Paralelepípedo geral
Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Todas as seis faces são paralelogramos; faces opostas são paralelas e congruentes.
Para qualquer paralelepípedo, reto ou oblíquo, A_b é a área da base escolhida e h é a distância perpendicular entre os planos das bases:
Paralelepípedo reto-retângulo
No reto-retângulo, todas as faces são retângulos e as dimensões a, b e c são mutuamente perpendiculares. Somente nesse caso, escolhendo ab como base e c como altura:
A área lateral depende da base escolhida. Com base a×b e altura c, A_L=2(a+b)c.
As três diagonais faciais
Existem três medidas possíveis de diagonal facial, uma para cada par de dimensões:
Cada medida aparece em duas faces opostas; como cada face retangular possui duas diagonais, há 12 segmentos diagonais de face ao todo.
Diagonal espacial em duas etapas
Se d₁ é a diagonal da base a×b, então d₁²=a²+b². A diagonal espacial D forma, com d₁ e c, outro triângulo retângulo:
D representa a maior haste retilínea que cabe inteiramente numa caixa reto-retangular.
Arestas, volume e capacidade
Há quatro arestas de cada dimensão; a soma dos comprimentos das doze arestas é:
Volume interno e capacidade devem usar dimensões internas. Se houver espessura e, as dimensões internas são reduzidas em 2e nas direções com duas paredes.
Planificação e caixas abertas
A planificação possui dois retângulos ab, dois ac e dois bc. Uma caixa sem tampa tem área A=ab+2ac+2bc quando a abertura é a face ab. Se duas faces forem abertas, subtraia exatamente as áreas indicadas.
Comparações sem cálculo diferencial
Entre caixas reto-retangulares de mesmo volume, dimensões mais equilibradas tendem a reduzir a área total. Em questões escolares, compare possibilidades inteiras, use fatoração abc=V e calcule 2(ab+ac+bc).
Não conclua um mínimo apenas por aparência; liste as possibilidades compatíveis com as condições do enunciado.
Embalagens, hastes e cortes
Problemas de embalagem podem pedir material, capacidade, diagonal ou soma das arestas. Identifique primeiro se a caixa é fechada, sem tampa ou vazada.
Pegadinhas e condições de validade
- V=abc e D=√(a²+b²+c²) são fórmulas do reto-retângulo, não do paralelepípedo geral.
- A altura é perpendicular à base; numa figura oblíqua ela não é a aresta lateral.
- Caixa sem tampa não usa A_T completo.
- Capacidade usa medidas internas, enquanto material externo pode exigir medidas externas.
Questões resolvidas passo a passo
1. Área, volume e diagonal
Uma caixa fechada mede 3×4×12. Calcule V, A_T e D.
V=3·4·12=144.
A_T=2(3·4+3·12+4·12)=2(12+36+48)=192.
D=√(3²+4²+12²)=√169=13.
2. Caixa sem tampa
Base 10×6 e altura 4. Qual a área de material sem a tampa 10×6?
Base inferior: 10·6=60.
Faces laterais: 2·10·4+2·6·4=80+48.
Área=60+80+48=188.
3. Maior haste
Uma embalagem mede 6×8×24. Qual a maior haste retilínea interna?
D²=6²+8²+24²=36+64+576=676.
D=26.
A haste ocupa uma diagonal espacial.
4. Comparação inteira
Entre caixas 2×6×6, 2×4×9 e 3×4×6, todas de volume 72, qual usa menos área?
Áreas: 2×6×6 dá 120; 2×4×9 dá 124.
3×4×6 dá 2(12+18+24)=108.
A opção 3×4×6 usa menos material entre as três.
Exercícios
1. No paralelepípedo geral, todas as faces são:
2. Um reto-retângulo 2×3×6 tem volume:
3. Para a=3, b=4 e c=12, a diagonal da face a×b mede:
4. Nas mesmas dimensões 3, 4 e 12, a diagonal espacial mede:
5. A soma das doze arestas de uma caixa 2×3×5 é:
6. Uma caixa sem tampa tem base 10×6 e altura 4. A área de material é:
7. A maior haste que cabe numa caixa 6×8×24 mede:
8. Entre 2×6×6, 2×4×9 e 3×4×6, de volume 72, a menor área total é:
Gabarito comentado:
1-B: A definição geral exige seis faces paralelogrâmicas.
2-C: V=abc=36.
3-A: √(3²+4²)=5.
4-B: √(9+16+144)=13.
5-C: 4(2+3+5)=40.
6-B: 60+80+48=188.
7-C: D=√676=26.
8-A: A caixa 3×4×6 possui área 108.
Resumo final
- Paralelepípedo geral: faces paralelogrâmicas e V=A_bh.
- Reto-retângulo: V=abc e A_T=2(ab+ac+bc).
- Há três medidas de diagonal facial e D=√(a²+b²+c²).
- A soma das arestas é 4(a+b+c).
- Áreas de caixas abertas dependem das faces efetivamente presentes.