Elementos e classificação
O cone possui base circular, vértice, eixo, raio r, altura h perpendicular à base e geratrizes. No cone circular reto, o eixo passa pelo centro da base; no oblíquo, não.
O cone de revolução é o reto gerado pela rotação de um triângulo retângulo.
Relação métrica no cone reto
Na seção axial do cone circular reto, metade do triângulo isósceles é retângula:
g é geratriz, não altura. Essa relação não deve ser transferida automaticamente ao cone oblíquo.
Áreas do cone reto
A_T inclui a base. A superfície lateral corresponde a um setor circular na planificação.
Volume
O volume usa a altura perpendicular e vale para o cone correspondente; um cone ocupa um terço do cilindro de mesma base e altura.
Planificação e ângulo do setor
O setor lateral tem raio g e arco 2πr. Se α está em graus:
A área do setor é πrg, coerente com A_L.
Seção axial e cone equilátero
A seção axial é triângulo isósceles de base 2r, altura h e lados g. Se ela é equilátera, o cone é equilátero:
Seções paralelas e semelhança
Uma seção paralela à base produz um círculo. Se sua distância ao vértice é x e a altura total H, então r_seção/r=x/H. Áreas variam com (x/H)² e volumes de cones semelhantes com (x/H)³.
Cone, cilindro e problemas inversos
Cone e cilindro com mesma base e altura têm volumes na razão 1:3. Em problemas inversos, encontre primeiro g, r ou h pela planificação ou por Pitágoras e só depois calcule área ou volume.
Pegadinhas e condições de validade
- g²=r²+h² exige cone circular reto.
- O setor da planificação tem raio g, não r.
- O arco do setor mede 2πr, não a circunferência de raio g inteira.
- Razões de áreas e volumes em cones semelhantes são quadrática e cúbica.
Questões resolvidas passo a passo
1. Cone 3–4–5
r=3 e h=4. Calcule g, A_T e V.
g=√(3²+4²)=5.
A_T=π·3(5+3)=24π.
V=π·9·4/3=12π.
2. Ângulo da planificação
r=3 e g=5. Determine α.
α=360°·r/g.
α=360°·3/5.
α=216°.
3. Cone equilátero
Um cone equilátero tem r=4. Encontre g e h.
g=2r=8.
h=r√3=4√3.
A seção axial é um triângulo equilátero de lado 8.
4. Dados pela planificação
g=10 e α=144°. Encontre r, h e V.
r/g=144/360=2/5, então r=4.
h=√(10²−4²)=√84=2√21.
V=π·16·2√21/3=32π√21/3.
Exercícios
1. No cone reto com r=3 e h=4, g vale:
2. Nesse cone, o volume é:
3. Para r=3 e g=5, a área lateral é:
4. O ângulo do setor lateral para r=3 e g=5 é:
5. Cone equilátero de raio r possui altura:
6. Um cone de raio 9 e altura 12 recebe uma seção paralela a 8 unidades do vértice. A área dessa seção é:
7. Um cilindro de raio 3 e altura 12 é esvaziado em quatro cones iguais de raio 3. A altura de cada cone é:
8. Um chapéu cônico é montado com setor de raio 10 e ângulo 144°. O volume interno do cone é:
Gabarito comentado:
1-B: Triângulo 3–4–5.
2-C: π·9·4/3=12π.
3-B: πrg=15π.
4-D: 360°·3/5=216°.
5-C: A seção axial equilátera dá h=r√3.
6-C: k=8/12=2/3; o raio da seção é 6 e sua área é 36π.
7-C: O cilindro tem 108π; quatro cones somam 4·(3πh)=12πh, logo h=9.
8-B: r=4, h=2√21 e V=32π√21/3.
Resumo final
- No cone reto: g²=r²+h².
- A_L=πrg, A_T=πr(g+r) e V=πr²h/3.
- Planificação: setor de raio g e arco 2πr; α=360°r/g.
- Cone equilátero: g=2r e h=r√3.
- Seções paralelas geram razões lineares, quadráticas e cúbicas.