Superfície e sólido poliédrico
Uma superfície poliédrica é formada por regiões poligonais unidas lado a lado. Quando essa superfície fechada delimita uma região do espaço, temos um sólido poliédrico.
- faces: polígonos da superfície;
- arestas: lados comuns a duas faces;
- vértices: extremos das arestas;
- ângulo poliédrico: conjunto de faces que se encontram num vértice.
Diagonais de face e diagonais espaciais
Diagonal de face liga dois vértices não consecutivos de uma mesma face. Diagonal espacial é um segmento que liga dois vértices do poliedro que não pertencem a uma mesma face.
Nem todo poliedro possui diagonal espacial: no tetraedro, cada par de vértices pertence a alguma face. Antes de contar diagonais espaciais, elimine arestas e diagonais de faces.
Convexos, não convexos e famílias
Um poliedro é convexo quando todo segmento que une dois de seus pontos permanece no sólido. Em um não convexo, existe ao menos um segmento entre pontos do sólido que sai dele.
Prismas possuem duas bases paralelas e congruentes; pirâmides têm uma base e faces laterais triangulares que se encontram no ápice. Essas famílias podem ser regulares em sentidos específicos estudados nas aulas próprias.
Regularidade e semirregularidade
Um poliedro regular convexo tem faces poligonais regulares congruentes e o mesmo arranjo de faces em todos os vértices. Dizer apenas “todas as faces são regulares” é insuficiente: elas podem ter tipos diferentes ou encontrar-se de modos distintos.
Poliedros semirregulares, citados apenas como observação, admitem mais de um tipo de face regular, mas conservam o mesmo arranjo em cada vértice.
Contagem por incidências
Cada aresta pertence a exatamente duas faces de uma superfície poliédrica fechada; ao somar os números de lados de todas as faces, cada aresta aparece duas vezes. Do mesmo modo, cada aresta possui dois extremos.
A representa o número de arestas, não área. Essas igualdades fornecem contagens necessárias, mas não provam sozinhas que uma configuração exista.
Contagens em prismas e pirâmides
Se a base é um n-gono, com n≥3:
| Família | Vértices V | Arestas A | Faces F |
|---|---|---|---|
| Prisma n-gonal | 2n | 3n | n+2 |
| Pirâmide n-gonal | n+1 | 2n | n+1 |
No prisma, há duas cópias da base e n arestas laterais. Na pirâmide, acrescenta-se um ápice e n arestas laterais à base.
Os cinco poliedros de Platão
| Nome | Faces | F | A | V | Faces por vértice |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triângulos | 4 | 6 | 4 | 3 |
| Hexaedro (cubo) | quadrados | 6 | 12 | 8 | 3 |
| Octaedro | triângulos | 8 | 12 | 6 | 4 |
| Dodecaedro | pentágonos | 12 | 30 | 20 | 3 |
| Icosaedro | triângulos | 20 | 30 | 12 | 5 |
Contagem necessária não garante existência
Se dez faces pentagonais fossem propostas, a incidência face–aresta daria 10·5=2A e A=25. Isso é apenas uma condição necessária. Ainda seria preciso compatibilizar vértices, conectividade, convexidade e a relação de Euler.
Pegadinhas e condições de validade
- Não use a soma dos lados das faces como prova de existência; ela fornece apenas 2A.
- Nem todo segmento entre vértices não adjacentes é diagonal espacial: ele pode ser diagonal de uma face.
- Faces regulares não bastam para tornar o poliedro regular; o arranjo em cada vértice também deve ser uniforme.
- A letra A em contagens significa arestas, não área.
Questões resolvidas passo a passo
1. Prisma hexagonal
Conte V, A e F em um prisma de base hexagonal.
A base tem n=6 lados.
V=2n=12, A=3n=18 e F=n+2=8.
A checagem 12−18+8=2 será estudada com Euler.
2. Pirâmide octogonal
Conte os elementos de uma pirâmide de base octogonal.
Com n=8: V=n+1=9.
A=2n=16 e F=n+1=9.
As oito faces laterais são triangulares.
3. Incidências mistas
Se um poliedro fechado possui 4 faces triangulares e 3 quadrangulares, quantas arestas teria, caso exista?
Somam-se incidências face–aresta: 4·3+3·4=24.
Cada aresta foi contada em duas faces: 2A=24.
Logo A=12. A existência ainda não foi demonstrada.
4. Identificação regular
Um poliedro regular tem 20 faces triangulares e cinco faces em cada vértice. Qual é ele?
Na tabela dos regulares, 20 faces triangulares caracterizam o icosaedro.
A condição de cinco faces por vértice confirma o arranjo.
Ele possui A=30 e V=12.
Exercícios
1. O encontro de duas faces de um poliedro ocorre numa:
2. Um prisma de base heptagonal possui quantas faces?
3. Uma pirâmide de base octogonal possui, respectivamente, V, A e F iguais a:
4. Quantas diagonais espaciais possui um cubo?
5. Doze faces pentagonais de um dodecaedro produzem quantas arestas por incidência?
6. Uma maquete poliédrica fechada possui 8 faces triangulares. Pelas incidências e por Euler, ela tem A=12 e V=6. O modelo é um:
7. Um poliedro regular tem 20 faces triangulares e grau 5 em cada vértice. Seu número de vértices é:
8. Uma maquete convexa existente tem 2 faces triangulares e 3 quadrangulares. Incidências e Euler mostram que ela possui:
Gabarito comentado:
1-A: Arestas são lados comuns a duas faces.
2-C: F=n+2=7+2=9.
3-B: V=n+1=9, A=2n=16 e F=n+1=9.
4-B: Há quatro pares de vértices opostos; as 12 diagonais das faces não entram nessa contagem.
5-C: 12·5=2A, portanto A=30; a existência é conhecida neste caso.
6-B: O octaedro possui 8 faces, 12 arestas e 6 vértices.
7-C: 3F=60=2A e 5V=2A=60, logo V=12.
8-B: 2A=2·3+3·4=18, então A=9; com F=5, Euler dá V=6, contagens do prisma triangular.
Resumo final
- Superfície poliédrica fechada delimita o sólido poliédrico.
- Diagonal espacial liga vértices que não pertencem a uma mesma face.
- Em incidências, lados das faces e graus dos vértices somam 2A.
- Prismas n-gonais: (V,A,F)=(2n,3n,n+2); pirâmides: (n+1,2n,n+1).
- Regularidade exige faces regulares congruentes e o mesmo arranjo em cada vértice.
- Contagens necessárias não garantem existência geométrica.