Superfície e sólido poliédrico
Uma superfície poliédrica é uma reunião finita e conexa de regiões poligonais planas, chamadas faces. Duas faces distintas podem não se encontrar, encontrar-se em um único vértice ou compartilhar uma aresta inteira; elas não devem atravessar o interior uma da outra.
Aberta
Pode possuir arestas pertencentes a uma única face. Essas arestas formam uma borda livre.
Fechada
Não possui borda livre. Cada aresta pertence exatamente a duas faces.
Simples
Não possui autointerseções: partes não incidentes da superfície não se atravessam.
Um sólido poliédrico é a região do espaço delimitada por uma superfície poliédrica fechada adequada. A superfície é a fronteira bidimensional; o sólido inclui essa fronteira e seu interior tridimensional.
| Conceito | O que mede ou descreve |
|---|---|
| Superfície | A fronteira formada pelas faces. |
| Sólido | A região tridimensional, incluindo o interior. |
| Área total | A medida da superfície. |
| Volume | A medida da região ocupada pelo sólido. |
Convenção desta aula. Usaremos “poliedro” para o sólido poliédrico e chamaremos explicitamente sua fronteira de superfície poliédrica. Um desenho em perspectiva é apenas uma representação, não o próprio poliedro.
Elementos, adjacências e ângulo poliédrico
- Face: região poligonal da superfície.
- Aresta: segmento inteiro comum a duas faces, no caso fechado.
- Vértice: extremidade de arestas.
- Faces adjacentes: possuem uma aresta em comum.
- Arestas adjacentes: possuem um vértice em comum.
- Vértices adjacentes: são extremos da mesma aresta.
- Grau de um vértice: número de arestas que incidem nele; não é medida angular.
- Ângulo poliédrico: configuração formada pelas faces incidentes em um vértice.
Nesta página, A representa o número de arestas, não área. Duas faces que compartilham somente um vértice não são chamadas adjacentes pela convenção adotada.
Poliedros convexos e não convexos
Um sólido poliédrico é convexo quando, para quaisquer dois pontos do sólido, todo o segmento que os une está contido no sólido. Ele é não convexo quando existe pelo menos um par de pontos cujo segmento de união possui pontos exteriores ao sólido.
Caracterização complementar: em um poliedro convexo, cada plano que contém uma face deixa todo o sólido em um mesmo semiespaço. A perspectiva pode ocultar reentrâncias; portanto, a classificação deve vir da definição, das coordenadas ou das relações geométricas, não apenas da aparência.
Diagonais de face e diagonais espaciais
Uma diagonal de face une dois vértices não consecutivos de uma mesma face. Uma face de n lados possui:
Se as faces têm diferentes quantidades nf de lados, o total é:
Cada diagonal de face é contada uma única vez. Em uma superfície poliédrica usual, ela não é aresta.
Para um poliedro convexo, adotamos: diagonal espacial é o segmento que une dois vértices não adjacentes que não pertencem a uma mesma face. A convexidade garante que o segmento permaneça no sólido.
Os C(V,2) pares de vértices se dividem em arestas, diagonais de faces e diagonais espaciais. Assim:
A fórmula pressupõe um poliedro convexo simples, com faces encontrando-se apenas como definido no início. Em poliedros não convexos, alguns autores ainda exigem que o interior do segmento fique dentro do sólido; por isso não aplicaremos a fórmula geral a eles.
Prismas e pirâmides
Prisma de base n-gonal
Possui duas faces congruentes e paralelas, chamadas bases; faces laterais paralelogrâmicas; e arestas laterais paralelas e congruentes. Há n vértices em cada base, n arestas em cada base e n arestas laterais, além de duas bases e n faces laterais.
- Reto: arestas laterais perpendiculares aos planos das bases.
- Oblíquo: arestas laterais não perpendiculares às bases.
- Regular: prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
Um prisma triangular regular tem bases equiláteras e faces laterais retangulares: possui dois tipos de face e, portanto, não é um poliedro regular de Platão.
Pirâmide de base n-gonal
Possui uma base poligonal, um vértice exterior ao plano da base chamado ápice e n faces laterais triangulares que unem o ápice aos lados da base. Há n vértices na base mais o ápice; n arestas da base mais n laterais; e a base mais n faces triangulares.
- Reta regular: base regular e projeção ortogonal do ápice no centro da base.
- Oblíqua: essa projeção não coincide com o centro da base.
- Tetraedro regular: caso especial com quatro faces triangulares equiláteras congruentes.
Uma pirâmide regular escolar não é necessariamente um poliedro de Platão: suas faces laterais podem ser triângulos isósceles diferentes da base.
| Família | V | A | F |
|---|---|---|---|
| Prisma n-gonal | 2n | 3n | n + 2 |
| Pirâmide n-gonal | n + 1 | 2n | n + 1 |
Diagonais espaciais em prismas e pirâmides
No prisma convexo n-gonal, as duas bases somam n(n − 3) diagonais e as n faces laterais quadrangulares somam 2n. Portanto, Dfaces = n(n − 1). Como V = 2n e A = 3n:
| Prisma | n | Diagonais espaciais |
|---|---|---|
| Triangular | 3 | 0 |
| Quadrangular, incluindo o cubo | 4 | 4 |
| Pentagonal | 5 | 10 |
| Hexagonal | 6 | 18 |
Em uma pirâmide, todo par ápice–vértice da base é uma aresta, e todo par de vértices da base pertence à própria base. Logo:
Pegadinha importante. Nenhuma pirâmide possui diagonal espacial segundo a definição adotada, mesmo quando a base tem muitas diagonais.
Contagem por incidências
As igualdades desta seção valem para uma superfície poliédrica fechada, em que cada aresta pertence exatamente a duas faces.
Face–aresta
Se Fk é a quantidade de faces com k lados, somar os lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes:
Com 4 faces triangulares e 3 quadrangulares, 2A = 4·3 + 3·4 = 24, então A = 12, caso a superfície exista. Se houvesse 5 triângulos e 2 quadriláteros, a soma seria 15 + 8 = 23; por ser ímpar, não poderia valer 2A, e a configuração fechada seria impossível.
Vértice–aresta
Se gv é o grau do vértice v, cada aresta contribui com dois extremos:
Se todos os vértices têm grau q, então qV = 2A. Por exemplo, se A = 30 e todos os vértices têm grau 5, 5V = 60 e V = 12.
Face–vértice
Somar o número nf de vértices de cada face também fornece Σnf = 2A, pois cada face poligonal tem tantos vértices quanto lados. Em um poliedro convexo simples, o número de faces incidentes em um vértice coincide com seu grau. Se exatamente q faces se encontram em cada vértice, qV = 2A.
Condições necessárias de incidência
Em um poliedro convexo, cada face tem pelo menos três lados e em cada vértice incidem pelo menos três arestas. Por isso:
Essas desigualdades são necessárias, não suficientes. Elas podem eliminar uma proposta, mas não constroem nem garantem a existência do poliedro.
Poliedro regular convexo
Um poliedro regular convexo satisfaz simultaneamente:
- todas as faces são polígonos regulares congruentes;
- o mesmo número de faces encontra-se em cada vértice;
- o arranjo local das faces é o mesmo em todos os vértices.
Faces apenas regulares ou apenas congruentes não bastam. “Prisma regular” e “pirâmide regular” descrevem famílias por outras convenções e não significam automaticamente “poliedro regular”.
Observação sobre semirregularidade
“Poliedro semirregular” recebe convenções diferentes na literatura. No contexto dos sólidos arquimedianos, considera-se um poliedro convexo com faces poligonais regulares, possivelmente de mais de um tipo, e com o mesmo arranjo de faces ao redor de cada vértice. Não adotaremos aqui uma convenção sobre incluir ou excluir prismas e antiprismas.
Condição angular local
Em um vértice convexo, a soma dos ângulos planos das faces incidentes deve ser menor que 360°. Se fosse igual, as faces ficariam planas localmente; se fosse maior, não formariam um vértice convexo.
Por que existem somente cinco?
Se cada face é um p-ágono regular e q faces se encontram em cada vértice, então p, q ≥ 3. O ângulo interno de cada face é:
A condição qα < 360° equivale a:
- Se p = 3, então q = 3, 4 ou 5.
- Se p = 4, então q = 3.
- Se p = 5, então q = 3.
- Se p ≥ 6, cada ângulo tem pelo menos 120°; três deles já somam pelo menos 360°.
As únicas possibilidades locais são (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) e (5,3). A desigualdade limita os casos; a existência é confirmada pelas construções conhecidas dos cinco sólidos.
Os cinco poliedros de Platão
| Nome | Face regular | p | q | F | A | V |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triângulo equilátero | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 |
| Cubo | quadrado | 4 | 3 | 6 | 12 | 8 |
| Octaedro | triângulo equilátero | 3 | 4 | 8 | 12 | 6 |
| Dodecaedro | pentágono regular | 5 | 3 | 12 | 30 | 20 |
| Icosaedro | triângulo equilátero | 3 | 5 | 20 | 30 | 12 |
Para faces p-gonais e q faces por vértice, as incidências verificam pF = 2A e qV = 2A. No icosaedro, 3·20 = 2A dá A = 30; depois, 5V = 60 dá V = 12.
O diagrama é uma representação em perspectiva. A regularidade vem das definições métricas e combinatórias, não do modo como o desenho parece.
Poliedros duais
O dual é obtido trocando faces por vértices e vértices por faces, preservando as incidências. Assim, F e V trocam de lugar, A permanece igual e os parâmetros p e q são trocados.
| Poliedro | Dual | Troca |
|---|---|---|
| Tetraedro | Tetraedro | Autodual |
| Cubo | Octaedro | (p,q): (4,3) ↔ (3,4) |
| Dodecaedro | Icosaedro | (p,q): (5,3) ↔ (3,5) |
Exemplo: o cubo tem (F,A,V) = (6,12,8); seu dual, o octaedro, tem (F,A,V) = (8,12,6).
Antecipação: Relação de Euler
Para poliedros convexos, as contagens também satisfazem V − A + F = 2. Nesta página, a fórmula é apenas uma antecipação: sua demonstração, suas hipóteses precisas e suas consequências serão estudadas na próxima aula.
Os exercícios desta aula foram construídos para serem resolvidos por definições, fórmulas de famílias, diagonais e incidências, sem exigir Euler.
Contagem necessária não garante existência
Uma proposta de dez faces pentagonais fornece 10·5 = 2A e A = 25. Isso é somente uma condição necessária: ainda não há construção nem garantia de que os vértices e faces possam ser encaixados.
Mesmo satisfazer todas as contagens conhecidas pode não fornecer, por si só, uma realização geométrica. É preciso verificar a estrutura de incidências e a realizabilidade.
Impossibilidade conclusiva
Se a soma dos lados das faces é ímpar, não existe A inteiro com ΣkFk = 2A. A contradição prova impossibilidade.
Compatibilidade limitada
Obter A inteiro apenas mostra que o primeiro teste foi superado. Não identifica o sólido nem prova que ele existe.
Estratégia para questões de contagem
- Identifique se a superfície é fechada.
- Liste os tipos de faces e suas quantidades.
- Some os lados de todas as faces.
- Divida por 2 para obter A.
- Se houver graus, use Σgv = 2A.
- Use fórmulas específicas de prismas ou pirâmides quando a família for conhecida.
- Use Euler somente depois de apresentado e quando suas hipóteses forem satisfeitas.
- Verifique integralidade, grau mínimo e número mínimo de lados por face.
- Para diagonais espaciais, retire arestas e todas as diagonais de faces dos pares de vértices.
- Não conclua a forma apenas por V, A e F.
Pegadinhas e condições de validade
- Confundir a superfície bidimensional com o sólido e seu interior.
- Aplicar ΣkFk = 2A a uma superfície aberta.
- Afirmar que toda interseção de faces é aresta; ela também pode ser vazia ou um vértice.
- Confundir aresta, diagonal de face e diagonal espacial.
- Esquecer as diagonais das faces ao contar diagonais espaciais.
- Achar que uma pirâmide possui diagonal espacial.
- Chamar prisma regular ou pirâmide regular de poliedro de Platão.
- Dizer que faces regulares, sozinhas, garantem regularidade.
- Aplicar uma definição de semirregular sem declarar a convenção.
- Usar A como área em uma fórmula de contagem de arestas.
- Concluir existência apenas porque A e V são inteiros.
- Identificar um sólido somente por V, A e F.
- Usar Euler antes de conhecer suas hipóteses.
- Concluir convexidade ou regularidade pela perspectiva.
Questões resolvidas passo a passo
1. Prisma hexagonal
Determine V, A, F e o número de diagonais espaciais.
Hipótese: prisma convexo, n = 6.
V = 2n = 12, A = 3n = 18 e F = n + 2 = 8.
Despacial = n(n − 3) = 6·3 = 18.
2. Pirâmide octogonal
Determine V, A, F e as diagonais espaciais.
Com n = 8: V = 9, A = 16 e F = 9.
Todo par com o ápice é aresta; pares da base pertencem à base.
Logo, Despacial = 0.
3. Faces mistas
Uma superfície fechada possui 4 faces triangulares e 3 quadrangulares. Determine A, caso exista.
2A = 4·3 + 3·4 = 24.
A = 12.
É uma condição necessária; não prova existência.
4. Impossibilidade por paridade
Pode uma superfície fechada ter 5 faces triangulares e 2 quadrangulares?
A soma de lados é 5·3 + 2·4 = 23.
Seria necessário 2A = 23, impossível para A inteiro.
Logo, essa superfície fechada não existe.
5. Diagonais do cubo
Separe as diagonais de faces das espaciais.
As 6 faces quadradas têm 2 diagonais cada: Dfaces = 12.
C(8,2) = 28 e A = 12.
Despacial = 28 − 12 − 12 = 4.
6. Incidências no icosaedro
Há F = 20 faces triangulares e q = 5 faces em cada vértice.
3F = 2A: 60 = 2A; A = 30.
5V = 2A = 60; V = 12.
As contagens verificam a tabela.
7. Identificação regular
Um poliedro regular convexo possui 8 faces triangulares e q = 4.
A regularidade é hipótese explícita.
O par é (p,q) = (3,4).
Logo, trata-se do octaedro regular.
8. Dual do cubo
Determine o dual e suas contagens.
O cubo tem (F,A,V) = (6,12,8).
No dual, F e V trocam, e A permanece.
Obtemos (8,12,6): o octaedro.
9. Classificação por (p,q)
Qual regular convexo corresponde a (5,3)?
As faces são pentágonos regulares e três encontram-se em cada vértice.
O par (5,3) está entre os cinco possíveis.
Ele corresponde ao dodecaedro.
10. Contagens não identificam
Uma superfície fechada tem 8 faces triangulares e todos os vértices de grau 4. O que se conclui?
3·8 = 2A dá A = 12.
4V = 2A = 24 dá V = 6.
As contagens coincidem com o octaedro, mas sem regularidade não o identificam.
Exercícios
1. Qual afirmação distingue corretamente superfície e sólido poliédrico?
2. Pela convenção desta aula, duas faces são adjacentes quando:
3. Um sólido poliédrico é convexo quando:
4. Segundo a definição adotada, uma pirâmide n-gonal possui quantas diagonais espaciais?
5. Uma face com 9 lados possui quantas diagonais?
6. Um prisma heptagonal possui, respectivamente, (V,A,F):
7. Quantas diagonais espaciais possui um cubo?
8. Uma superfície poliédrica fechada tem 4 faces triangulares e 3 quadrangulares. Pelas incidências:
9. Uma superfície fechada tem A = 30 e todos os vértices de grau 5. O valor de V é:
10. Se existir um poliedro convexo com V = 10, A = 17, 4 faces triangulares, 3 quadrangulares e 2 pentagonais, quantas diagonais espaciais terá?
11. Uma superfície fechada tem 8 faces triangulares, 6 quadrangulares e todos os vértices de grau 3. O que as incidências permitem concluir?
12. Analise: I. Em superfície fechada, ΣkFk = 2A é necessária. II. Obter A inteiro garante existência. III. V, A e F identificam unicamente o sólido. IV. Mesmo incidências compatíveis podem exigir teste de realizabilidade.
13. Em um poliedro regular convexo com faces pentagonais, o único valor possível de q é:
14. O dual de um dodecaedro tem (F,A,V) e nome iguais a:
15. Uma superfície fechada tem 8 faces triangulares e todos os vértices de grau 4. A conclusão rigorosa é:
Gabarito comentado:
1-B: a superfície é a fronteira bidimensional; o sólido contém também o interior tridimensional.
2-C: faces adjacentes compartilham uma aresta inteira pela convenção adotada.
3-D: convexidade é definida pela permanência de todos os segmentos entre pontos do sólido.
4-A: pares com o ápice são arestas e pares da base pertencem à base; não sobra diagonal espacial.
5-C: 9(9 − 3)/2 = 27.
6-B: para n = 7, V = 2n = 14, A = 3n = 21 e F = n + 2 = 9.
7-D: C(8,2) − 12 arestas − 12 diagonais de faces = 28 − 24 = 4.
8-A: 2A = 4·3 + 3·4 = 24, então A = 12; essa incidência é necessária, não suficiente.
9-C: Σgv = 2A fornece 5V = 60 e V = 12.
10-B: Dfaces = 0 + 3·2 + 2·5 = 16; logo Despacial = C(10,2) − 17 − 16 = 12, sob as hipóteses dadas.
11-D: 2A = 8·3 + 6·4 = 48 dá A = 24; 3V = 48 dá V = 16. São condições necessárias.
12-C: I e IV são verdadeiras; integralidade e as três contagens globais não garantem existência nem unicidade.
13-A: para p = 5, a condição 1/p + 1/q > 1/2 permite somente q = 3.
14-D: no dual, F e V trocam e A permanece; (12,30,20) torna-se (20,30,12), o icosaedro.
15-B: 3·8 = 2A dá A = 12 e 4V = 24 dá V = 6. Sem a hipótese de regularidade, não se identifica o octaedro.
Resumo final
- A superfície é a fronteira; o sólido inclui superfície e interior.
- Faces, arestas e vértices formam a estrutura, e grau conta arestas incidentes.
- Convexidade é uma propriedade de segmentos, não da aparência do desenho.
- Dfaces = Σnf(nf − 3)/2 e Despacial = C(V,2) − A − Dfaces, sob as hipóteses declaradas.
- Prisma: (V,A,F) = (2n,3n,n+2); pirâmide: (n+1,2n,n+1).
- Em superfícies fechadas, ΣkFk = 2A e Σgv = 2A.
- Regularidade exige faces regulares congruentes e o mesmo arranjo em cada vértice.
- Os pares possíveis são (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) e (5,3).
- Tetraedro é autodual; cubo–octaedro e dodecaedro–icosaedro são pares duais.
- Condições necessárias não garantem existência, e V, A e F não identificam automaticamente o sólido.