Sistema cartesiano
O plano cartesiano é formado por dois eixos numéricos perpendiculares: x, horizontal, e y, vertical. Eles se cruzam na origem O=(0,0). À direita e para cima ficam os sentidos positivos; à esquerda e para baixo, os negativos.
Em P=(x,y), x é a abscissa e y a ordenada.
Quadrantes, sinais e eixos
| Região | Abscissa x | Ordenada y |
|---|---|---|
| I | positiva | positiva |
| II | negativa | positiva |
| III | negativa | negativa |
| IV | positiva | negativa |
- y=0: ponto no eixo x.
- x=0: ponto no eixo y.
- x=y=0: origem.
- Pontos nos eixos não pertencem a quadrantes.
Simetrias
eixo y: (x,y)→(−x,y)
origem: (x,y)→(−x,−y)
reta y=x: (x,y)→(y,x)
reta y=−x: (x,y)→(−y,−x)
Em simetrias sucessivas, aplique uma transformação de cada vez e use o resultado anterior como novo ponto.
Projeções, ponto e vetores
As projeções ortogonais de P=(x,y) são (x,0) no eixo x e (0,y) no eixo y.
O ponto P indica localização; o vetor posição OP tem componentes (x,y); o deslocamento de A=(x₁,y₁) até B=(x₂,y₂) é AB=(x₂−x₁,y₂−y₁). Vetores iguais podem partir de pontos diferentes.
Translação e transformação inversa
Se P' é a imagem, recupere P subtraindo o vetor: P=(x'−a,y'−b). Uma translação preserva distâncias, ângulos e orientação.
P=(−2,5), v=(3,−4): P'=(1,1). Inversamente, (1,1)−(3,−4)=(−2,5).
Parâmetros e inequações
Para P=(k−2,3−k) estar no II quadrante, imponha k−2<0 e 3−k>0 simultaneamente. A interseção é k<2.
Se uma coordenada puder ser zero, verifique separadamente se o ponto cai em eixo, pois desigualdades estritas caracterizam quadrantes.
Aplicações e leitura de trajetos
Mapas, telas, tabuleiros e deslocamentos usam pares ordenados. Leia sempre a convenção dos eixos: em imagens digitais, por exemplo, o eixo vertical pode crescer para baixo, diferente do plano cartesiano usual.
Um trajeto A→B usa B−A; somar B+A é um erro comum.
Pegadinhas
- Trocar abscissa e ordenada.
- Inverter a numeração anti-horária dos quadrantes.
- Colocar pontos dos eixos em quadrantes.
- Confundir reflexão em y=x com reflexão na origem.
- Na transformação inversa, somar novamente o vetor.
Questões resolvidas
1. Identificação
P=(−4,3).
x<0 e y>0: P pertence ao II quadrante.
2. Parâmetro
P=(k−2,3−k) está no II quadrante.
k<2 e k<3; logo k<2.
3. Simetrias sucessivas
P=(2,−3), primeiro no eixo x e depois em y=−x.
(2,−3)→(2,3)→(−3,−2).
4. Translação
P=(−2,5), v=(3,−4).
P'=P+v=(1,1). A inversa subtrai v.
5. Deslocamento
A=(−2,1), B=(4,−3).
AB=B−A=(6,−4): seis à direita e quatro para baixo.
Exercícios
1. O ponto (−2,3) está no:
2. Se x=0 e y≠0, o ponto está:
3. A reflexão de (3,−2) na reta y=x é:
4. Transladando (1,−4) por (3,2), obtém-se:
5. O deslocamento de A=(−2,1) até B=(4,−3) é:
6. P=(k−2,3−k) pertence ao II quadrante quando:
7. Refletindo (2,−3) no eixo x e depois em y=−x, resulta:
8. Em um mapa transladado por (5,−2), P aparece como P'=(1,4). Refletindo o ponto original na origem, obtém-se:
Gabarito comentado:
1-B: x negativo e y positivo caracterizam o II quadrante.
2-A: abscissa zero indica eixo y; não há quadrante.
3-D: refletir em y=x troca as coordenadas.
4-C: some o vetor coordenada a coordenada.
5-B: B−A=(4+2,−3−1)=(6,−4).
6-A: k−2<0 e 3−k>0; a condição comum é k<2.
7-C: eixo x dá (2,3); y=−x dá (−3,−2).
8-D: P=P'−(5,−2)=(−4,6); na origem, (4,−6).
Resumo final
- P=(abscissa,ordenada).
- Eixos não pertencem a quadrantes.
- Simetrias alteram sinais ou trocam coordenadas.
- Translação soma vetor; inversa subtrai.
- Deslocamento AB=B−A.