Definições separadas por família
Poliedro inscrito numa esfera tem todos os vértices na superfície; esfera inscrita num poliedro é tangente a todas as faces.
Para cilindros e cones, não se fala em “todos os vértices” do cilindro. O sólido fica contido na esfera e círculos das bases, vértice ou superfícies relevantes tocam a esfera conforme a configuração.
Cubo e esfera
Se a é a aresta:
O primeiro diâmetro é a distância entre faces opostas; o segundo é a diagonal espacial.
Razões de área e volume no cubo
Para esfera inscrita, V_esfera/V_cubo=π/6. Para a circunscrita, substitua R=a√3/2. Compare áreas somente depois de identificar quais superfícies estão sendo pedidas.
Cilindro e esfera
Esfera de raio R inscrita em cilindro reto exige r_cilindro=R e h=2R. Para cilindro reto inscrito em esfera de raio R, a seção axial é retângulo inscrito no círculo máximo:
Cone e seção axial triangular
Um cone reto de raio r, altura h e geratriz g produz triângulo axial isósceles de base 2r, altura h e lados g. Inscrever ou circunscrever esfera ao cone reduz-se a inscrever ou circunscrever círculo nesse triângulo.
Esfera inscrita no cone
Se ρ é o inraio do triângulo axial, área=semiperímetro·ρ. Como a área triangular é rh e o semiperímetro é r+g:
A dedução é de geometria plana e exige cone circular reto.
Esfera circunscrita ao cone
O raio R é o circunraio do triângulo axial. Usando R=abc/(4Δ), com lados g,g,2r e área Δ=rh:
O centro pode ficar dentro ou fora do cone conforme sua abertura; a fórmula continua ligada ao triângulo axial.
Estratégia de resolução
- construa a seção axial ou diagonal;
- identifique triângulo, retângulo ou círculo inscrito;
- use Pitágoras e fórmulas planas;
- retorne ao sólido para área ou volume.
Pegadinhas e condições de validade
- A definição por vértices vale para poliedros, não para cilindros.
- No cilindro inscrito, h/2 e r formam os catetos da seção axial.
- As fórmulas ρ=rh/(r+g) e R=g²/(2h) exigem cone reto e derivam do triângulo axial.
- Esfera inscrita e circunscrita usam raios diferentes.
Questões resolvidas passo a passo
1. Cubo e duas esferas
Cubo de aresta 6. Encontre os raios inscrito e circunscrito.
r=6/2=3.
R=6√3/2=3√3.
Os diâmetros são a aresta e a diagonal espacial.
2. Cilindro inscrito
Esfera R=5 contém cilindro reto de altura 8. Encontre r.
Na seção axial: r²+(8/2)²=5².
r²+16=25.
r=3.
3. Esfera inscrita no cone
Cone r=3, h=4 e g=5. Encontre ρ.
ρ=rh/(r+g).
ρ=3·4/(3+5)=12/8.
ρ=3/2.
4. Esfera circunscrita ao cone
No mesmo cone 3–4–5, encontre R.
R=g²/(2h).
R=25/(2·4).
R=25/8.
Exercícios
1. Esfera inscrita em cubo de aresta 6 tem raio:
2. Esfera circunscrita ao mesmo cubo tem raio:
3. A razão V_esfera inscrita/V_cubo é:
4. Esfera R=4 inscrita em cilindro reto exige:
5. Cilindro de altura 8 inscrito em esfera R=5 tem raio:
6. Um cone reto tem r=5 e h=12. O raio da esfera inscrita é:
7. Para o mesmo cone de r=5 e h=12, o raio da esfera circunscrita é:
8. Uma peça cilíndrica de raio 4 deve caber exatamente numa esfera de raio 5. A altura máxima da peça é:
Gabarito comentado:
1-B: r=a/2=3.
2-C: R=a√3/2.
3-B: (4/3)π(a/2)³/a³=π/6.
4-C: O raio coincide e a altura é o diâmetro.
5-B: r²+4²=5².
6-C: Primeiro g=√(5²+12²)=13; depois ρ=rh/(r+g)=60/18=10/3.
7-C: Com g=13, R=g²/(2h)=169/24.
8-B: (h/2)²=25−16=9, então h=6.
Resumo final
- Poliedros inscritos usam vértices; cilindros exigem definição por contato e contenção.
- Cubo: r=a/2 e R=a√3/2.
- Cilindro inscrito: r²+(h/2)²=R².
- Cone reto: ρ=rh/(r+g) e R=g²/(2h).
- A seção axial transforma o problema espacial em geometria plana.