Definição e elementos
Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Equivalentemente, é um poliedro de seis faces, todas paralelogrâmicas.
As faces opostas são paralelas e congruentes e formam três pares. Qualquer par oposto pode ser escolhido como bases; a altura passa a ser a distância entre os planos desse par, mas o volume não muda.
| Elemento | Quantidade ou propriedade |
|---|---|
| Faces | 6 paralelogramos, em 3 pares opostos. |
| Arestas | 12, em 3 grupos de 4 paralelas e congruentes. |
| Vértices | 8. |
| Diagonais espaciais | 4, ligando pares de vértices opostos. |
A igualdade verifica a relação de Euler. A altura e a área da base sempre se referem ao par de faces escolhido.
Hierarquia e classificação
| Tipo | Caracterização |
|---|---|
| Geral | Seis paralelogramos; pode ser oblíquo; ângulos das faces não precisam ser retos. |
| Reto | Arestas laterais perpendiculares ao plano da base escolhida; faces laterais retangulares; a base pode ser um losango. |
| Reto-retângulo | Todas as faces retangulares; três arestas de um vértice são duas a duas perpendiculares. Também chamado bloco retangular ou ortoedro. |
| Cubo | Reto-retângulo com todas as arestas congruentes. |
Todo cubo é reto-retângulo e todo reto-retângulo é paralelepípedo; as recíprocas são falsas. Uma caixa de dimensões diferentes não é cubo; um paralelepípedo reto de base losangular não precisa ser reto-retângulo; no oblíquo, não há, em geral, três direções mutuamente perpendiculares.
Propriedades estruturais
Arestas adjacentes compartilham um vértice; faces opostas não compartilham aresta. Uma diagonal facial une vértices opostos de uma face, enquanto uma diagonal espacial liga vértices opostos do sólido.
As quatro diagonais espaciais concorrem em um ponto que é o ponto médio de todas elas: o centro de simetria do paralelepípedo. No caso geral, essas diagonais não precisam ter a mesma medida. No reto-retângulo, as quatro são congruentes.
Paralelepípedo geral
Para qualquer paralelepípedo, A_b é a área da face escolhida como base e h é a distância perpendicular até sua face oposta:
Se a base tem lados p,q e ângulo interno θ, então A_b=pq·senθ. Se a aresta lateral g forma ângulo α com o plano da base, h=g·senα. Logo:
Condições: 0°<θ<180°, 0°<α≤90° e unidades compatíveis. A fórmula abc não vale para um caso geral.
Se as áreas dos três tipos de faces adjacentes são A₁,A₂,A₃, cada uma tem uma oposta congruente:
Cada A_i deve ser calculada como produto de dois lados pelo seno do ângulo compreendido.
Paralelepípedo reto-retângulo
Sejam a,b,c>0 as três arestas que partem do mesmo vértice, duas a duas perpendiculares.
Há duas faces de área ab, duas de ac e duas de bc. Com base a×b e altura c:
A expressão da área lateral muda quando se escolhe outro par como bases; a área total não muda.
Áreas e volume: condições de uso
| Grandeza | Geral | Reto-retângulo |
|---|---|---|
| Volume | A_bh | abc |
| Área total | 2(A₁+A₂+A₃) | 2(ab+ac+bc) |
| Hipótese | Áreas paralelogrâmicas e altura perpendicular. | Três direções mutuamente perpendiculares. |
Soma das arestas
Há quatro arestas de cada comprimento a,b,c:
L é uma grandeza linear; não se soma com área, volume ou diagonal.
Diagonais das faces
São três medidas possíveis, não três segmentos. Cada tipo aparece em um par de faces opostas e cada face tem duas diagonais: há quatro diagonais de cada medida e 12 segmentos ao todo.
Diagonal espacial em duas etapas
Primeiro, d_ab²=a²+b². Depois, no triângulo retângulo formado por d_ab,c,D:
A fórmula exige um reto-retângulo. Suas quatro diagonais espaciais têm medida D e passam pelo centro.
D é o maior segmento entre dois pontos do bloco; representa a maior haste retilínea de espessura desprezível inteiramente contida, desconsiderando a inserção pela abertura.
Relações entre faces, diagonais e volume
Três diagonais faciais
De fato, a soma é (a²+b²)+(a²+c²)+(b²+c²)=2(a²+b²+c²). Portanto, D=√[(d_ab²+d_ac²+d_bc²)/2].
Se d_ab=√13, d_ac=√20 e d_bc=5, então 2a²=13+20−25=8; logo a=2,b=3,c=4,V=24,D=√29.
Áreas de três faces adjacentes
Se x=ab,y=ac,z=bc, então xyz=(abc)²=V²:
Para áreas 6, 10 e 15, V=√900=30 e as dimensões são 2, 3 e 5, conforme a nomeação das faces.
Planificação e caixas abertas
A superfície fechada possui dois retângulos ab, dois ac e dois bc. Há várias redes válidas; arestas a unir devem ter medidas compatíveis e as faces não podem se sobrepor.
Quais faces existem?
Não há fórmula única para “caixa aberta”. Com base a×b, altura c e sem a tampa ab:
Se a abertura for uma face ac, resta A=2ab+ac+2bc. Caixa sem fundo, aberta em duas faces ou com abas exige somar exatamente as faces presentes.
Espessura, capacidade e material
Numa caixa fechada de dimensões externas A,B,C e espessura uniforme e, suponha 2e<A,2e<B,2e<C.
Numa caixa sem tampa, a altura interna pode perder apenas e, conforme a construção. Declare a geometria antes de calcular.
Exemplo: dimensões externas 30 cm × 20 cm × 15 cm e espessura 1 cm. Internamente: 28 × 18 × 13 cm. Capacidade 28·18·13=6552 cm³=6,552 L. Volume externo 9000 cm³; material 9000−6552=2448 cm³.
| Conversão | Igualdade |
|---|---|
| Mililitro | 1 cm³=1 mL |
| Litro | 1 dm³=1 L=1000 cm³ |
| Metro cúbico | 1 m³=1000 L=100³ cm³=1 000 000 cm³ |
Capacidade usa dimensões internas; volume ocupado externamente usa dimensões externas. Converta todas as medidas antes de multiplicar.
Seções e cortes
Um corte interno paralelo a uma face do reto-retângulo produz retângulo congruente a ela e mantém área constante ao longo da dimensão perpendicular. Outros planos produzem seções diferentes.
No bloco a×b×c, o plano que contém uma aresta de comprimento a e a aresta oposta paralela a ela gera um retângulo de lados a e √(b²+c²):
Semelhança e escala
Multiplicando todas as dimensões por k>0, soma das arestas e diagonais multiplicam por k, área por k² e volume por k³.
Razão linear 2:5 dá diagonais 2:5, áreas 4:25 e volumes 8:125. Inversamente, volumes 125:216 dão razão linear 5:6 e áreas 25:36.
Otimização sem cálculo diferencial
Para volume fixo V=abc, AM-GM aplicada a ab,ac,bc fornece:
A igualdade ocorre somente quando ab=ac=bc; como as dimensões são positivas, a=b=c. Portanto, entre todos os blocos fechados de mesmo volume, o cubo tem área total mínima.
Se a+b+c é constante, AM-GM dá abc≤[(a+b+c)/3]³, com igualdade no cubo: para soma fixa das dimensões, seu volume é máximo.
Erros que derrubam pontos
- Usar V=abc, A_T=2(ab+ac+bc) ou D=√(a²+b²+c²) num caso oblíquo.
- Achar que todo paralelepípedo, ou todo paralelepípedo reto, é reto-retângulo.
- Dizer que há apenas três diagonais de face; são três medidas e 12 segmentos.
- Confundir diagonal facial com espacial ou somar grandezas de dimensões diferentes.
- Usar dimensões externas para capacidade ou subtrair 2e onde existe uma só parede.
- Usar área de caixa fechada numa caixa sem tampa.
- Converter unidades lineares como cúbicas.
- Supor que a diagonal garante entrada de um objeto espesso.
- Concluir mínimo ou perpendicularidade pela aparência da figura.
Exemplos resolvidos
1. Área, volume e diagonal
Bloco 3 cm × 4 cm × 12 cm.
V=144 cm³.
A_T=2(12+36+48)=192 cm².
D=√169=13 cm.
2. Caso oblíquo
Base: lados 8 e 5, ângulo 30°; aresta lateral 10 a 45° do plano.
A_b=8·5·sen30°=20.
h=10·sen45°=5√2.
V=100√2. Os dados não determinam necessariamente a área total.
3. Áreas das faces
Três faces adjacentes têm áreas 6, 10 e 15.
V=√(6·10·15)=30.
As dimensões recuperadas são 2, 3 e 5.
4. Diagonais faciais
Medidas √13,√20,5.
2a²=13+20−25=8; então a,b,c=2,3,4.
V=24 e D=√29.
5. Caixa com espessura
Externa 30 × 20 × 15 cm, espessura 1 cm.
Interna: 28 × 18 × 13 cm.
Capacidade 6552 cm³=6,552 L; material 2448 cm³.
6. Mínimo global
Volume fixo 64.
A_T≥6·64^(2/3)=96.
A igualdade ocorre no cubo de aresta 4.
7. Comparação finita
Caixas 2×6×6, 2×4×9 e 3×4×6, todas de volume 72.
Áreas: 120, 124 e 108.
3×4×6 é a melhor apenas entre as três opções dadas.
Exercícios
1. Qual afirmação é sempre verdadeira?
2. As áreas de três faces adjacentes de um reto-retângulo são 12, 18 e 24. O volume é:
3. As três medidas de diagonais faciais são √13,√20 e 5. O volume é:
4. As dimensões são proporcionais a 2:3:6 e a diagonal espacial mede 14. O volume é:
5. Um reto-retângulo fechado tem volume 216. A menor área total possível é:
6. A soma das doze arestas é 48. O maior volume possível é:
7. Base paralelogrâmica de lados 6 e 10, ângulo 30°; aresta lateral 8 a 60° do plano. O volume é:
8. Num bloco 6×8×15, a seção contém uma aresta 6 e a oposta paralela. Sua área é:
9. Dois blocos semelhantes têm volumes na razão 125:216. A razão entre suas áreas é:
10. Uma caixa tem faces ab,ab,ac,ac,bc,bc e está aberta pela retirada de uma face ac. Sua área é:
11. Caixa fechada externa 30×20×15 cm, espessura 1 cm. A capacidade é:
12. De um reto-retângulo conhecem-se apenas V=6 e D=√14. A área total fica determinada?
Gabarito comentado:
1-B: a definição equivalente exige seis faces paralelogrâmicas; diagonais congruentes exigem o caso reto-retângulo.
2-C: V=√(12·18·24)=√5184=72.
3-A: das equações das diagonais resultam dimensões 2, 3 e 4; V=24.
4-D: D=k√(4+9+36)=7k=14; k=2, dimensões 4, 6, 12 e volume 288.
5-B: AM-GM dá o mínimo no cubo de aresta 6: A_T=6·6²=216.
6-C: a+b+c=12; o produto máximo ocorre em a=b=c=4, dando 64.
7-A: A_b=30, h=8·sen60°=4√3 e V=120√3.
8-D: o outro lado é √(8²+15²)=17; área 6·17=102.
9-B: a razão linear é ∛(125/216)=5/6; áreas ficam 25:36.
10-C: retirando uma das duas faces ac, resta 2ab+ac+2bc.
11-A: dimensões internas 28×18×13 cm; 6552 cm³=6,552 L.
12-D: duas equações para três dimensões não determinam, em geral, ab+ac+bc. Por exemplo, 1×2×3 satisfaz os dados, e há outros trios positivos próximos com o mesmo produto e soma de quadrados.
Resumo final
V=A_bh e A_T=2(A₁+A₂+A₃).
V=abc, A_T=2(ab+ac+bc), L=4(a+b+c).
d_ab=√(a²+b²), d_ac=√(a²+c²), d_bc=√(b²+c²), D=√(a²+b²+c²).
d_ab²+d_ac²+d_bc²=2D²; V=√(xyz) para áreas adjacentes x,y,z.