Amplitude total
A amplitude total mede a distância entre o maior e o menor valor de uma lista estatística finita e não vazia. Nessas condições, mínimo e máximo existem.
A amplitude nunca é negativa. Para um conjunto não vazio, A=0 se, e somente se, todos os valores forem iguais. A amplitude do conjunto vazio não está definida, pois não existem mínimo nem máximo.
Cálculo com dados brutos
Ordenar os dados ajuda a reconhecer os extremos, mas não é obrigatório. Com valores negativos, subtraia o mínimo com parênteses; com decimais, mantenha a mesma unidade e precisão adequada.
Dados: −4,5; −1,0; −1,0; 2,3; 5,5.
Mínimo: −4,5. Máximo: 5,5.
Amplitude: A=5,5−(−4,5)=10,0.
Repetições não são descartadas da análise estatística, mas não mudam o cálculo da amplitude quando não alteram o mínimo ou o máximo.
Propriedades das transformações
Se cada valor x é transformado em y=kx+b, então a translação por b não muda distâncias e a multiplicação por k escala todas as distâncias pelo módulo de k.
A(kx)=|k|A(x)
A(kx+b)=|k|A(x)
O módulo é indispensável quando k<0, pois a ordem se inverte: o antigo máximo gera o novo mínimo. Nesse caso, ymax=kxmin+b e ymin=kxmax+b. Logo:
Exemplo: se A(x)=6 e y=−2x+9, então A(y)=|−2|·6=12.
Sensibilidade a valores extremos
A amplitude usa apenas dois valores e, por isso, é muito sensível à inserção ou retirada de um outlier. Nos dados 10, 11, 12, 13 e 40, a amplitude é 40−10=30. Retirando 40, cai para 13−10=3.
Inserir um valor entre o mínimo e o máximo não altera a amplitude. Inserir um valor abaixo do mínimo ou acima do máximo altera exatamente um extremo. Antes de remover um outlier, porém, é preciso justificar se ele é erro, ocorrência legítima ou informação relevante — não se apaga um dado apenas por ser distante.
Comparação entre conjuntos
Maior amplitude significa apenas maior distância entre os extremos. Não significa necessariamente maior variância, maior desvio padrão ou valores mais espalhados em toda a faixa.
| Conjunto | Dados | Amplitude | Forma interna |
|---|---|---|---|
| A | 0, 0, 0, 10 | 10 | Concentrado em um extremo. |
| B | 0, 3, 7, 10 | 10 | Distribuído ao longo do intervalo. |
| C | 0, 5, 5, 10 | 10 | Concentrado no centro e nos extremos. |
Os três conjuntos têm a mesma amplitude, mas distribuições diferentes. Para comparação mais completa, combine amplitude com gráficos e outras medidas de dispersão.
Amplitude em tabelas e gráficos
Em uma tabela de dados individuais, localize o menor e o maior valor com frequência positiva. Frequência zero não representa observação. Em um dot plot, gráfico de barras de valores ou ramo-e-folhas, leia os extremos no eixo e confira a escala.
| Valor | −2 | 0 | 3 | 6 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequência | 2 | 0 | 4 | 1 | 3 |
O menor valor observado é −2 e o maior é 9, portanto A=9−(−2)=11. O valor 0 não interfere porque sua frequência é zero.
Em gráficos truncados ou sem marcas completas no eixo, não estime a amplitude sem informação suficiente.
Amplitude total e largura de classe
Amplitude total é a diferença entre os extremos do conjunto. Intervalo de classe é a faixa usada para agrupar valores, como 10≤x<20. Seus extremos são o limite inferior 10 e o limite superior 20. A amplitude ou largura de classe é 20−10=10.
| Classe | Limite inferior | Limite superior | Largura |
|---|---|---|---|
| 10≤x<20 | 10 | 20 | 10 |
| 20≤x<30 | 20 | 30 | 10 |
| 30≤x<40 | 30 | 40 | 10 |
Se só conhecemos as classes, os valores individuais mínimo e máximo podem ser desconhecidos. Usar 40−10=30 fornece a extensão coberta pelas classes, não necessariamente a amplitude exata dos dados.
Limitações da medida
- Utiliza somente mínimo e máximo e ignora todos os valores internos.
- É altamente sensível a outliers e erros de registro nos extremos.
- Cresce, em geral, quando há mais observações, pois aumentam as chances de extremos.
- Conjuntos com a mesma amplitude podem ter formas e dispersões muito diferentes.
- Em classes agrupadas, a amplitude exata pode não ser recuperável.
A amplitude é útil como leitura rápida e para dimensionar faixas, mas não deve sustentar sozinha uma conclusão sobre consistência ou homogeneidade.
Questões resolvidas
1. Negativos, decimais e repetições
Calcule a amplitude de −3,5; −1,2; −1,2; 2,5.
Mínimo −3,5 e máximo 2,5. Repetir −1,2 não altera os extremos.
Resposta: A=2,5−(−3,5)=6,0.
2. Valor desconhecido
Os dados 4, 9, 12 e x têm amplitude 14, com x>12. Determine x.
Como x é o máximo e 4 é o mínimo, x−4=14.
Resposta: x=18.
3. Transformação linear
Um conjunto tem amplitude 7. Cada valor é transformado por y=−3x+5.
A constante 5 não altera a amplitude; o fator −3 multiplica por |−3|.
Resposta: A(y)=3·7=21.
4. Retirada de outlier
Compare a amplitude de 10, 11, 12, 13, 40 antes e depois da retirada de 40.
Antes: 40−10=30. Depois: 13−10=3.
Resposta: a amplitude diminui 27 unidades; isso mostra a sensibilidade ao extremo.
5. Dados agrupados
Uma tabela informa apenas classes 10≤x<20, 20≤x<30 e 30≤x<40, todas ocupadas. A amplitude exata é 30?
Não sabemos o menor valor da primeira classe nem o maior da última. 40−10=30 é a extensão dos limites das classes.
Resposta: a amplitude exata não pode ser determinada sem os dados individuais.
Exercícios e resumo
1. A amplitude de −2, 1, 4 e 4 é:
2. Para uma lista finita e não vazia, A=0 ocorre exatamente quando:
3. Se A(x)=5 e y=−2x+7, então A(y) vale:
4. Um conjunto tem mínimo 4 e máximo 12. Ao inserir o valor −6, a nova amplitude é:
5. Dois conjuntos têm amplitude 20. O que se pode concluir necessariamente?
6. Os dados p, 4, 7 e 11 têm amplitude 15, com p<4. O valor de p é:
7. Há observações nas classes 0≤x<10, 10≤x<20 e 20≤x<30, mas os dados individuais não foram informados. A amplitude total:
8. Um conjunto tem amplitude 12. Retirar seu único máximo reduz a amplitude em 5. Nos dados restantes aplica-se y=−1,5x+8. A nova amplitude é:
Gabarito comentado:
1-B: 4−(−2)=6.
2-C: A=0 equivale a máximo=mínimo, o que força todos os valores a coincidirem.
3-A: A(y)=|−2|·5=10; a translação por 7 não interfere.
4-D: O novo mínimo é −6 e o máximo continua 12; A=18.
5-B: Igualdade das amplitudes informa somente a mesma distância total entre extremos.
6-C: Como p é o mínimo, 11−p=15, portanto p=−4.
7-A: os limites das classes não revelam os extremos efetivamente observados.
8-D: após a retirada, a amplitude é 12−5=7; a transformação multiplica por |−1,5|, dando 10,5.
Resumo final
- A=xmax−xmin para listas finitas e não vazias; no conjunto vazio, não é definida.
- A(kx+b)=|k|A(x), inclusive quando k é negativo.
- Amplitude zero equivale a todos os valores iguais.
- A medida é sensível a outliers e não descreve a distribuição interna.
- Amplitude total e largura de classe são conceitos diferentes.