Pontos, retas, planos e incidência
Usaremos letras maiúsculas para pontos (A, B, C), minúsculas para retas (r, s, t) e gregas para planos (α, β, γ). A notação registra fatos que a perspectiva apenas sugere:
Dois pontos distintos determinam uma única reta: se A≠B, existe uma única reta AB. Um ponto e uma reta, porém, só determinam um plano quando o ponto é exterior à reta.
Coplanaridade e determinação de um plano
Pontos ou retas são coplanares quando existe um plano que contém todos eles. Quaisquer três pontos pertencem a pelo menos um plano: se não são colineares, determinam um único plano; se são colineares, infinitos planos passam pela reta comum. Os quatro vértices de um tetraedro são um exemplo de pontos não coplanares.
| Dados | Determinam plano único? | Hipótese indispensável |
|---|---|---|
| Três pontos | Sim | Não colineares |
| Uma reta e um ponto | Sim | O ponto não pertence à reta |
| Duas retas concorrentes | Sim | Retas distintas |
| Duas retas paralelas | Sim | Retas distintas |
Não determinam um plano único: três pontos colineares; uma reta e um ponto pertencente a ela; uma única reta. Duas retas reversas nem sequer pertencem a um mesmo plano.
Posições entre duas retas
| Posição | Coplanaridade | Pontos comuns |
|---|---|---|
| Coincidentes | Sim | Infinitos |
| Paralelas distintas | Sim | Nenhum |
| Concorrentes | Sim | Um |
| Reversas | Não | Nenhum |
Retas concorrentes podem ser oblíquas ou perpendiculares. Duas retas são perpendiculares quando são coplanares, intersectam-se e formam 90°. Já ortogonais têm direções formando 90°: podem ser concorrentes ou reversas. Assim, concorrentes ortogonais são perpendiculares; reversas ortogonais não são perpendiculares na convenção escolar estrita.
O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre suas direções: vale 0° para paralelas ou coincidentes; para concorrentes distintas, 0°<θ≤90°; para reversas, transportam-se paralelas às duas direções por um mesmo ponto. O resultado independe do ponto escolhido.
Posições entre reta e plano
| Posição | Interseção | Notação |
|---|---|---|
| Contida | Infinitos pontos | r⊂α |
| Secante | Um ponto | r∩α={P} |
| Paralela | Nenhum ponto | r∩α=∅ |
Nesta aula, uma reta contida não é chamada de paralela ao plano. Alguns textos usam uma convenção inclusiva; por isso, sempre verifique a definição adotada.
Critério de paralelismo
Se s⊂α, r∥s e r não está contida em α, então r∥α. A última hipótese é indispensável: se r tivesse um ponto P em α, sua direção, já paralela a uma direção do plano, faria toda r ficar contida em α.
Recíproca útil: se r∥α, por cada ponto P∈α passa uma única reta s⊂α paralela a r; portanto, o plano contém infinitas retas paralelas a r.
Posições entre dois planos
| Posição | Interseção | Observação |
|---|---|---|
| Coincidentes | Infinitos pontos | α=β |
| Paralelos distintos | Nenhum ponto | α∩β=∅ |
| Secantes | Uma reta | α∩β=r |
Dois planos distintos não podem ter apenas um ponto comum: se têm um ponto, a interseção é uma reta. Se possuem três pontos comuns não colineares, são coincidentes.
Um plano secante a dois planos paralelos
Se α∥β e γ corta os dois, então r=α∩γ e s=β∩γ são paralelas. Se r e s se encontrassem, esse ponto pertenceria simultaneamente a α e β, contradizendo α∩β=∅.
Critérios de paralelismo — com hipóteses completas
- Se α contém retas concorrentes r e s, β contém concorrentes u e v, r∥u e s∥v, então os planos têm a mesma direção. Se α e β são distintos, α∥β; sem essa distinção, podem ser paralelos ou coincidentes.
- Planos distintos perpendiculares à mesma reta são paralelos.
- Uma reta perpendicular a um de dois planos paralelos também é perpendicular ao outro.
- Duas retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.
- Planos distintos paralelos a um mesmo plano são paralelos entre si.
O que não se transfere automaticamente do plano
| Afirmação falsa no espaço | Contraexemplo em um cubo |
|---|---|
| Duas retas perpendiculares a uma mesma reta são paralelas. | Duas arestas adjacentes de uma face podem ser ambas perpendiculares a uma aresta vertical e não ser paralelas. |
| Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. | Sobre uma face paralela à base, escolha arestas de duas direções diferentes. |
| Dois planos perpendiculares a um mesmo plano são paralelos. | Duas faces verticais adjacentes são perpendiculares à base e são secantes. |
| Duas retas sem ponto comum são paralelas. | AB e CG não se encontram, mas são reversas. |
| Se r∥s⊂α, então r∥α. | r pode estar contida em α; é preciso excluir a contenção. |
Reta perpendicular a um plano
Uma reta r é perpendicular ao plano α em H quando H=r∩α e r é perpendicular a toda reta de α que passa por H. O critério fundamental permite provar isso usando somente duas direções independentes:
Reciprocamente, r⊥α implica r⊥x para toda reta x⊂α que passe por H. Duas retas paralelas do plano não bastam: elas fornecem uma única direção.
Se uma reta x⊂α não passa pelo pé H, r e x não se intersectam. Suas direções são ortogonais, mas as retas são reversas ortogonais, não perpendiculares.
Unicidade e convenções
- Por qualquer ponto P do espaço passa uma única reta perpendicular a α.
- Por P exterior a α passa um único plano paralelo a α.
- Por um ponto P passa um único plano perpendicular a uma reta r.
Se P∈α, não há plano distinto paralelo a α passando por P. Na convenção que admite coincidência como paralelismo inclusivo, o único é o próprio α.
Teorema das Três Perpendiculares
Considere P exterior a α, PH⊥α, A∈α e AH como projeção da oblíqua PA sobre α. Se r⊂α passa por A, então:
De fato, a direção de r é ortogonal a PH porque r está no plano; por hipótese, também é ortogonal a AH. Logo é ortogonal à direção resultante de PH e HA, que determina PA. Como r e PA se encontram em A, são perpendiculares. O argumento invertido prova a recíproca.
Planos perpendiculares, diedros e seções normais
Se um plano β contém uma reta r perpendicular a α, então β⊥α. Na recíproca, se α⊥β e s=α∩β, a reta de β perpendicular a s por um ponto H∈s é perpendicular a α. Isso não vale para qualquer reta de β.
Um diedro é formado por dois semiplanos com a mesma reta de origem: os semiplanos são as faces, a reta comum é a aresta e a abertura é sua medida angular. Um plano perpendicular à aresta produz uma seção normal; o ângulo plano dessa seção mede o diedro. Cortes oblíquos podem produzir outros ângulos e não servem para medi-lo.
Para planos secantes, escolha H na interseção s e trace, em cada plano, uma reta perpendicular a s em H. O menor ângulo entre elas é o ângulo entre os planos. Para planos paralelos ou coincidentes, θ=0°. Sempre 0°≤θ≤90°; se θ=90°, os planos são perpendiculares.
Ângulo entre reta e plano
Se AP é secante a α em A, P é exterior e H é a projeção ortogonal de P, então AH é a projeção de AP. O ângulo entre AP e α é θ=∠PAH.
Quando AP⊥α, sua projeção degenera no ponto A, portanto esse caso é tratado separadamente. No triângulo retângulo APH, com denominadores não nulos:
Exemplo: se AP=10 e AH=6, então PH=√(10²−6²)=8, cos θ=3/5, sen θ=4/5 e tan θ=4/3. O ângulo com a normal PH é complementar ao ângulo com o plano.
Projeções ortogonais e distâncias
Projeções
- A projeção de P sobre α é o pé H da perpendicular.
- A projeção do segmento AB é A'B', formado pelas projeções dos extremos.
- A projeção de uma reta não perpendicular ao plano é uma reta; se ela é perpendicular, a projeção é um ponto.
- A projeção de uma figura é o conjunto das projeções de todos os seus pontos.
Projeções podem reduzir comprimentos e degenerar. Se um segmento mede L e forma ângulo θ com o plano, sua projeção mede L·cos θ.
Distância é o menor comprimento perpendicular
| Objetos | Distância |
|---|---|
| Ponto P e plano α | d(P,α)=|PH|, com PH⊥α. Para Q∈α, PQ²=PH²+HQ², logo PQ≥PH, com igualdade apenas em Q=H. |
| Reta r e plano α | Zero se r é secante ou contida. Se r∥α, d(r,α)=d(P,α) para qualquer P∈r. |
| Planos α e β | Zero se secantes ou coincidentes. Se paralelos distintos, é qualquer perpendicular comum entre eles. |
| Retas concorrentes ou coincidentes | Zero. |
| Retas paralelas distintas | Perpendicular comum no plano que as contém. |
| Retas reversas | Comprimento da única perpendicular comum no espaço euclidiano tridimensional. |
Ângulo e distância são informações diferentes: retas reversas ortogonais podem formar 90° entre suas direções e, ao mesmo tempo, ter distância positiva.
Aplicações em cubos e paralelepípedos
No cubo ABCD–EFGH, ABCD é a base, EFGH é a face paralela correspondente e AE, BF, CG e DH são arestas laterais. Assim, cada letra superior está sobre a correspondente inferior.
No paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, faça duas etapas: a diagonal da base é db=√(a²+b²); depois, d=√(db²+c²)=√(a²+b²+c²).
Se θ é o ângulo da diagonal espacial com a base, sua projeção é db e a altura é c:
No cubo, cos θ=√6/3 e sen θ=√3/3. Não confunda θ com o ângulo entre a diagonal e a normal à base: eles são complementares.
Pegadinhas e estratégia de prova
- Perspectiva não prova coplanaridade, paralelismo, incidência nem 90°.
- Retas sem ponto comum podem ser paralelas ou reversas.
- Reversas com direções a 90° são ortogonais, não perpendiculares.
- Duas retas perpendiculares à mesma reta não precisam ser paralelas no espaço.
- Dois planos perpendiculares ao mesmo plano não precisam ser paralelos.
- De r∥s⊂α só se conclui r∥α após excluir r⊂α.
- Critérios entre planos devem preservar a possibilidade de coincidência quando a distinção não é dada.
- Uma só reta do plano, ou duas retas paralelas, não provam r⊥α.
- Uma reta perpendicular a α não é perpendicular a uma reta de α que não passe pelo pé.
- Segmento oblíquo não mede distância; projeções podem degenerar em ponto.
- Ângulo com o plano e ângulo com a normal são complementares.
Dez questões resolvidas
1. Quando há plano único?
Uma reta r e um ponto P determinam um plano?
Se P∉r, sim: há um único plano que contém r e P.
Se P∈r, os dados se reduzem à reta r; infinitos planos a contêm.
Conclusão: a exterioridade do ponto é indispensável.
2. Arestas do cubo
No cubo ABCD–EFGH, classifique AB com CD, BF, CG e DH.
AB∥CD: são coplanares e não se encontram. AB e BF são concorrentes e perpendiculares em B.
AB e CG são reversas; suas direções são ortogonais. AB e DH também são reversas ortogonais.
A classificação vem das faces e incidências declaradas, não da perspectiva.
3. Ângulo reta–plano
AP=10 e sua projeção AH=6. Determine PH e as razões trigonométricas de θ=∠PAH.
Na seção APH, PH⊥AH e AP é a hipotenusa.
PH=√(10²−6²)=8.
cos θ=6/10=3/5, sen θ=8/10=4/5 e tan θ=8/6=4/3.
4. Menor caminho até o plano
PH=12 é perpendicular a α; Q∈α e HQ=5. Calcule PQ.
PH⊥α implica PH⊥HQ. Logo, PHQ é retângulo em H.
PQ=√(12²+5²)=13.
Assim, PQ=13>12=PH: a oblíqua não é a distância.
5. Distância entre reversas
Num cubo de aresta 6, calcule a distância entre AB e CG.
BC liga B∈AB a C∈CG.
Na base, BC⊥AB; na face BCGF, BC⊥CG.
BC é a perpendicular comum. Portanto, d(AB,CG)=BC=6.
6. Diagonal de 3×4×12
Determine a diagonal espacial do paralelepípedo.
Na base 3×4, db=√(3²+4²)=5.
Na seção vertical com a altura 12, d=√(5²+12²)=13.
Resultado: 13 unidades.
7. Ângulo da diagonal com a base
No paralelepípedo anterior, determine seno e cosseno do ângulo θ da diagonal espacial com a base.
A projeção mede 5, a altura mede 12 e a diagonal mede 13.
cos θ=5/13 e sen θ=12/13.
O ângulo com a normal teria seno e cosseno trocados.
8. Diagonal do cubo
Num cubo de aresta a, calcule o cosseno do ângulo entre AG e a base ABCD.
A projeção de AG é AC=a√2; AG=a√3.
cos θ=AC/AG=√2/√3=√6/3.
A seção utilizada é o triângulo retângulo ACG.
9. Três Perpendiculares
PH⊥α, AH é a projeção de PA e r⊂α passa por A. Sabe-se que r⊥AH. O que concluir?
Como r está em α, sua direção é ortogonal a PH.
Ela também é ortogonal a AH. Pelo Teorema das Três Perpendiculares, r⊥PA.
A incidência em A permite dizer perpendicular, e não apenas ortogonal.
10. Contraexemplo lógico
Dois planos perpendiculares a um mesmo plano são necessariamente paralelos?
Não. Considere a base ABCD de um cubo.
As faces ABFE e BCGF são ambas perpendiculares à base, mas se cortam na aresta BF.
Logo, são planos secantes; a imagem em perspectiva apenas ilustra o contraexemplo.
Exercícios
Resolva pela incidência e pelas hipóteses. A perspectiva das figuras não constitui prova.
1. Qual configuração determina um único plano?
2. Duas retas não coplanares são:
3. Se r∩α={P}, a reta r é:
4. Dois planos distintos possuem um ponto comum. A interseção deles é:
5. As direções de duas retas reversas formam 90°. Na convenção escolar estrita, elas são:
6. Para provar r⊥α em H, é suficiente mostrar que r é perpendicular, em H, a:
7. PH=12 é a distância de P ao plano α; Q∈α e HQ=5. Quanto mede PQ?
8. Um segmento de comprimento 10 forma 60° com um plano. Sua projeção ortogonal mede:
9. A medida correta de um diedro é obtida por:
10. Analise: I. Planos distintos perpendiculares à mesma reta são paralelos. II. Se β contém uma reta perpendicular a α, então β⊥α. III. Planos perpendiculares a um mesmo plano são sempre paralelos. IV. Retas paralelas a um mesmo plano são sempre paralelas entre si. São verdadeiras:
11. P∉α, PH⊥α, AH é a projeção de PA, e r⊂α passa por A. Se r⊥AH, então:
12. No cubo ABCD–EFGH de aresta 6, a classificação de AB e CG e a distância entre elas são, respectivamente:
13. No cubo ABCD–EFGH de aresta a, seja φ o ângulo entre AG e o plano diagonal BDFH. O valor de sen φ é:
14. Num paralelepípedo 6×8×24, considere a diagonal espacial e seu ângulo θ com a base 6×8. A terna (diagonal, projeção na base, cos θ) é:
15. No cubo ABCD–EFGH de aresta 6, analise: I. AB e CG são reversas ortogonais. II. BC é a perpendicular comum entre AB e CG. III. As faces ABFE e BCGF, ambas perpendiculares à base, são paralelas. IV. O cosseno do ângulo entre AG e a base é √6/3. São verdadeiras:
Gabarito comentado
1-C. Duas paralelas distintas são coplanares e determinam um único plano. Pontos colineares, uma reta com ponto nela e uma reta isolada pertencem a infinitos planos.
2-B. “Não coplanares” é a condição definidora de retas reversas. Paralelas precisam ser coplanares.
3-A. Um único ponto comum caracteriza uma reta secante. Paralela teria interseção vazia e contida teria infinitos pontos comuns.
4-D. Dois planos distintos que se encontram têm uma reta comum; três pontos não colineares comuns os fariam coincidir.
5-C. O ângulo entre as direções é 90°, logo são ortogonais; sem interseção e sem plano comum, não são perpendiculares.
6-B. As duas retas precisam ser distintas, concorrentes, contidas em α e passantes pelo pé H. Retas paralelas não fornecem duas direções independentes.
7-C. Na seção PHQ, PH⊥HQ: PQ=√(12²+5²)=13. Somar ou subtrair os catetos ignora Pitágoras.
8-A. Projeção=L·cos θ=10·cos60°=5. A distância entre as projeções dos extremos na direção normal seria 10·sen60°=5√3.
9-D. A seção normal é perpendicular à aresta do diedro. Um corte oblíquo pode produzir ângulo diferente.
10-B. I e II são critérios válidos. III falha para duas faces verticais adjacentes de um cubo; IV falha para retas de direções diferentes num plano paralelo ao plano dado.
11-D. Na seção espacial, r é ortogonal a PH por estar em α e é perpendicular a AH por hipótese; o Teorema das Três Perpendiculares dá r⊥PA. Como ambas passam por A, há incidência.
12-B. AB e CG não se encontram nem são paralelas: são reversas. Suas direções formam 90°. A seção pelas faces mostra BC⊥AB e BC⊥CG, com B∈AB e C∈CG; logo d=BC=6.
13-C. No plano BDFH, uma normal tem direção de AC. A componente de AG nessa normal mede a√2, enquanto AG=a√3. Para ângulo entre reta e plano, sen φ=(componente normal)/(diagonal)=√2/√3=√6/3.
14-C. Na base, db=√(6²+8²)=10. Na seção vertical, d=√(10²+24²)=26; então cos θ=10/26=5/13.
15-A. I e II seguem da perpendicular comum BC; IV segue de AC=6√2 e AG=6√3. III é falsa: ABFE e BCGF são secantes em BF. A perspectiva só ilustra, enquanto incidências e faces quadradas provam os fatos.
Resumo final
- Plano único: três pontos não colineares; reta e ponto exterior; duas concorrentes distintas; duas paralelas distintas.
- Paralelas são coplanares; reversas não são. Ortogonalidade trata das direções; perpendicularidade exige incidência.
- Reta–plano: contida, secante ou paralela. Plano–plano: coincidentes, paralelos distintos ou secantes numa reta.
- Todo critério precisa das hipóteses completas, inclusive distinção, concorrência e exclusão da contenção.
- Reta perpendicular a plano pode ser reconhecida por duas retas concorrentes do plano, ambas passando pelo pé.
- Ângulos entre planos usam seção normal; ângulos reta–plano usam projeção ortogonal.
- Distância é o comprimento mínimo perpendicular. Segmentos oblíquos são maiores.
- O Teorema das Três Perpendiculares liga uma oblíqua à sua projeção.
- No cubo, diagonais de face e espacial medem a√2 e a√3; no paralelepípedo, d=√(a²+b²+c²).
- Uma perspectiva ajuda a visualizar, mas nunca substitui a prova.