Interpretação geométrica
A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os une. No plano cartesiano, as variações horizontal e vertical formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento AB.
Figura ilustrativa, sem escala.
Dedução pelo teorema de Pitágoras
Para A=(xₐ,yₐ) e B=(xᵦ,yᵦ), defina as variações orientadas:
Os comprimentos dos catetos são |Δx| e |Δy|. Como o quadrado elimina o sinal, Pitágoras fornece:
Extraindo a raiz não negativa, pois distância representa comprimento:
Fórmula e propriedades métricas
- Não negatividade: d(A,B)≥0.
- Identidade: d(A,B)=0 ⇔ A=B.
- Simetria: d(A,B)=d(B,A), pois as diferenças mudam de sinal, mas seus quadrados não.
- Desigualdade triangular: d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). Ir diretamente de A até C nunca é mais longo do que passar por B.
Leitura útil: a fórmula é a versão bidimensional do teorema de Pitágoras e usa a mesma unidade das coordenadas.
Casos horizontal e vertical
Se yₐ=yᵦ, o segmento é horizontal e d=|xᵦ−xₐ|. Se xₐ=xᵦ, o segmento é vertical e d=|yᵦ−yₐ|.
O módulo é indispensável: trocar a ordem dos pontos pode tornar a diferença negativa, mas não pode tornar um comprimento negativo. Por exemplo, entre x=7 e x=−2 a distância é |−2−7|=9.
Distância ao quadrado
Como distâncias são não negativas, d₁<d₂ equivale a d₁²<d₂². Assim, é possível comparar comprimentos sem calcular raízes.
Essa estratégia agiliza a identificação de triângulos isósceles e retângulos, a comparação com o raio de uma circunferência e a decisão se um ponto está no interior, sobre ou no exterior dela.
Se os quadrados dos lados, em ordem crescente, são 9, 16 e 25, então 9+16=25: o triângulo é retângulo.
Coordenada desconhecida e simetria
Ao impor d((x,y₀),A)=R e elevar ao quadrado, frequentemente se chega a (x−a)²=K.
- Se K>0, há duas soluções reais: x=a±√K.
- Se K=0, há uma solução real: x=a.
- Se K<0, não há solução real.
As duas raízes representam posições simétricas em relação à reta x=a. Nenhuma deve ser descartada antes de conferir as condições originais.
Lugares geométricos: circunferência e mediatriz
Distância fixa a um centro
Se P=(x,y), C=(a,b) e d(P,C)=R, então:
Esse é o conjunto de todos os pontos de uma circunferência de centro C e raio R.
Igualdade de distâncias
Se A=(x₁,y₁) e B=(x₂,y₂), a condição d(P,A)=d(P,B) descreve a mediatriz de AB. Ao elevar ao quadrado, x² e y² aparecem nos dois membros e se cancelam, restando uma equação de reta:
Aplicações em triângulos e figuras
Calcule os três lados para obter perímetro, reconhecer igualdade de lados ou aplicar a recíproca de Pitágoras. A distância também verifica se um ponto pertence a uma circunferência e, combinada ao ponto médio, localiza mediatrizes e centros.
- Dois quadrados de distâncias iguais: lados congruentes.
- Maior quadrado igual à soma dos outros: triângulo retângulo.
- d(P,C)²<R², =R² ou >R²: ponto interior, pertencente ou exterior à circunferência.
Pegadinhas frequentes
- Somar coordenadas em vez de subtrair coordenadas correspondentes.
- Esquecer a raiz ao pedir distância, ou calculá-la quando apenas d² basta.
- Retirar o módulo nos casos alinhados.
- Confundir mediatriz, que é uma reta, com o ponto médio, que é um ponto.
- Descartar uma solução simétrica de uma equação quadrática.
Questões resolvidas
1. Distância por Pitágoras
A=(−1,2) e B=(5,10).
Δx=6 e Δy=8.
d²=6²+8²=100.
Como d≥0, d=10.
2. Coordenada desconhecida
P=(x,1) está a 5 unidades de A=(2,5).
(x−2)²+(1−5)²=25.
(x−2)²=9.
x−2=±3; logo x=5 ou x=−1.
3. Equação da mediatriz
A=(−2,1) e B=(4,5). Determine os pontos P=(x,y) equidistantes.
(x+2)²+(y−1)²=(x−4)²+(y−5)².
Cancelando x² e y²: 12x+8y−36=0.
A mediatriz é 3x+2y−9=0; ela contém o ponto médio (1,3).
4. Triângulo isósceles
A=(0,0), B=(6,0) e C=(3,4).
AB=6.
AC²=3²+4²=25 e BC²=(−3)²+4²=25.
AC=BC=5: o triângulo é isósceles e seu perímetro é 16.
5. Ponto médio e circunferência
A=(−2,0), B=(6,0) e P=(2,3). Verifique as distâncias.
O ponto médio de AB é M=(2,0).
PA²=4²+3²=25 e PB²=(−4)²+3²=25.
P está na mediatriz de AB e A e B pertencem à circunferência de centro P e raio 5.
Exercícios
1. A distância entre (1,2) e (4,6) é:
2. A igualdade d(A,B)=0 ocorre exatamente quando:
3. Entre A=(−3,5) e B=(4,5), a distância é:
4. P=(x,2) equidista de A=(0,0) e B=(6,0). Então:
5. A=(0,0), B=(4,0) e C=(0,3) formam um triângulo:
6. P=(k,1) está a 5 unidades de A=(2,5). Os valores de k são:
7. A=(−2,0), B=(6,0) e M é o ponto médio de AB. Os pontos P=(2,y) que satisfazem PA=5 são:
8. O ponto P equidista de O=(0,0), A=(6,0) e B=(0,8). Qual circunferência passa pelos três pontos?
Gabarito comentado:
1-A: Δx=3 e Δy=4; portanto d=√(9+16)=5.
2-B: Pela identidade da métrica, somente pontos coincidentes têm distância zero.
3-C: O segmento é horizontal; d=|4−(−3)|=7.
4-D: A igualdade das distâncias cancela os termos comuns e produz x=3, a mediatriz de AB.
5-B: Os lados medem 4, 3 e 5; como 3²+4²=5², o triângulo é retângulo e o perímetro é 12.
6-C: (k−2)²+16=25, então (k−2)²=9 e k=−1 ou 5.
7-A: M=(2,0) e PA²=4²+y²=25; logo y²=9 e y=±3.
8-D: Das duas mediatrizes obtém-se P=(3,4); o raio é PO=5, logo (x−3)²+(y−4)²=25.
Resumo final
- d²=(Δx)²+(Δy)² e d é a raiz não negativa.
- Segmentos alinhados exigem módulo.
- Comparar distâncias ao quadrado evita raízes desnecessárias.
- Distância fixa produz circunferência; igualdade de distâncias produz mediatriz.
- Equações de distância podem ter duas soluções simétricas.