EstudaMath

Baricentro

Encontro das medianas

Use médias de vértices e a divisão 2:1 das medianas.

Mediana de um triângulo

A mediana de um triângulo é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Ela é uma ceviana, isto é, um segmento que parte de um vértice e encontra o lado oposto.

Mediana usa ponto médio; altura é perpendicular ao lado; bissetriz divide o ângulo; mediatriz é perpendicular ao lado em seu ponto médio e nem precisa passar por vértice. Em triângulos especiais uma mesma reta pode acumular funções, mas isso não vale em todo triângulo.

Construção das três medianas

Se M, N e P são os pontos médios de BC, AC e AB, as medianas AM, BN e CP encontram-se em um único ponto interior.

Triângulo, medianas e baricentroTriângulo ABC com pontos médios M em BC, N em AC e P em AB. As três medianas se cruzam no ponto interior G. Na mediana AM, AG está marcado como duas partes e GM como uma parte.ABCMNPGAG = 2 partesGM = 1 parte
G está no interior e divide cada mediana na razão 2:1, com a parte maior junto ao vértice.

Definição do baricentro

O baricentro G é o ponto de encontro das três medianas. Todo triângulo não degenerado possui um único baricentro, sempre interior.

Não o confunda com ortocentro, incentro ou circuncentro: esses pontos são definidos por alturas, bissetrizes e mediatrizes, respectivamente.

Razão 2:1

AG:GM=2:1
AG=(2/3)AM   e   GM=(1/3)AM

A parte junto ao vértice é o dobro da parte entre G e o ponto médio. Analogamente, BG=(2/3)BN e CG=(2/3)CP; os segmentos de G aos respectivos pontos médios valem um terço de cada mediana.

Se AM=15, então AG=10 e GM=5.

Coordenadas do baricentro

G=((xA+xB+xC)/3,(yA+yB+yC)/3)

Cada coordenada de G é a média aritmética das coordenadas correspondentes dos três vértices. Em forma vetorial acessível:

G=(A+B+C)/3

Isso significa somar separadamente as componentes horizontais e verticais e dividir cada soma por três.

Dedução da fórmula

Na mediana AM, o ponto médio de BC é M=((xB+xC)/2,(yB+yC)/2). Como AG=(2/3)AM, partimos de A e avançamos dois terços até M:

G=A+(2/3)(M−A)

Na coordenada x, xG=xA+(2/3)[(xB+xC)/2−xA]=(xA+xB+xC)/3. O mesmo cálculo vale para y.

Vértice desconhecido

xC=3xG−xA−xB
yC=3yG−yA−yB

Para qualquer vértice desconhecido, multiplique G por 3 e subtraia os outros dois vértices, coordenada a coordenada. Se uma coordenada depende de parâmetro, substitua-a na condição adicional — por exemplo, G pertencer a uma reta — e resolva.

Áreas determinadas pelas medianas

Cada mediana divide o triângulo em duas regiões de mesma área. As três medianas juntas formam seis triângulos menores de áreas iguais.

[ABG]=[BCG]=[CAG]=(1/3)[ABC]
Seis áreas iguais formadas pelas medianasTriângulo ABC dividido pelas três medianas em seis triângulos, todos marcados com a mesma fração S sobre 6.S/6S/6S/6S/6S/6S/6G
Somando dois triângulos pequenos junto a cada lado, [ABG], [BCG] e [CAG] valem S/3.

Centro de massa

Para uma lâmina triangular homogênea, o baricentro representa o centro de massa: idealmente, a peça pode ser equilibrada nesse ponto.

Quando o triângulo é transladado, girado ou ampliado, o baricentro acompanha a mesma transformação. Isso ocorre porque ele é construído pela média dos vértices.

Aplicações e pegadinhas

  • Use a média dos vértices, não dos pontos médios.
  • Na razão 2:1, a parte maior fica junto ao vértice.
  • Baricentro conhecido permite recuperar o terceiro vértice.
  • Condição “G pertence à reta” vira uma equação nas coordenadas de G.
  • As três medianas geram seis áreas iguais; uma só mediana gera duas áreas iguais.
  • Combine coordenadas com distância e determinante quando o problema pedir comprimento ou área.

Questões resolvidas

1. Coordenadas

A=(−1,2), B=(5,−1), C=(2,8).

xG=6/3=2; yG=9/3=3.

Resposta: G=(2,3).

2. Vértice desconhecido

G=(2,1), A=(0,0), B=(3,0).

C=3G−A−B=(6,3)−(3,0).

Resposta: C=(3,3).

3. Razão e distância

A=(0,0), B=(8,0), C=(2,6). Determine AG.

M=(5,3), então AM=√34. Como AG=(2/3)AM:

Resposta: AG=2√34/3.

4. Área

Se [ABC]=54, determine [ABG] e a área de cada uma das seis partes.

[ABG]=54/3=18; cada triângulo pequeno vale 54/6.

Resposta: 18 e 9.

5. Parâmetro e reta

A=(0,0), B=(6,0), C=(k,9), e G pertence a y=x−1.

G=((6+k)/3,3). Na reta, 3=(6+k)/3−1.

Resposta: k=6.

Exercícios e resumo

Fácil

1. A mediana liga:

A) dois pontos médiosB) um vértice ao pé da perpendicularC) um vértice ao ponto médio do lado opostoD) o centro aos vértices
Fácil

2. Se AM=12, então AG vale:

A) 4B) 8C) 6D) 9
Médio

3. O baricentro de A=(1,2), B=(7,−1), C=(−2,5) é:

A) (2,2)B) (3,2)C) (2,3)D) (6,6)
Médio

4. G=(3,2), A=(1,0) e B=(5,4). O terceiro vértice é:

A) (9,6)B) (2,3)C) (4,2)D) (3,2)
Médio

5. Se [ABC]=72, então [ABG] vale:

A) 12B) 18C) 24D) 36
Difícil

6. A=(0,0), B=(6,0), C=(k,9) e G pertence à reta y=x−1. Então k é:

A) 3B) 6C) 9D) 12
Difícil

7. A=(0,0), B=(8,0), C=(2,6). O valor de AG²+[ABG] é:

A) 208/9B) 136/9C) 24D) 34
Difícil

8. A=(0,0), B=(6,0), C=(k,6) e xG=4. Determine a distância CG.

A) √5B) 4C) 5D) 2√5

Gabarito comentado:

1-C: essa é a definição de mediana.

2-B: AG=(2/3)·12=8.

3-A: as somas das coordenadas são 6 e 6; dividindo por 3, G=(2,2).

4-D: C=3G−A−B=(9,6)−(6,4)=(3,2).

5-C: [ABG]=(1/3)[ABC]=24.

6-B: G=((6+k)/3,3); substituir em y=x−1 fornece k=6.

7-A: M=(5,3), AM²=34 e AG²=(4/9)·34=136/9. Como [ABG]=8, a soma é 208/9.

8-D: xG=(6+k)/3=4 dá k=6. Assim C=(6,6), G=(4,2) e CG=√20=2√5.

Resumo final

  • Baricentro é o encontro interior das três medianas.
  • Divide cada mediana em 2:1, com a parte maior junto ao vértice.
  • Suas coordenadas são as médias dos vértices.
  • As medianas formam seis triângulos de áreas iguais.
  • Em lâmina homogênea, G é o centro de massa.