 50 cm.
A_e=120 cm², A_i=80 cm².
V_material=(120−80)·50=2000 cm³.
Exercícios
1. Um prisma regular é:
2. Um prisma n-gonal possui 24 vértices. Faces, arestas e diagonais espaciais são:
3. Base triangular de lados 13, 14 e 15, volume 1008. A área total do prisma reto é:
4. Prisma reto de base losangular, diagonais 10 e 24 e área lateral 520. O volume é:
5. Prisma hexagonal regular com volume 96√3 e altura 4. Sua área total é:
6. Prisma oblíquo com A_b=30,g=10,α=60°. O volume é:
7. Conhecem-se A_b,h e g de um prisma oblíquo. Sua área lateral:
8. Qual enunciado expressa corretamente Cavalieri?
9. Prismas semelhantes têm volumes na razão 125:216. As razões linear e de áreas são:
10. Seção externa 12×10 cm, interna 10×8 cm e comprimento 50 cm. O material ocupa:
11. Prisma reto de base quadrada de lado 6 e altura 8. A diagonal espacial é:
12. Quantas diagonais espaciais possui um prisma triangular?
Gabarito comentado:
1-C: regular significa reto com bases poligonais regulares.
2-D: 2n=24⇒n=12; N_f=14,N_a=36 e diagonais espaciais 12·9=108.
3-A: Heron dá A_b=84, altura 12 e A_T=42·12+168=672.
4-B: o lado do losango é 13, P_b=52, h=10, A_b=120 e V=1200.
5-C: do volume, ℓ=4; A_L=96 e as bases somam 48√3.
6-D: h=10·sen60°=5√3; V=150√3.
7-B: faltam direções das faces, ângulos β_i ou a seção reta.
8-A: a igualdade das áreas de todas as seções correspondentes é a hipótese decisiva.
9-C: raiz cúbica dá 5:6; ao quadrado, 25:36.
10-D: (120−80)·50=2000 cm³.
11-B: D²=6²+6²+8²=136, logo D=2√34.
12-A: n(n−3)=3·0=0.
Resumo final
| Hipótese | Fórmula |
|---|---|
| Qualquer prisma | V=A_bh |
| Prisma reto | A_L=P_bh |
| Prisma reto fechado | A_T=P_bh+2A_b |
| Oblíquo com seção reta | A_L=gP_r |
| Aresta a ângulo α da base | h=g·senα |
| Diagonal de prisma reto | D=√(d_b²+h²) |