O que é uma função?
Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto de partida a exatamente um elemento de um conjunto de chegada.
Entrada: um valor x do conjunto A.
Regra: o procedimento definido por f.
Saída: o único valor f(x) associado a x.
A palavra “único” é essencial: uma mesma entrada não pode produzir duas saídas diferentes na mesma função.
Relação e função
Toda função é uma relação, mas nem toda relação é função. Para ser função de A em B, duas condições precisam ser atendidas:
- Todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de B.
- Cada elemento de A deve possuir somente uma imagem em B.
É função: 1 → 3, 2 → 3 e 4 → 5. Entradas diferentes podem ter a mesma saída.
Não é função: 1 → 2 e 1 → 4. A entrada 1 possui duas saídas.
Não é função de A em B: algum elemento de A fica sem imagem.
Notação de função
x ↦ f(x)
Lemos “f é uma função de A em B” e “x é levado a f(x)”. O símbolo f(x) representa o valor da função na entrada x; ele não significa f multiplicado por x.
f(x) = 2x + 3.
A entrada x passa pela regra “multiplicar por 2 e somar 3”.
Para x = 4, a saída é f(4) = 11.
Variável independente e dependente
A variável x é normalmente chamada de variável independente, pois escolhemos seu valor. A saída y = f(x) é a variável dependente, pois seu valor depende de x.
Em y = 5x, x pode representar a quantidade comprada e y, o preço total.
Se x = 3 unidades, y = 5·3 = 15.
O preço total depende da quantidade.
Os nomes das variáveis podem mudar conforme o problema: tempo e distância, lado e área, produção e custo.
Formas de representar uma função
Uma mesma função pode ser apresentada por diferentes linguagens.
Fórmula: f(x) = 2x + 1.
Tabela: pares de valores x e f(x).
Diagrama de setas: liga cada entrada à sua imagem.
Conjunto de pares ordenados: (x, f(x)).
Gráfico: pontos (x, f(x)) no plano cartesiano.
Descrição verbal: “o dobro da entrada mais um”.
As representações devem concordar entre si e descrever a mesma associação.
Domínio, contradomínio e imagem
Na escrita f: A → B, o conjunto A é o domínio e B é o contradomínio. A imagem é formada somente pelos valores de B que realmente são atingidos.
Domínio: conjunto das entradas permitidas.
Contradomínio: conjunto de chegada declarado.
Imagem: conjunto das saídas efetivamente produzidas.
Considere f: {-1, 0, 1} → {0, 1, 2}, com f(x) = x².
f(-1) = 1, f(0) = 0 e f(1) = 1.
Domínio = {-1, 0, 1}; contradomínio = {0, 1, 2}; imagem = {0, 1}.
Calculando o valor da função
Para encontrar f(a), substituímos x por a em toda a lei de formação. Quando a entrada é negativa, usamos parênteses.
f(x) = x² - 3x + 2.
f(-2) = (-2)² - 3(-2) + 2.
f(-2) = 4 + 6 + 2 = 12.
O resultado f(a) é a imagem de a pela função f.
Identificando a lei de formação
Uma tabela pode revelar um padrão entre entrada e saída. Devemos testar se a regra funciona para todos os pares apresentados.
Entradas: 0, 1, 2 e 3.
Saídas: 1, 3, 5 e 7.
A saída aumenta 2 quando a entrada aumenta 1.
A regra que funciona em todos os pares é f(x) = 2x + 1.
Alguns poucos valores podem admitir várias fórmulas diferentes; por isso, a regra ou o contexto precisa estar bem definido.
Funções em situações reais
Usamos funções para modelar como uma grandeza depende de outra.
Preço: total em função da quantidade.
Movimento: posição em função do tempo.
Geometria: área em função da medida do lado.
Economia: custo e receita em função da produção.
Temperatura: conversão entre escalas.
Uma corrida custa R$ 8,00 fixos mais R$ 2,50 por quilômetro.
C(x) = 8 + 2,5x.
Para 12 km: C(12) = 8 + 30 = 38.
Pegadinhas
- Uma mesma entrada não pode ter duas saídas diferentes.
- Entradas diferentes podem produzir a mesma saída.
- Todo elemento do domínio precisa possuir imagem.
- Nem todo elemento do contradomínio precisa ser atingido.
- Imagem e contradomínio não são necessariamente iguais.
- f(x) não significa f vezes x.
- Ao calcular f(-a), use parênteses na substituição.
- Um conjunto de pontos só representa função quando cada x aparece com um único y.
- A regra deve funcionar para todos os pares apresentados.
- Considere as unidades e restrições do contexto.
Questões resolvidas
1. Reconhecendo uma função
A relação 1 → 4, 2 → 5 e 3 → 5 é função?
Sim. Cada entrada possui exatamente uma saída.
Saídas repetidas são permitidas.
2. Relação que não é função
A relação 1 → 2 e 1 → 3 é função?
Não. A mesma entrada 1 foi associada a duas saídas diferentes.
3. Notação
Interprete f: A → B.
f é uma função cujo domínio é A e cujo contradomínio é B.
4. Valor da função
Se f(x) = 3x - 2, calcule f(5).
f(5) = 3·5 - 2 = 15 - 2.
f(5) = 13.
5. Entrada negativa
Se g(x) = x² + x, calcule g(-3).
g(-3) = (-3)² + (-3).
g(-3) = 9 - 3 = 6.
6. Imagem de um elemento
Em h(x) = 2x + 4, qual é a imagem de 1?
h(1) = 2·1 + 4 = 6.
A imagem de 1 é 6.
7. Encontrando a entrada
Se f(x) = x + 5 e f(x) = 12, determine x.
x + 5 = 12.
x = 7.
8. Lei por tabela
Os pares são (0, 2), (1, 5), (2, 8).
A saída aumenta 3 a cada unidade da entrada.
Como f(0) = 2, a lei é f(x) = 3x + 2.
9. Pares ordenados
{(1, 2), (2, 4), (3, 6)} representa função?
Sim. Cada primeira coordenada aparece uma única vez.
A regra é compatível com f(x) = 2x.
10. Domínio e imagem finitos
f: {-2, 0, 2} → ℝ, f(x) = x².
f(-2) = 4, f(0) = 0 e f(2) = 4.
Imagem = {0, 4}.
11. Modelagem de custo
Uma entrega cobra R$ 10,00 mais R$ 3,00 por quilômetro.
C(x) = 10 + 3x.
Para 5 km, C(5) = 25 reais.
12. Área como função
Escreva a área de um quadrado em função do lado x.
A(x) = x².
No contexto geométrico, x > 0.
Exercícios
1. Uma função associa cada entrada:
2. A notação de uma função de A em B é:
3. Se f(x) = 2x + 1, então f(3) é:
4. Se g(x) = x² - 1, então g(-2) é:
5. Na regra “somar 4 à entrada”, a saída de 2 é:
6. Em y = f(x), a variável normalmente independente é:
7. A tabela x: 0, 1, 2 e y: 1, 3, 5 segue a lei:
8. Qual relação não representa uma função?
9. Se f(x) = 3x - 2, então f(a) é:
10. Se f(x) = x², então f(-3) é:
11. C(x) = 5x + 10 representa um custo. Quanto custa x = 4?
12. Para qual entrada f(x) = x - 6 produz saída zero?
13. Qual conjunto de pares não representa uma função?
14. Se f(x) = ax + 1 e f(2) = 7, então a vale:
15. Em f(x) = x², temos f(2) = f(-2) = 4. Isso mostra que:
16. A tabela x: -1, 0, 1 e y: 0, 1, 2 é compatível com:
17. Uma corrida custa R$ 8,00 mais R$ 2,50 por km. O custo de 12 km é:
18. Se g(x) = |x - 3|, então g(1) + g(5) é:
Gabarito comentado:
1-A: cada entrada possui exatamente uma saída. 2-B: f: A → B indica uma função de A em B. 3-C: f(3) = 2·3 + 1 = 7. 4-D: g(-2) = (-2)² - 1 = 3. 5-A: 2 + 4 = 6. 6-B: x é a entrada escolhida.
7-C: a saída é o dobro da entrada mais um. 8-D: a entrada 1 possui duas saídas diferentes. 9-A: substituímos x por a, obtendo 3a - 2. 10-B: (-3)² = 9. 11-C: C(4) = 5·4 + 10 = 30. 12-D: x - 6 = 0 fornece x = 6.
13-A: a primeira coordenada 1 aparece com duas imagens distintas. 14-B: f(2) = 2a + 1 = 7, então a = 3. 15-C: uma função pode associar entradas diferentes à mesma saída. 16-D: x + 1 produz 0, 1 e 2 nas entradas dadas. 17-A: C(12) = 8 + 2,5·12 = 38. 18-B: g(1) = 2 e g(5) = 2; a soma é 4.
Resumo final
- Função associa cada entrada a exatamente uma saída.
- Toda função é uma relação, mas nem toda relação é função.
- Entradas diferentes podem ter a mesma imagem.
- f: A → B indica domínio A e contradomínio B.
- f(x) é o valor produzido pela função na entrada x.
- x costuma ser a variável independente e f(x), a dependente.
- Funções podem ser representadas por fórmulas, tabelas, diagramas, pares e gráficos.
- Para calcular f(a), substitua x por a em toda a expressão.
- Domínio reúne entradas; imagem reúne saídas efetivamente obtidas.
- Funções modelam relações entre grandezas em situações reais.