Logaritmos e função logarítmica

Pré-requisitos e ponte conceitual

Antes de começar, confirme as ideias que serão usadas durante toda a aula. Cada link leva à explicação correspondente.

Revisão essencial de potências

As leis que usaremos são aᵐ·aⁿ=a^(m+n), aᵐ/aⁿ=a^(m−n) e (aᵐ)ⁿ=a^(mn). A função exponencial y=aˣ exige a>0 e a≠1; o logaritmo nasce como sua operação inversa.

Leitura: a igualdade da esquerda informa o resultado de uma potência. A igualdade da direita pergunta qual foi o expoente usado. O logaritmo não é uma nova operação sem relação com o que você já conhece; ele desfaz a exponenciação.

Conceito de logaritmo

Dados dois números reais a e b que atendem às condições da próxima seção, chamamos de logaritmo de b na base a o expoente x que transforma a em b.

Em outras palavras: em logₐb, a é a base que será elevada, b é o resultado que queremos obter e o valor do logaritmo é o expoente procurado.

Condições de existência

No conjunto dos números reais, a escrita logₐb exige três condições simultâneas:

Como aplicar as três condições

Em expressões com vários logaritmos, cada argumento gera uma condição própria. A resposta é sempre a interseção de todas elas.

Essas condições não são detalhes adicionados depois: elas fazem parte da própria definição. Em equações e inequações, precisam ser registradas antes das transformações.

Consequências imediatas da definição

As identidades abaixo vêm diretamente de logₐb=x ⇔ aˣ=b.

Propriedades operatórias

As propriedades permitem reunir ou separar produtos, quocientes e potências. Em todas elas, a base é válida e os argumentos envolvidos são positivos.

Sistemas de logaritmos

Um sistema de logaritmos fixa uma base. Dois sistemas aparecem com frequência:

Quando a base é omitida, o contexto deve indicar o sistema. Nesta aula, log sem base significa logaritmo decimal e ln significa base e.

Identidades de reciprocidade e encadeamento

A primeira vem da mudança de base: logₐb=1/logᵦa. A segunda mostra como uma base intermediária pode ligar a a c.

Mudança de base

Para calcular logₐb em uma base c disponível na calculadora, usamos:

Função logarítmica

Para uma base fixa a>0 e a≠1, a função logarítmica é definida por:

Comportamento nos extremos do domínio

O símbolo x→0⁺ significa que x se aproxima de zero usando apenas valores positivos, pois zero e números negativos não pertencem ao domínio.

Relação com a função exponencial

Em y=aˣ, a entrada é o expoente e a saída é a potência. Ao trocar entrada e saída, obtemos x=aʸ; isolando y, chegamos a y=logₐx. Por isso, as duas funções são inversas.

Revisar a função exponencial e seus gráficos →

Monotonicidade e sinal

O valor da base determina se a função cresce ou decresce.

Leitura correta: ambas as curvas passam por (1,0). O que muda é o sentido em que os valores de y caminham quando x aumenta.

Leitura e comparação dos gráficos

Um bom esboço começa por propriedades, não por pontos aleatórios: domínio x>0, assíntota x=0, ponto (1,0), monotonicidade e alguns pontos de potência exata.

Transformações do gráfico

Parta de y=log₂x. Alterações dentro do argumento agem horizontalmente; alterações fora do logaritmo agem verticalmente.

Forma geral de uma translação

Nessa forma, o domínio é x>h e a assíntota vertical é x=h. O zero é obtido de logₐ(x−h)=−k, portanto x=h+a^(−k). O encontro com o eixo y só existe quando h<0; nesse caso, f(0)=logₐ(−h)+k.

A base também altera o desenho: bases maiores que 1 mantêm a curva crescente; bases entre 0 e 1 a tornam decrescente. Entre bases maiores que 1, a curva cresce mais lentamente à medida que a base aumenta.

Equações logarítmicas

Resolver uma equação logarítmica significa encontrar valores que satisfazem a igualdade e todas as condições de existência.

Roteiro seguro

1. Registre as condições: bases válidas e todos os argumentos positivos.
2. Use propriedades somente quando os argumentos permitirem.
3. Reduza a uma potência, a logaritmos de mesma base ou a uma equação algébrica.
4. Resolva a equação obtida.
5. Substitua cada candidato na expressão original.

Métodos que aparecem com frequência

Exponencial e logaritmo juntos: em 2^(log₂(x−1))=8, a condição é x>1. Como 2^(log₂(x−1))=x−1, obtemos x−1=8 e x=9, que satisfaz a condição.

Inequações logarítmicas

A comparação depende da monotonicidade da base e sempre deve ser cruzada com o domínio.

Leitura gráfica: resolver logₐg(x)>c equivale a procurar onde o gráfico y=logₐg(x) fica acima da reta horizontal y=c. A análise algébrica e a gráfica devem produzir os mesmos intervalos.

Logaritmos decimais e ordem de grandeza

No sistema decimal, log x significa log₁₀x. Se N>0 é escrito como N=m·10ᵏ, com 1≤m<10, então:

O inteiro k informa a ordem decimal; a parte logm, entre 0 e 1, detalha a posição de N dentro daquela faixa de potências de 10.

Números menores que 1

Se 0<N<1, o logaritmo decimal é negativo. Por exemplo, N=3,2×10⁻⁴ produz logN≈0,5051−4=−3,4949. O sinal negativo não significa que N seja negativo; significa que N está abaixo de 1.

Quantidade de algarismos de um inteiro positivo

Se N é inteiro e N≥1, a quantidade d de algarismos decimais é:

O símbolo ⌊u⌋ indica a parte inteira inferior de u. Por exemplo, log(2¹⁰⁰)=100log2≈30,103. Assim, 2¹⁰⁰ possui ⌊30,103⌋+1=31 algarismos.

Aplicações dos logaritmos

Logaritmos aparecem quando a incógnita está no expoente ou quando uma escala precisa comprimir uma faixa muito grande de valores. Em cada modelo, identifique primeiro o significado e a unidade das variáveis.

Problemas com parâmetros

Quando a base, o argumento ou o segundo membro depende de um parâmetro, separe três perguntas: a expressão existe?, quantas soluções pode ter? e quais candidatos passam pela verificação?

Quatro modelos de análise

Tangência — aprofundamento opcional

Para a reta y=mx ser tangente a y=lnx em x₀, as duas devem ter o mesmo valor e a mesma inclinação. Como a inclinação de lnx em x₀ é 1/x₀, temos m=1/x₀ e lnx₀=mx₀=1. Portanto, x₀=e e m=1/e. Este argumento usa derivada e pode ser retomado no estudo de Cálculo.

Checklist de parâmetros

1. Base: a(p)>0 e a(p)≠1.
2. Argumento: g(x,p)>0.
3. Crescimento: a(p)>1; decrescimento: 0
4. Quantidade de soluções: compare monotonicidade e interseções.
5. Interseccione todas as condições e confira os candidatos.
6. Se a base depende de x, verifique as condições para cada candidato.

Exemplos resolvidos e comentados

Os dezenove exemplos abaixo seguem a mesma estrutura: condições de existência, método, desenvolvimento, verificação e resposta final.

Pratique sozinho

Responda às 16 questões. O gabarito comentado será liberado somente depois que todas tiverem uma alternativa marcada.

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Erros frequentes e como evitá-los

Resumo final

Checklist final

1. Consigo traduzir entre logₐb=x e aˣ=b.
2. Verifico base e argumento antes de operar.
3. Sei justificar cada propriedade sem inventar regra para soma.
4. Leio domínio, imagem, zero, assíntota e crescimento no gráfico.
5. Resolvo equações e inequações conferindo todas as condições.
6. Uso mudança de base e interpreto o resultado no contexto.

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