Por que medir desvios ao quadrado?
A variância mede quanto os valores se afastam, em média quadrática, de sua média. Os desvios simples xi−x̄ somam zero, portanto não medem dispersão diretamente. Ao quadrá-los, evitamos cancelamento e damos maior influência a afastamentos grandes.
A variância é sempre não negativa. Ela vale zero se, e somente se, todos os valores com peso positivo são iguais. Sua unidade é o quadrado da unidade original: se alturas estão em centímetros, a variância está em cm². O desvio padrão recupera a unidade original pela raiz quadrada.
Variância pequena significa concentração em torno da média, mas não garante ausência de valores extremos; a interpretação deve considerar escala, unidade e forma da distribuição.
Variância populacional ou descritiva
Quando os N valores constituem toda a população de interesse, ou quando o exercício pede a variância descritiva daquele conjunto usando divisor N, usamos:
σ²=Σ(xi−μ)²/N
Em uma tabela de frequências, cada desvio é repetido fi vezes:
Para classes, substitua xi pelo ponto médio e reconheça que o resultado é aproximado. O agrupamento perde a variação interna de cada classe e pode subestimar ou alterar a dispersão real.
Estimador amostral com divisor n−1
Se x₁,…,xn é uma amostra aleatória e queremos estimar a variância desconhecida da população, o estimador não viesado usual é
O divisor n−1 é a correção de Bessel. Depois de usar a amostra para estimar x̄, os n desvios têm soma zero e apenas n−1 podem variar livremente.
Uma mesma lista produz resultados diferentes com divisores n e n−1. Não decida pelo simples fato de a palavra “amostra” aparecer: observe se o problema quer descrever os dados observados com divisor n ou estimar a variância populacional com n−1. Editais e enunciados normalmente indicam a convenção; quando não indicarem, declare-a.
Fórmula por momentos
Expandindo o quadrado dos desvios, obtemos a identidade populacional:
Para dados equiprováveis, E(X)=Σxi/N e E(X²)=Σxi²/N. Em frequências relativas, E(X²)=Σfrixi².
A fórmula é eficiente, mas pode sofrer arredondamento quando E(X²) e E(X)² são números grandes e próximos. Em cálculos exatos de prova, mantenha frações até o final. Um resultado negativo indica erro numérico ou algébrico, pois variância não pode ser negativa.
Para o estimador amostral, uma forma computacional equivalente é s²=[Σxi²−n x̄²]/(n−1).
Transformações e combinação de grupos
Se Y=aX+b, então
Somar uma constante desloca todos os valores e a média igualmente, sem alterar os desvios. Multiplicar por a multiplica os desvios por a e a variância por a²; o sinal de a desaparece.
Para grupos populacionais de tamanhos Nj, médias μj e variâncias σj², com média total μ:
A dispersão total combina variação dentro dos grupos e diferença entre suas médias. Fazer apenas a média das variâncias ignora a segunda parcela.
Pegadinhas e condições
- Declare se o divisor é N ou n−1.
- s² com divisor n−1 exige n≥2.
- Var(aX+b)=a²Var(X), não aVar(X)+b.
- Variância está em unidade ao quadrado e nunca é negativa.
- Dados agrupados por classes fornecem apenas uma aproximação baseada nos pontos médios.
Questões resolvidas
1. Variância populacional
Calcule a variância populacional de 2, 4 e 6.
μ=(2+4+6)/3=4.
Quadrados dos desvios: 4, 0 e 4; soma 8.
Resposta: σ²=8/3.
2. Estimador da mesma lista
Considere 2, 4 e 6 uma amostra e calcule s² com correção de Bessel.
A média e a soma dos quadrados dos desvios continuam 4 e 8.
Agora o divisor é n−1=2.
Resposta: s²=8/2=4.
3. Fórmula E(X²)−E(X)²
Para X equiprovável em {1,3,5}, calcule Var(X).
E(X)=(1+3+5)/3=3.
E(X²)=(1+9+25)/3=35/3.
Resposta: Var(X)=35/3−9=8/3.
4. Tabela de frequências
Os valores 0, 2 e 4 têm frequências 1, 2 e 1. Calcule a variância populacional.
N=4 e μ=(0+4+4)/4=2.
E(X²)=(0²·1+2²·2+4²·1)/4=(0+8+16)/4=6.
Resposta: σ²=6−2²=2.
5. Dados agrupados
Classes [0,10), [10,20), [20,30) têm frequências 2, 4 e 2. Estime a variância populacional pelos pontos médios.
Pontos médios: 5, 15 e 25; por simetria, μ≈15.
Soma ponderada dos quadrados dos desvios: 2·100+4·0+2·100=400.
Resposta: σ²≈400/8=50.
Exercícios
1. A variância de 5, 5, 5 e 5 é:
2. A variância populacional de 1 e 5 é:
3. Para a amostra 1 e 5, o estimador s² com divisor n−1 vale:
4. Se E(X²)=29 e E(X)=5, então Var(X) é:
5. Se todos os valores são multiplicados por −3, a variância é:
6. Os valores 1, 3 e 5 têm frequências 1, 2 e 1. A variância populacional é:
7. Se Var(X)=4 e Var(aX+7)=36, os valores reais possíveis de a são:
8. Dois grupos populacionais de mesmo tamanho têm médias 10 e 14 e variâncias 4 e 4. A variância da união é:
Gabarito comentado:
1-B. Todos os desvios em relação à média 5 são zero.
2-C. A média é 3; os quadrados dos desvios são 4 e 4, cuja média é 4.
3-D. A soma dos quadrados dos desvios é 8 e n−1=1; logo s²=8.
4-A. Var(X)=29−5²=4.
5-B. Var(−3X)=(-3)²Var(X)=9Var(X).
6-C. μ=3 e E(X²)=(1+18+25)/4=11; portanto Var=11−9=2.
7-D. 36=a²·4, então a²=9 e a=±3.
8-A. A média total é 12. A variância interna é 4 e a variância entre as médias é [(10−12)²+(14−12)²]/2=4; total 8.
Resumo final
- σ² usa divisor N para a população ou descrição definida pelo enunciado.
- s² usa n−1 como estimador não viesado da variância populacional, com n≥2.
- Var(X)=E(X²)−[E(X)]².
- Var(aX+b)=a²Var(X).
- Na união de grupos, considere dispersão interna e diferenças entre médias.