Noções iniciais e determinação de planos
Pontos são coplanares quando pertencem a um mesmo plano. Quatro ou mais pontos podem ser não coplanares; três pontos sempre pertencem a algum plano e, se não forem colineares, determinam exatamente um.
- dois pontos distintos determinam uma única reta;
- três pontos não colineares determinam um plano;
- uma reta e um ponto exterior a ela determinam um plano;
- duas retas concorrentes ou duas paralelas distintas determinam um plano.
Posições entre duas retas
Duas retas podem ser coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas. Perpendiculares são um caso de concorrentes cujo menor ângulo é 90°.
Retas paralelas são, por definição, coplanares e não possuem ponto comum. Retas reversas não são coplanares; por isso, embora direções paralelas auxiliares permitam definir um ângulo entre elas, não se diz que duas reversas são diretamente perpendiculares.
Posições entre reta e plano
Uma reta pode estar contida no plano, ser secante — um único ponto comum — ou ser paralela ao plano, sem ponto comum.
Se uma reta r é paralela a uma reta s contida em α e r não está contida em α, então r é paralela a α. A exclusão da contenção é necessária porque uma reta do próprio plano também pode ser paralela a s, mas não é paralela ao plano no sentido de não ter pontos comuns.
Posições entre dois planos
Dois planos podem ser coincidentes, paralelos distintos ou secantes. Quando planos distintos α e β são secantes, a interseção α∩β é uma reta.
Planos paralelos não possuem ponto comum. Se um terceiro plano γ os corta, as retas α∩γ e β∩γ são paralelas; essa propriedade transforma uma situação espacial em paralelismo plano.
Critérios úteis de paralelismo
- duas retas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si;
- se um plano contém duas retas concorrentes respectivamente paralelas a duas retas concorrentes de outro plano, os planos são paralelos;
- se uma reta é paralela a um plano, todo plano que a contém e corta o primeiro produz uma interseção paralela à reta;
- planos distintos perpendiculares à mesma reta são paralelos.
Em cada critério, confira se as retas citadas são distintas e se as hipóteses de incidência foram satisfeitas; o desenho não substitui essas condições.
Perpendicularidade entre reta e plano
Uma reta r que intersecta α em H é perpendicular a α se é perpendicular, em H, a duas retas concorrentes de α que passam por H. Reciprocamente, essa condição garante r⊥α.
Então r é perpendicular a toda reta de α que passa por H; qualquer plano que contenha r é perpendicular a α. Por um ponto passa uma única reta perpendicular a um plano, e por um ponto exterior passa um único plano paralelo a um plano dado.
Diedros e planos perpendiculares
Dois semiplanos com a mesma reta de origem formam um diedro; sua aresta é a interseção dos planos. Uma seção normal é obtida por um plano perpendicular à aresta e transforma o diedro em um ângulo plano.
Dois planos são perpendiculares quando o menor ângulo de sua seção normal mede 90°. Um critério prático: se um plano contém uma reta perpendicular ao outro plano, os dois planos são perpendiculares.
Ângulos no espaço
- entre retas concorrentes: menor ângulo formado no ponto comum;
- entre retas reversas: ângulo entre retas paralelas a elas conduzidas por um mesmo ponto;
- entre reta e plano: ângulo entre a reta e sua projeção ortogonal no plano;
- entre planos: ângulo obtido numa seção normal à reta de interseção.
Por convenção escolar, usa-se o menor ângulo, no intervalo de 0° a 90°.
Projeções ortogonais e distâncias
A projeção de P em α é o pé H da perpendicular PH. A distância ponto–plano é PH. A projeção de um segmento é o segmento entre as projeções de seus extremos, salvo degeneração em um ponto.
- planos paralelos: distância de qualquer ponto de um ao outro;
- reta paralela e plano: distância de qualquer ponto da reta ao plano;
- retas paralelas: comprimento do segmento perpendicular comum no plano que as contém;
- retas reversas: comprimento da perpendicular comum, quando construída.
Pegadinhas e condições de validade
- Uma reta paralela a outra reta do plano pode estar contida no plano; é preciso excluir essa possibilidade antes de concluir r∥α.
- Duas retas com direções perpendiculares, mas sem ponto comum, não são retas perpendiculares: podem ser reversas.
- A altura ou distância é sempre perpendicular; um segmento oblíquo geralmente é maior e não mede a distância.
- Não conclua coplanaridade, paralelismo ou ângulo reto apenas pela aparência de uma perspectiva.
Questões resolvidas passo a passo
1. Arestas reversas no cubo
No cubo ABCD–EFGH, identifique a posição de AB e CG.
AB pertence à base e CG é uma aresta vertical.
Elas não se intersectam e não são paralelas.
Não existe um mesmo plano que contenha as duas: AB e CG são reversas.
2. Ângulo reta–plano
AP=10 e sua projeção AH=6. Determine seno e cosseno do ângulo θ entre AP e o plano.
PH⊥α, então △APH é retângulo e AP é a hipotenusa.
PH=√(10²−6²)=8.
cos θ=AH/AP=3/5 e sen θ=PH/AP=4/5.
3. Distância ponto–plano
PH=12 é perpendicular a α e HQ=5 está em α. Calcule PQ.
Como PH⊥α, também PH⊥HQ.
No triângulo PHQ: PQ²=12²+5²=169.
Logo PQ=13; o segmento oblíquo é maior que a distância PH=12.
4. Perpendicular comum
Num cubo de aresta 6, determine a distância entre as retas reversas AB e CG.
BC une B∈AB a C∈CG.
BC é perpendicular a AB e a CG pelas faces quadradas do cubo.
Portanto BC é a perpendicular comum e a distância vale 6.
Exercícios
1. Duas retas não coplanares são necessariamente:
2. Se r∥s, s está contida em α e r não está contida em α, então:
3. Para provar r⊥α em H, basta mostrar que r é perpendicular, em H, a:
4. No cubo ABCD–EFGH, AB e CG são:
5. Um segmento oblíquo mede 10 e sua projeção no plano mede 6. O cosseno do ângulo com o plano é:
6. P está a 12 cm de um plano e Q pertence ao plano, a 5 cm do pé da perpendicular. PQ mede:
7. Um cabo de 13 m liga o topo de um poste de 5 m ao solo plano. O comprimento de sua projeção horizontal é:
8. Num cubo de aresta 6, AG é diagonal espacial e sua projeção na base ABCD é AC. O cosseno do ângulo entre AG e a base é:
Gabarito comentado:
1-C: Retas reversas são justamente retas não coplanares.
2-B: O paralelismo com uma reta do plano, junto da exclusão da contenção, dá r∥α.
3-C: Duas direções concorrentes do plano determinam o critério.
4-C: Não se cruzam, não são paralelas e não são coplanares.
5-A: cos θ=projeção/segmento=6/10=3/5.
6-C: A seção é um triângulo retângulo 5–12–13.
7-B: Pitágoras na seção vertical: √(13²−5²)=12 m.
8-B: AC=6√2 e AG=6√3; logo cos θ=AC/AG=√2/√3=√6/3.
Resumo final
- Paralelas são coplanares; reversas não são.
- Reta perpendicular a plano exige duas retas concorrentes do plano no pé.
- Ângulos espaciais são transportados para configurações planas auxiliares.
- Distâncias são comprimentos de perpendiculares.
- Em cubos e prismas, identifique primeiro faces e seções que contêm as retas.