Elementos e contagens
O cubo possui 6 faces quadradas, 12 arestas congruentes e 8 vértices. Há 12 diagonais faciais — duas em cada face — e 4 diagonais espaciais, uma para cada par de vértices opostos.
a é a medida da aresta.
Áreas e volume
Quatro faces formam a superfície lateral em relação a uma base escolhida; as outras duas são bases:
Em pintura, verifique quantas faces estão expostas ou encostadas em outras peças.
Deduções das diagonais
Numa face quadrada, d_f²=a²+a², então d_f=a√2. Usando d_f e uma aresta perpendicular:
Seção paralela a uma face
Todo plano interno paralelo a uma face produz um quadrado congruente à face, de lado a. Sua área é a². Um plano coincidente com a face não é uma seção interna, embora tenha a mesma forma.
Seção diagonal retangular
Um plano que contém duas arestas opostas e paralelas do cubo determina uma seção diagonal retangular de lados a e a√2. Sua área é a²√2.
As arestas opostas fornecem um lado a; as diagonais de duas faces paralelas fornecem o lado a√2.
Seções triangulares e outras possibilidades
Um plano por três vértices adequados pode formar uma seção triangular. Outros cortes podem produzir quadriláteros, pentágonos ou hexágonos; portanto, não reduza todas as seções aos três exemplos abaixo.
Esferas inscrita e circunscrita
Na esfera inscrita, o diâmetro é a distância entre faces opostas, igual a a. Na circunscrita, o diâmetro é a diagonal espacial a√3:
Escala, pintura e volume removido
Se a aresta é multiplicada por k, comprimentos multiplicam por k, áreas por k² e volumes por k³. Em sólidos removidos, subtraia volumes sem sobreposição e mantenha unidades cúbicas.
Pegadinhas e condições de validade
- O cubo tem 12 diagonais faciais como segmentos, não 6.
- A seção diagonal retangular exige duas arestas opostas e paralelas; não é qualquer plano por quatro arestas.
- O raio circunscrito é metade da diagonal espacial, não metade da diagonal facial.
- Ao duplicar a aresta, a área quadruplica e o volume octuplica.
Questões resolvidas passo a passo
1. Aresta a partir da diagonal
A diagonal espacial mede 6√3. Encontre a, A_T e V.
a√3=6√3, então a=6.
A_T=6·6²=216.
V=6³=216.
2. Seção diagonal
Num cubo de aresta 4, calcule a área da seção diagonal retangular.
Os lados são a=4 e a√2=4√2.
Área=4·4√2.
Resultado: 16√2.
3. Esfera circunscrita
Cubo de aresta 8. Determine o raio da esfera circunscrita.
A diagonal espacial é 8√3.
Ela é o diâmetro da esfera.
R=8√3/2=4√3.
4. Esfera removida
De um cubo de aresta 6 retira-se a esfera inscrita. Calcule o volume restante.
V_cubo=6³=216.
r=3 e V_esfera=4π·3³/3=36π.
V_restante=216−36π.
Exercícios
1. O número total de diagonais faciais de um cubo é:
2. Um bloco cúbico de aresta 3 será pintado em todas as faces. A área pintada é:
3. Um cubo de volume 64 tem diagonal espacial:
4. A seção diagonal retangular de um cubo de aresta 2 tem área:
5. O raio da esfera inscrita num cubo de aresta 10 é:
6. Uma esfera de raio 3√3 circunscreve um cubo. O volume desse cubo é:
7. Um cubo de aresta 6 é dividido em 27 cubinhos congruentes, que são separados. A soma das áreas totais dos cubinhos é:
8. De um cubo de aresta 6 é retirada a esfera inscrita. O volume restante é:
Gabarito comentado:
1-D: São duas por face em seis faces: 12 segmentos.
2-C: As seis faces ficam expostas: 6a²=6·9=54.
3-B: a=4 e d=a√3.
4-C: a²√2=4√2.
5-A: O diâmetro da esfera inscrita é a aresta.
6-D: a=2R/√3=6; portanto V=a³=216.
7-D: Cada cubinho tem aresta 2 e área 24; separados, os 27 totalizam 27·24=648.
8-C: r=3 e V_esfera=36π.
Resumo final
- O cubo possui 6 faces, 12 arestas, 8 vértices, 12 diagonais faciais e 4 espaciais.
- A_L=4a², A_T=6a² e V=a³.
- d_f=a√2 e d=a√3.
- A seção diagonal retangular tem lados a e a√2.
- Esfera inscrita: r=a/2; circunscrita: R=a√3/2.