Exemplos iniciais
Antes de formular a definição, compare relações diferentes entre os mesmos conjuntos:
Uma relação de A em B é formada por pares ordenados (x, y), com x em A e y em B. Observe o que acontece com cada valor de x:
| Relação | Pares ordenados | Análise |
|---|---|---|
| R: y = x + 1 | {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} | O elemento 3 de A não possui correspondente em B. Não é função. |
| S: y² = x² | {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (3, 3)} | O elemento 1 de A está ligado a 1 e a -1. Não é função. |
| T: y = x | {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} | Cada elemento de A aparece uma vez como primeira coordenada. É função. |
| V: y = (x - 1)² - 1 | {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} | Cada elemento de A possui um único correspondente. É função. |
| W: y = 2 | {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)} | Todos podem chegar ao mesmo valor, desde que cada x tenha apenas uma imagem. É função. |
As mesmas relações no esquema de flechas
Leia cada flecha como um par ordenado: a origem é a primeira coordenada x e o destino é a segunda coordenada y.
R y = x + 1
Não é função: o elemento 3 de A ficou sem imagem.
S y² = x²
Não é função: o elemento 1 de A possui duas imagens.
T y = x
É função: de cada elemento de A parte uma única flecha.
V y = (x - 1)² - 1
É função: imagens repetidas são permitidas.
W y = 2
É função: uma função pode ser constante.
Definição de função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, seja f ⊆ A × B uma relação de A em B. Dizemos que f é uma função quando, para todo x pertencente a A, existe um único y pertencente a B associado a x.
f é função de A em B ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B tal que (x, y) ∈ f
Em outras palavras: escolha qualquer elemento x de A. Deve existir uma, e somente uma, correspondência ligando esse x a algum elemento y de B. Se um elemento de A ficar sem correspondente ou estiver ligado a dois ou mais elementos de B, a relação não é função.
Como ler cada parte da definição
Lemos “f está contido em A × B”. Isso quer dizer que f é uma relação formada por pares ordenados (x, y), com x em A e y em B.
Significa “para todo x de A”. Portanto, nenhum elemento do conjunto A pode ser ignorado.
Significa “existe um único y em B”. O símbolo ∃ garante que há uma imagem; o sinal ! garante que essa imagem é única.
O par (x, y) pertence à relação f. No diagrama, isso é representado por uma flecha que parte de x e chega a y.
Aplicando aos exemplos anteriores:
- R falha na existência: o elemento 3 de A não aparece em nenhum par.
- S falha na unicidade: o elemento 1 de A aparece nos pares (1, 1) e (1, -1).
- T, V e W satisfazem as duas condições: todo elemento de A aparece e possui uma única imagem.
Toda função é uma relação binária e, portanto, um conjunto de pares ordenados. A recíproca não é verdadeira: uma relação só será função se cumprir simultaneamente as duas condições.
Esquema de flechas
O esquema de flechas traduz os pares (x, y): cada flecha parte do primeiro elemento x, em A, e termina no elemento y correspondente, em B.
Todo elemento de A precisa ter uma seta de saída.
De cada elemento de A deve partir somente uma seta.
Compare os quatro casos
Primeiro veja os dois erros que impedem uma relação de ser função. Depois compare com situações permitidas, mesmo quando as imagens se repetem.
Quando não é função
Um elemento de A ficou sem imagem
× Não é função
d pertence ao domínio, mas não possui imagem.
Um elemento de A possui duas imagens
× Não é função
A entrada b não pode produzir 2 e 3 ao mesmo tempo.
Situações permitidas
Elementos diferentes têm a mesma imagem
✓ É função
Repetir imagens é permitido: cada elemento de A continua associado a um só elemento de B.
Todos os elementos de A têm a mesma imagem
✓ É função
Uma função pode ser constante; elementos não atingidos de B não causam problema.
Gráfico cartesiano
Também podemos decidir se uma relação é função observando seu gráfico. Para cada x do domínio A, trace mentalmente uma reta vertical.
Uma interseção
É função: para esse x existe um único ponto do gráfico.
Duas interseções
Não é função: o mesmo x está associado a dois valores de y.
Nenhuma interseção
Não é função de A em B: um x do domínio ficou sem imagem.
Como ler a notação de função
x ↦ f(x)
Lemos “f é uma função de A em B” e “x é levado a f(x)”. Cada símbolo tem um papel específico:
f: nome da função.
x: elemento escolhido no domínio A.
f(x): imagem de x no contradomínio B.
Considere f(x) = 2x + 3.
Para x = 4, substituímos x por 4 na lei.
f(4) = 2 · 4 + 3 = 11.
Domínio
O domínio é o conjunto de todas as entradas permitidas para a função. Na escrita f: A → B, o conjunto A é o domínio.
Em outras palavras: antes de calcular uma função, precisamos saber quais valores podem ocupar o lugar de x.
Quando o domínio não é informado
Procuramos o maior subconjunto dos números reais em que todas as operações da fórmula fazem sentido.
- Denominador: não pode ser zero, pois não existe divisão por zero.
- Raiz de índice par: o valor dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero para que o resultado seja um número real.
- Logaritmo: o valor dentro do logaritmo deve ser maior que zero. Por exemplo, log(x − 4) exige x − 4 > 0; portanto, x > 4.
Exemplo 1 — combinando duas restrições
Considere a função:
- Observe a raiz: para √(x + 2) ser um número real, o valor dentro da raiz não pode ser negativo.
- Escreva a condição: x + 2 ≥ 0. Agora, passamos o +2 para o outro lado, onde ele aparece como −2. Isso equivale a subtrair 2 dos dois lados da desigualdade. Assim, obtemos x ≥ −2.
- Observe o denominador: x − 1 não pode ser zero. Então, x − 1 ≠ 0 e, portanto, x ≠ 1.
- Junte as condições: x pode ser qualquer número maior ou igual a −2, com exceção do número 1.
Conclusão: D(h) = [−2, 1) ∪ (1, +∞). Relembre a notação de intervalos.
Por exemplo, x = 0 é permitido. Já x = −3 torna o valor dentro da raiz negativo, e x = 1 produz divisão por zero.
Exemplo 2 — quando o problema restringe o domínio
Uma papelaria vende cada caderno por R$ 5,00. Se x é a quantidade de cadernos comprados, o preço total é:
Olhando somente para a fórmula, poderíamos substituir x por qualquer número real. Porém, neste problema, x representa uma quantidade de cadernos inteiros.
Assim, x não pode ser negativo nem fracionário: não faz sentido comprar −2 cadernos ou 1,5 caderno.
Neste contexto: D(P) = {0, 1, 2, 3, ...}.
Contradomínio
O contradomínio é o conjunto de chegada declarado para a função. Na escrita f: A → B, ele é representado por B.
Em outras palavras: B reúne todos os valores que podem ser considerados como destinos da função, mesmo que alguns deles não sejam atingidos.
O contradomínio faz parte da definição da função. Mudar B pode alterar a classificação da função como sobrejetora ou bijetora.
Imagem
A imagem é formada somente pelos elementos do contradomínio que são realmente produzidos por alguma entrada do domínio.
Em outras palavras: no diagrama, a imagem é formada pelos elementos de B que recebem pelo menos uma flecha. Por isso, Im(f) ⊆ B: toda imagem está dentro do contradomínio, mas nem todo elemento do contradomínio precisa ser atingido.
Como determinar a imagem
- Em uma tabela ou diagrama, reúna as saídas que aparecem.
- Em uma fórmula, investigue quais valores de y podem ser produzidos.
- No gráfico, observe todos os valores alcançados no eixo y.
Exemplo com fórmula: g(x) = x² + 1, com x real.
Como x² ≥ 0, temos g(x) ≥ 1, e o valor 1 ocorre em x = 0.
Logo, Im(g) = [1, +∞).
Função injetora
Uma função é injetora quando entradas diferentes do domínio sempre produzem imagens diferentes.
Em outras palavras: duas entradas diferentes não podem chegar à mesma saída. No diagrama, cada elemento atingido em B recebe no máximo uma flecha.
Exemplo: f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = 2x + 1, é injetora.
Se f(a) = f(b), então 2a + 1 = 2b + 1. Retirando 1 dos dois lados e dividindo por 2, obtemos a = b.
Já g(x) = x², de ℝ em ℝ, não é injetora, pois g(−1) = g(1) = 1: duas entradas diferentes produziram a mesma imagem.
Função sobrejetora
Uma função é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio são atingidos por pelo menos uma entrada do domínio.
Em outras palavras: nenhum elemento de B fica sem receber flecha. Duas ou mais entradas podem chegar à mesma saída; isso não impede a sobrejetividade.
Exemplo: considere f: ℝ → [0, +∞), dada por f(x) = x².
Todo número y do contradomínio satisfaz y ≥ 0. Escolhendo x = √y, temos f(x) = (√y)² = y. Portanto, todo elemento do contradomínio é atingido.
Se declarássemos a mesma lei como f: ℝ → ℝ, ela não seria sobrejetora, porque nenhum número negativo seria produzido.
Função bijetora
Uma função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Em outras palavras: cada elemento de B recebe exatamente uma flecha. Nenhuma saída é compartilhada por entradas diferentes e nenhuma saída fica sem ser atingida.
Exemplo: f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = 2x + 1, é bijetora.
Ela é injetora porque entradas diferentes produzem imagens diferentes. Além disso, para qualquer y real, existe uma única entrada x = (y − 1)/2 que produz esse valor.
A função x² também se torna bijetora quando declarada de [0, +∞) em [0, +∞): nesse domínio ela não repete imagens e atinge todo o contradomínio.
Variável independente e variável dependente
Na escrita y = f(x), x é normalmente a variável independente e y é a variável dependente, pois o valor de y é determinado pelo valor atribuído a x.
Em y = 5x, x pode representar a quantidade comprada e y, o preço total.
Se x = 3 unidades, y = 5·3 = 15.
O preço total depende da quantidade.
Os nomes das variáveis podem mudar conforme o problema: tempo e distância, lado e área, produção e custo.
Uma função, várias representações
Fórmula, tabela, pares ordenados, diagrama e gráfico são linguagens diferentes para a mesma associação. Para não se perder, acompanhe um único exemplo em todas elas.
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
Se as representações descrevem a mesma função, todos os valores precisam concordar. Por exemplo, a fórmula fornece f(2) = 5, exatamente como a tabela, o par (2, 5) e o ponto do gráfico.
Como ler as informações de um gráfico
Depois de confirmar pelo teste vertical que o desenho representa uma função, leia a curva sempre da esquerda para a direita. O gráfico reúne informações sobre entradas, saídas e comportamento.
Ponto (a, b): significa que f(a) = b.
Interseção com o eixo y: ocorre em (0, f(0)), quando 0 pertence ao domínio.
Zeros: são os valores de x em que f(x) = 0; aparecem sobre o eixo x.
Sinal: acima do eixo x, f(x) > 0; abaixo, f(x) < 0.
Crescimento: a curva sobe conforme x aumenta; no decrescimento, ela desce.
Máximos e mínimos: são valores extremos de y e ajudam a determinar a imagem.
Gráfico de uma função injetora
Aplicamos o teste da reta horizontal: se qualquer reta horizontal encontrar o gráfico no máximo uma vez, a função é injetora.
O que observar: a linha horizontal destacada encontra somente um ponto. Isso mostra que aquela saída pertence a uma única entrada.
Gráfico de uma função sobrejetora
Consideramos somente as alturas que pertencem ao contradomínio. Cada uma delas deve encontrar o gráfico pelo menos uma vez.
O que observar: a linha horizontal destacada encontra dois pontos. Isso é permitido: o essencial é que nenhuma altura do contradomínio fique sem ser atingida.
Gráfico de uma função bijetora
Toda reta horizontal correspondente a um valor do contradomínio deve encontrar o gráfico exatamente uma vez.
O que observar: há um encontro para cada altura: nenhuma imagem se repete e nenhum valor do contradomínio fica sem ser alcançado.
Como calcular f(a)
Para encontrar f(a), substituímos x por a em toda a lei de formação. Quando a entrada é negativa, usamos parênteses.
f(x) = x² - 3x + 2.
f(-2) = (-2)² - 3(-2) + 2.
f(-2) = 4 + 6 + 2 = 12.
O resultado f(a) é a imagem de a pela função f.
Exemplos comentados
Agora vamos usar as ideias da aula em situações completas. Em cada exemplo, a solução mostra primeiro o que precisa ser observado, desenvolve o raciocínio e somente no fim apresenta a conclusão.
Pratique sozinho
Resolva sem consultar os exemplos. Depois, use o gabarito comentado para localizar exatamente onde seu raciocínio acertou ou precisa ser revisto.
1. Uma função associa cada elemento do domínio:
2. Na escrita f: A → B, o conjunto A é:
3. Se o ponto (2, 5) pertence ao gráfico de f, então:
4. Se f(x) = x² - 1, então f(-2) é:
5. Duas entradas diferentes podem possuir a mesma imagem. Isso:
6. Em A = {1, 2, 3}, a relação 1 → a, 2 → b e 3 → b tem domínio:
7. Na relação da questão anterior, a imagem é:
8. Por que {(1, 2), (1, 3), (2, 4)} não representa uma função?
9. O domínio de h(x) = √(x + 2)/(x - 1) é:
10. Se uma reta vertical encontra uma curva em dois pontos, essa curva:
11. A função f: ℝ → ℝ, f(x) = x², é:
12. A função f: ℝ → [0, +∞), f(x) = x², é:
13. A função f: [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = x², é:
14. Se toda reta horizontal encontra o gráfico no máximo uma vez, a função é:
15. Se cada altura do contradomínio encontra o gráfico exatamente uma vez, a função é:
16. Considere f: {-2, 0, 2} → {0, 1, 4}, com f(x) = x². A classificação correta é:
17. Um gráfico contém (3, -2) e possui zeros em -1 e 4. Qual afirmação é correta?
18. Para f(x) = 2x + 1, qual ponto deve aparecer na tabela, nos pares e no gráfico quando x = 3?
19. A função f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1, é:
20. Toda altura do contradomínio é atingida, mas uma horizontal pode encontrar dois pontos. A função é:
Gabarito comentado:
1-A: cada entrada precisa ter exatamente uma imagem. 2-B: em f: A → B, A é o domínio. 3-C: o par (2, 5) informa f(2) = 5. 4-D: (-2)² - 1 = 4 - 1 = 3. 5-B: repetir uma imagem é permitido; o que não pode ocorrer é uma entrada possuir duas imagens.
6-A: o domínio reúne as entradas 1, 2 e 3. 7-B: somente a e b foram atingidos. 8-C: a primeira coordenada 1 aparece com duas saídas. 9-D: a raiz exige x ≥ -2 e o denominador exclui x = 1. 10-C: duas interseções na mesma vertical fornecem duas saídas para uma entrada.
11-D: x² repete imagens e não produz negativos. 12-B: todo valor não negativo é atingido, mas f(-a) = f(a). 13-C: ao restringir domínio e contradomínio aos não negativos, x² torna-se injetora e sobrejetora. 14-A: esse é o teste horizontal da injetividade. 15-D: exatamente um encontro combina injetividade e sobrejetividade.
16-C: a imagem é {0, 4}; há repetição de 4 e o valor 1 não é atingido. 17-B: pontos fornecem valores da função e zeros possuem saída 0. 18-A: f(3) = 2·3 + 1 = 7. 19-C: a reta não repete imagens e atinge todo número real. 20-D: atingir todo o contradomínio garante sobrejetividade; dois encontros horizontais impedem injetividade.
Decidindo se uma relação é função
Problema. Considere A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3} e T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}. T é uma função de A em B?
Para ser função de A em B, cada elemento de A precisa aparecer como primeira coordenada de um par.
As entradas 0, 1, 2 e 3 aparecem nos pares. Portanto, nenhuma entrada ficou sem uma saída.
Cada entrada aparece uma única vez: 0 produz 0, 1 produz 1, 2 produz 2 e 3 produz 3. Nenhuma entrada produz duas saídas diferentes.
Conclusão: T é função de A em B, pois todo elemento de A possui exatamente uma imagem em B.
Compare: {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} não seria função, porque a entrada 1 produziria duas saídas: 1 e 2.
Separando domínio, contradomínio e imagem
Problema. Seja f: {-2, 0, 2} → {0, 1, 4, 9}, definida por f(x) = x². Determine o domínio, o contradomínio e a imagem.
O conjunto antes da seta é o domínio: D(f) = {-2, 0, 2}. O conjunto depois da seta é o contradomínio: B = {0, 1, 4, 9}.
As saídas foram 4, 0 e 4. Em um conjunto, valores repetidos são escritos apenas uma vez. Logo, Im(f) = {0, 4}.
Conclusão: D(f) = {-2, 0, 2}, o contradomínio é {0, 1, 4, 9} e Im(f) = {0, 4}. Os números 1 e 9 pertencem ao contradomínio, mas não à imagem porque nenhuma entrada os produz.
Encontrando o domínio permitido por uma fórmula
Problema. Determine o domínio real de h(x) = √(x + 2)/(x - 1).
Nos números reais, o valor dentro da raiz não pode ser negativo. Por isso, precisamos impor x + 2 ≥ 0.
Passamos o +2 para o outro lado, onde ele aparece como −2. Isso equivale a subtrair 2 dos dois lados:
Uma divisão por zero não existe. Portanto, x − 1 não pode ser zero.
Podemos usar todos os números a partir de −2, incluindo −2, mas precisamos retirar o número 1.
Conclusão: D(h) = [-2, +∞) ∖ {1}. Por exemplo, h(-2) existe, mas h(1) não existe porque produziria divisão por zero.
Classificando uma função sem confundir os testes
Problema. Classifique f: ℝ → [0, +∞), definida por f(x) = x², como injetora, sobrejetora ou bijetora.
Entradas diferentes não podem produzir a mesma imagem. Porém, f(-2) = 4 e f(2) = 4. Como −2 e 2 são entradas diferentes com a mesma imagem, f não é injetora.
Todo elemento do contradomínio [0, +∞) precisa ser atingido. Dado qualquer y ≥ 0, podemos escolher x = √y. Então f(x) = (√y)² = y.
Para ser bijetora, a função precisaria ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A primeira condição falhou.
Conclusão: f é sobrejetora, mas não é injetora; portanto, não é bijetora.
No gráfico: toda altura y ≥ 0 encontra a parábola, mas uma altura positiva normalmente a encontra em dois pontos. Veja a demonstração gráfica.
Entendendo por que os conjuntos mudam a classificação
Problema. Considere a mesma lei f(x) = x², agora com f: [0, +∞) → [0, +∞). O que muda?
A entrada não pode mais ser negativa. Assim, o par de entradas −2 e 2, que antes produzia a mesma imagem, deixou de existir no domínio.
Para x ≥ 0, a função x² é crescente. Entradas diferentes desse domínio produzem imagens diferentes. Logo, f é injetora.
Para qualquer y ≥ 0 do contradomínio, x = √y também é não negativo e satisfaz f(x) = y. Logo, f é sobrejetora.
Conclusão: com domínio e contradomínio [0, +∞), a função passa a ser bijetora. A lei x² não mudou; o que mudou foram os conjuntos entre os quais ela atua.
Confirmando que uma função é bijetora
Problema. Mostre que f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 2x + 1, é bijetora.
Suponha que f(x₁) = f(x₂). Então 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1. Retirando 1 dos dois lados e dividindo por 2, obtemos x₁ = x₂. Portanto, uma mesma imagem não vem de duas entradas diferentes.
Escolha qualquer y real e procure uma entrada que o produza:
Como (y − 1)/2 é real para todo y real, todo elemento do contradomínio é atingido.
A função é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Conclusão: f é bijetora. No gráfico, cada reta horizontal encontra a reta y = 2x + 1 exatamente uma vez.
Conectando fórmula, tabela, pares e gráfico
Problema. Represente f(x) = 2x + 1 para x = −1, 0 e 2 e explique como as representações se relacionam.
{(−1, −1), (0, 1), (2, 5)}. Cada par possui o formato (entrada, imagem).
O gráfico deve passar pelos pontos (−1, −1), (0, 1) e (2, 5). Ao ligar esses pontos, obtemos parte da reta descrita pela fórmula.
Conclusão: fórmula, tabela, pares ordenados e gráfico não são funções diferentes; são maneiras diferentes de apresentar a mesma função.
Lendo valores e zeros diretamente do gráfico
Problema. Um gráfico contém o ponto (3, −2) e cruza o eixo x nos pontos (−1, 0) e (4, 0). O que essas informações significam?
A primeira coordenada é a entrada e a segunda é a imagem. Portanto, quando x = 3, a função vale −2: f(3) = −2.
Todo ponto do eixo x possui segunda coordenada igual a zero. Assim, f(−1) = 0 e f(4) = 0.
Os valores de x que tornam f(x) = 0 são chamados zeros ou raízes da função. Neste caso, os zeros são −1 e 4.
Conclusão: o gráfico informa tanto imagens específicas, como f(3) = −2, quanto os valores de x em que a função se anula.