Ponto médio | EstudaMath

Ponto médio e justificativa

M é o ponto do segmento AB que satisfaz AM=MB. Suas coordenadas ficam exatamente entre as coordenadas correspondentes dos extremos:

M=((xₐ+xᵦ)/2,(yₐ+yᵦ)/2)

Na reta paramétrica A+t(B−A), o ponto médio ocorre em t=1/2, produzindo A+(B−A)/2=(A+B)/2.

Recuperação de um extremo

B=2M-A e A=2M-B

As operações são vetoriais, coordenada a coordenada. Se M=(3,2) e A=(−1,5), então B=(6,4)−(−1,5)=(7,−1).

Divisão interna em razão m:n

Se AP:PB=m:n, com m>0, n>0 e m+n≠0:

P=(nA+mB)/(m+n)

Os pesos aparecem no extremo oposto porque P=A+t(B−A), com t=m/(m+n). Desenvolvendo: P=[(m+n)A−mA+mB]/(m+n)=(nA+mB)/(m+n).

Forma paramétrica e posição

P=A+t(B-A)

0≤t≤1: P está no segmento;
0<t<1: P é interior;
t=0: P=A; t=1: P=B;
t=1/2: ponto médio;
t<0 ou t>1: P está fora do segmento.

Para AP:PB=m:n, t=m/(m+n).

Divisão externa

Convenção: P está na reta AB, fora do segmento, e AP:PB=m:n em comprimentos positivos, com m,n>0 e m≠n. Então:

P=(mB-nA)/(m-n)

Se m>n, P fica além de B; se m<n, além de A. O caso m=n não tem solução finita, pois o denominador zera. Sempre declare a convenção, pois razões orientadas podem usar sinais diferentes.

Paralelogramo e mediana

As diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. Para vértices consecutivos A,B,C,D, vale A+C=B+D, logo D=A+C−B.

Em um triângulo, a mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Calcular esse ponto é o primeiro passo para escrever ou medir a mediana.

Parâmetros, eixos e retas

Se o ponto calculado deve pertencer ao eixo x, imponha sua ordenada igual a zero; no eixo y, imponha a abscissa zero. Para pertencimento a uma reta, substitua as coordenadas obtidas na equação.

Resolva primeiro a condição geométrica e só depois descarte valores que contrariem m>0, n>0 ou a posição exigida.

Pegadinhas

Fazer média cruzada entre x e y.
Usar B=M−A em vez de B=2M−A.
Na razão interna, associar cada peso ao mesmo extremo.
Usar fórmula externa sem declarar a convenção.
Considerar t fora de [0,1] como ponto do segmento.

Questões resolvidas

1. Ponto médio

A=(2,−1), B=(6,7).

M=(4,3).

2. Extremo desconhecido

M=(3,2), A=(−1,5).

B=2M−A=(7,−1).

3. Razão interna

A=(0,0), B=(10,5), AP:PB=2:3.

P=(3A+2B)/5=(4,2); t=2/5.

4. Paralelogramo

A=(0,0), B=(4,1), C=(6,5) são consecutivos.

D=A+C−B=(2,4).

5. Divisão externa

A=(0,0), B=(6,0), AP:PB=3:1.

P=(3B−A)/2=(9,0), além de B; t=3/2.

Exercícios

Fácil

1. O ponto médio de (2,−1) e (6,7) é:

A) (4,3)B) (8,6)C) (2,4)D) (4,6)

Fácil

2. M=(3,2) é médio de A=(−1,5) e B. Então B=

A) (4,−3)B) (5,−1)C) (7,−1)D) (7,9)

Médio

3. A=(0,0), B=(10,5), AP:PB=2:3. P é:

A) (6,3)B) (4,2)C) (5,5/2)D) (2,1)

Médio

4. A=(1,2), B=(9,−2) e t=3/4. Então P=A+t(B−A) é:

A) (6,0)B) (7,1)C) (8,−1)D) (7,−1)

Médio

5. A=(0,0), B=(4,1), C=(6,5) são vértices consecutivos de um paralelogramo. D=

A) (2,4)B) (10,6)C) (2,6)D) (−2,4)

Difícil

6. P=(4,2) divide A=(k,0) e B=(6,3) internamente na razão AP:PB=2:1. Então:

A) k=2 e t=1/3B) k=−2 e t=2/3C) k=0 e t=2/3D) k=0 e t=1/3

Difícil

7. A=(0,0), B=(6,0), e P divide AB externamente com AP:PB=3:1. O par (P,t) é:

A) ((3,0),1/2)B) ((9,0),3/2)C) ((−3,0),−1/2)D) ((18,0),3)

Difícil

8. A=(1,1), B=(5,2), C=(7,6) são consecutivos num paralelogramo. D e o ponto médio das diagonais são:

A) D=(3,4), M=(4,3)B) D=(11,7), M=(6,4)C) D=(3,5), M=(5,7/2)D) D=(3,5), M=(4,7/2)

Gabarito comentado:

1-A: Faça a média das coordenadas correspondentes.

2-C: B=2M−A=(6,4)−(−1,5)=(7,−1).

3-B: P=(3A+2B)/5=(4,2).

4-D: B−A=(8,−4); P=(1,2)+(6,−3)=(7,−1).

5-A: D=A+C−B=(2,4).

6-C: P=(A+2B)/3; (k+12)/3=4 dá k=0 e t=2/3.

7-B: P=(3B−A)/2=(9,0), equivalente a t=3/2.

8-D: D=A+C−B=(3,5); M=(A+C)/2=(4,7/2).

Resumo final

M=(A+B)/2 e B=2M−A.
Interna: P=(nA+mB)/(m+n).
P=A+t(B−A); t controla a posição.
Externa exige convenção e m≠n.
Diagonais do paralelogramo têm o mesmo ponto médio.