Definição correta e classificação
O cubo é o poliedro convexo formado por seis faces quadradas congruentes. Equivalentemente, é um paralelepípedo reto-retângulo cujas doze arestas possuem a mesma medida positiva a.
- prisma quadrangular regular;
- paralelepípedo reto-retângulo de arestas congruentes;
- hexaedro regular;
- um dos cinco poliedros regulares convexos.
- todo cubo é prisma reto de base quadrada;
- todo cubo é paralelepípedo reto-retângulo;
- as recíprocas são falsas em geral.
“Hexaedro regular” significa: seis quadrados congruentes, três faces e três arestas em cada vértice e todos os ângulos diedros internos retos. A conexão geral é desenvolvida na aula de Poliedros.
Elementos e contagens
| Elemento | Quantidade | Justificativa |
|---|---|---|
| Faces quadradas | 6 | Três pares de faces opostas. |
| Arestas | 12 | Três arestas congruentes em cada vértice. |
| Vértices | 8 | Três faces em cada vértice. |
| Diagonais de face | 12 | Duas por face; nenhuma pertence a duas faces. |
| Diagonais espaciais | 4 | Quatro pares de vértices opostos. |
A igualdade verifica Euler. Além disso, C(8,2)=28 segmentos ligam pares de vértices: 12 arestas de comprimento a, 12 diagonais faciais de comprimento a√2 e 4 diagonais espaciais de comprimento a√3. Logo, 12+12+4=28.
Simetria e centro do cubo
As quatro diagonais espaciais concorrem no centro O e são divididas por ele ao meio. O centro é equidistante dos oito vértices e das seis faces; por isso, o cubo possui simetria central.
Há 9 planos de simetria: 3 paralelos a pares de faces opostas e passando pelo centro, além de 6 planos diagonais.
Soma das arestas
Como as 12 arestas medem a, o comprimento total é:
L usa unidade linear. Não o confunda com A_L=4a², A_T=6a² ou V=a³.
Exemplo inverso: se L=60 cm, então a=5 cm, A_T=150 cm² e V=125 cm³.
Área lateral, área total e volume
Fixe a>0. Escolhendo duas faces opostas como bases, restam quatro faces laterais, cada uma com área a². As seis faces formam a superfície total.
Se a está em centímetros, as áreas ficam em cm² e o volume em cm³.
Diagonal de uma face
Uma diagonal divide a face quadrada em dois triângulos retângulos de catetos a. Por Pitágoras:
A raiz é positiva, pois a>0. Inversamente, a=d_f/√2=d_f√2/2. Assim, A_f=d_f²/2, A_T=3d_f² e V=d_f³√2/4.
Diagonal espacial em duas etapas
A diagonal espacial D, a diagonal facial d_f e uma aresta perpendicular à face formam outro triângulo retângulo:
Inversamente, a=D/√3=D√3/3. Portanto, A_T=2D², V=D³√3/9 e D/d_f=√(3/2)=√6/2.
Relações inversas
| Dado | Aresta | Natureza |
|---|---|---|
| L | a=L/12 | linear |
| A_L | a=√(A_L/4) | quadrática |
| A_T | a=√(A_T/6) | quadrática |
| V | a=∛V | cúbica |
| d_f | a=d_f√2/2 | linear |
| D | a=D√3/3 | linear |
Seção paralela a uma face
Todo plano paralelo ao plano de uma face, situado entre duas faces opostas e interceptando o interior do cubo, determina um quadrado congruente às faces: lado a, perímetro 4a e área a². Um plano coincidente com uma face não gera seção interna. Numa pirâmide, em contraste, cortes paralelos à base variam de tamanho.
Seção diagonal retangular
Um plano que contém duas arestas paralelas que não pertencem à mesma face determina o retângulo ACGE, de lados a e a√2.
Seção triangular equilátera
Escolha A,C,F de modo que cada par seja extremidade de uma diagonal de face. Assim, AC=CF=FA=a√2, e o plano produz uma seção equilátera.
Seção hexagonal regular central
O plano perpendicular a uma diagonal espacial e passando pelo centro intercepta seis arestas em seus pontos médios, formando um hexágono regular de lado a/√2.
Outras formas de seção
Uma seção plana não degenerada é um polígono convexo triangular, quadrilateral, pentagonal ou hexagonal. Cada lado está numa face; como cada uma das seis faces convexas contribui com no máximo um segmento, há no máximo seis lados.
Planificações do cubo
Uma planificação válida possui seis quadrados congruentes ligados por arestas completas e dobra sem sobreposição. Existem 11 planificações essencialmente diferentes, considerando rotações e reflexões equivalentes.
Esferas inscrita e circunscrita
Tangente às seis faces; 2r=a.
V_i=πa³/6, V_i/V=π/6 e, se removida, resta a³(1−π/6).
Passa nos oito vértices; 2R=D=a√3.
V_c=π√3a³/2 e V/V_c=2/(π√3).
R=r√3, r/R=√3/3, a=2r=2R/√3. Metade da diagonal facial é a distância do centro de uma face ao seu vértice, não o raio dessas esferas.
Escala e semelhança
Se a é multiplicada por k>0, L,d_f,D multiplicam por k, áreas por k² e volume por k³. Aresta dobrada dá áreas quatro vezes e volume oito vezes; volume ×125 dá aresta ×5; área ×49 dá aresta ×7.
Cubos pintados e subdivididos
Um cubo pintado externamente e depois dividido em n³ cubinhos, com n≥2, produz:
| Faces pintadas | Quantidade | Posição |
|---|---|---|
| 3 | 8 | cantos |
| 2 | 12(n−2) | interior das arestas |
| 1 | 6(n−2)² | interior das faces |
| 0 | (n−2)³ | interior do cubo |
A identidade confere a contagem. n=1 é caso especial.
Subdivisão e área após os cortes
Cada cubinho tem aresta a/n e área 6(a/n)². Depois de separados:
A área das peças é n vezes a área externa original, mas os volumes ainda somam a³. Diferencie área pintada, novas faces e área total das peças.
Para aresta 6 e 27 peças, n=3: cada aresta é 2, cada área é 24 e a soma é 27·24=648.
Cubo oco e volume de material
Num cubo fechado de aresta externa a e espessura uniforme e, suponha 0<2e<a. A cavidade tem aresta a−2e.
Com a=10 cm e e=1 cm: material 1000−512=488 cm³ e capacidade 512 cm³=512 mL. Uma caixa sem tampa pode ter redução vertical diferente.
Aprofundamento: tetraedro alternado
Quatro vértices alternados formam um tetraedro regular de lado a√2, pois suas arestas são diagonais faciais.
O cubo se decompõe nesse tetraedro e quatro tetraedros de canto. Cada canto tem três arestas perpendiculares a e volume a³/6; os quatro ocupam 2a³/3, restando a³/3.
Erros que derrubam pontos
- Definir cubo só por arestas iguais ou achar que todo romboedro é cubo.
- Contar 6, e não 12, diagonais faciais; trocar d_f=a√2 por D=a√3.
- Trocar os raios inscrito e circunscrito ou usar metade da diagonal facial.
- Não identificar o plano do corte; supor que todo corte perpendicular à diagonal espacial seja hexagonal regular.
- Usar fórmulas de pintura quando a pintura ocorreu depois da separação.
- Confundir aumento de área das peças com aumento de volume, ou converter unidades lineares como cúbicas.
- Subtrair áreas quando se pede volume removido.
- Inferir medidas ou perpendicularidade pela perspectiva.
Exemplos resolvidos passo a passo
1. Diagonal espacial
D=6√3 cm.
a=6 cm; A_T=216 cm²; V=216 cm³.
2. Área total
A_T=294 cm².
6a²=294⇒a=7 cm; V=343 cm³; D=7√3 cm.
3. Seção diagonal
Aresta 4.
A=16√2; P=8(1+√2); diagonal 4√3.
4. Seção triangular
Aresta 6.
Lado 6√2; área 18√3.
5. Hexágono central
Aresta 4.
Lado 2√2; área 12√3.
6. Esferas
Aresta 8.
r=4, R=4√3; volumes 256π/3 e 256π√3.
7. Cubos pintados
Divisão em 5³.
3 faces: 8; 2: 36; 1: 54; nenhuma: 27. Soma: 125.
8. Cubo oco
Aresta 10 cm, espessura 1 cm.
Cavidade 8 cm; material 488 cm³; capacidade 512 mL.
Exercícios
1. Qual afirmação define corretamente um cubo?
2. A soma das distâncias entre todos os pares de vértices de um cubo de aresta a é:
3. Se a soma das arestas é 60 cm, área total e volume são:
4. A diagonal espacial mede 5√3 cm. A área total é:
5. Na planificação identificada, qual face fica oposta à A?
6. No cubo de aresta 8, a seção perpendicular à diagonal espacial e pelo centro tem área:
7. Uma esfera de raio 6 circunscreve um cubo. Seu volume é:
8. Um cubo pintado é dividido em 6³ cubinhos. Quantos têm no máximo uma face pintada?
9. Vinte e sete cubos de aresta 2 são fundidos, sem perda, em um cubo. Sua área total é:
10. Cubo oco fechado: aresta externa 12 e espessura 2. O volume de material é:
11. A área total aumenta 44%. O volume é multiplicado por:
12. O cubo tem volume 216. O tetraedro de quatro vértices alternados tem volume:
Gabarito comentado:
1-B: arestas congruentes e ângulos retos são indispensáveis.
2-D: 12 arestas, 12 diagonais faciais e 4 espaciais.
3-C: a=5, então A_T=150 e V=125.
4-A: A_T=2D²=150.
5-D: ao dobrar, A e F ficam opostas.
6-B: 3√3·8²/4=48√3.
7-C: a=12/√3=4√3 e V=192√3.
8-B: 6·4²+4³=96+64=160.
9-A: volume 216, aresta 6 e área total 216.
10-D: 12³−8³=1216.
11-C: aresta ×√1,44=1,2; volume ×1,2³=1,728.
12-B: 216/3=72.
Resumo final
6 faces, 12 arestas, 8 vértices, 12 diagonais de face e 4 espaciais.
L=12a, A_L=4a², A_T=6a², V=a³, d_f=a√2, D=a√3.
Áreas: paralela a²; diagonal a²√2; triangular a²√3/2; hexagonal central 3√3a²/4.
r=a/2 e R=a√3/2.