Superfície esférica, esfera e elementos
Superfície esférica é o conjunto de pontos a distância R do centro. Esfera ou bola inclui a superfície e os pontos interiores. O diâmetro mede 2R; um hemisfério é metade da esfera por um plano que passa pelo centro.
Área e volume
A mede apenas a superfície; V mede a região sólida. Ao escalar R por k, a área varia por k² e o volume por k³.
Seções planas e condições de interseção
Se d é a distância do centro ao plano: para 0≤d<R, a seção é círculo de raio ρ; para d=R, há tangência num ponto; para d>R, não há interseção.
Círculo máximo e hemisférios
O círculo máximo ocorre quando d=0, tem raio R e divide a esfera em dois hemisférios. Toda seção circular deslocada do centro tem raio menor que R.
Calota esférica
Calota é a parte da superfície limitada por um plano. Para altura 0≤h≤2R:
A primeira fórmula é somente da superfície curva; o volume inclui a região sólida da calota.
Zona esférica
Zona é a faixa da superfície entre dois planos paralelos. Se h é a distância entre esses planos, medida no eixo:
A igualdade formal com a área da calota não torna as regiões iguais; h precisa representar a altura correspondente.
Fuso esférico
Fuso é a região da superfície entre dois semicírculos máximos que formam ângulo central α. Em graus e em radianos, respectivamente:
Não misture graus com a fórmula em radianos.
Transformações e conservação de volume
Quando uma esfera é derretida e moldada em outros sólidos sem perda, iguale volumes. O número de peças multiplica o volume de cada uma; unidades devem ser cúbicas.
Pegadinhas e condições de validade
- Em d=R a interseção degenera em um ponto, não em círculo de raio positivo.
- A_calota=2πRh não inclui o disco da base.
- A fórmula 2R²α exige α em radianos.
- Superfície esférica e esfera sólida não possuem a mesma grandeza: uma usa área, outra volume.
Questões resolvidas passo a passo
1. Seção deslocada
Esfera R=5 e plano a d=3 do centro. Encontre ρ.
ρ²=R²−d²=25−9=16.
ρ=4.
Como d<R, a seção é circular não degenerada.
2. Calota
R=5 e h=2. Calcule área curva e volume da calota.
A=2π·5·2=20π.
V=π·2²(5−2/3).
V=52π/3.
3. Fuso
R=2 e α=90°. Calcule a área.
O fuso ocupa 90/360=1/4 da superfície.
A_esfera=4π·2²=16π.
A_fuso=4π.
4. Esfera transformada
Esfera R=3 vira três cones iguais de raio 3. Ache a altura de cada cone.
V_esfera=4π·27/3=36π; cada cone recebe 12π.
V_cone=π·9·h/3=3πh.
3πh=12π, então h=4.
Exercícios
1. Esfera de raio 3 possui área:
2. O círculo máximo de uma esfera de raio R tem raio:
3. Para R=5 e d=3, o raio da seção é:
4. Quando d=R, a interseção do plano com a esfera é:
5. Uma zona esférica de altura 2 numa esfera de raio 5 possui área:
6. A mesma calota tem volume:
7. Compare um hemisfério de raio 4 com uma esfera de raio 2. A razão entre seus volumes é:
8. Esfera R=3 vira três cones iguais de raio 3. A altura de cada cone é:
Gabarito comentado:
1-D: 4πR²=36π.
2-B: Seu plano passa pelo centro.
3-C: ρ=√(25−9)=4.
4-C: É o caso tangente.
5-B: A_zona=2πRh=2π·5·2=20π.
6-C: π·4(5−2/3)=52π/3.
7-C: V_hemisfério=(1/2)(4/3)π·4³=128π/3 e V_esfera=(4/3)π·2³=32π/3; a razão é 4.
8-B: 36π/3=12π e 3πh=12π.
Resumo final
- Superfície usa A=4πR²; esfera sólida usa V=4πR³/3.
- Seção: ρ²=R²−d² para 0≤d<R; d=R é tangência.
- Círculo máximo ocorre em d=0.
- Calota: A=2πRh e V=πh²(R−h/3).
- Zona: A=2πRh; fuso depende do ângulo em graus ou radianos.