O que o desvio padrão mede
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Valores pequenos indicam maior concentração; valores grandes indicam afastamentos quadráticos maiores. Ele não deve ser descrito simplesmente como “distância média”, pois o cálculo eleva os desvios ao quadrado antes de tirar a raiz.
Ao contrário da amplitude, usa todas as observações. Ao contrário da variância, volta à mesma unidade dos dados, facilitando a interpretação. Ainda assim, é sensível a valores extremos.
Média e desvios
Para uma população com N valores, a média é μ. O desvio do valor xi em relação à média é xi−μ.
A soma dos desvios em relação à média é zero: valores abaixo e acima se compensam. Por isso, não basta fazer a média dos desvios com sinais. A variância utiliza os quadrados, que são não negativos e dão maior peso a afastamentos grandes.
| xi | xi−μ, com μ=4 | (xi−μ)² |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
| Soma | 0 | 8 |
Variância populacional
Quando os dados constituem a população estudada, divide-se a soma dos quadrados dos desvios por N:
A variância é não negativa e tem unidade ao quadrado. Uma forma algébrica equivalente, útil em cálculos, é:
Erros de arredondamento podem tornar as duas formas ligeiramente diferentes se valores intermediários forem truncados. Preserve precisão e arredonde apenas no final.
Desvio padrão populacional
O símbolo σ representa o desvio padrão populacional. A raiz considerada é a não negativa. Se os dados estão em centímetros, σ fica em centímetros; a variância σ² fica em centímetros quadrados.
Temos σ=0 se, e somente se, todos os valores são iguais. Se pelo menos um valor difere da média, algum quadrado é positivo e o desvio padrão também é positivo.
Variância e desvio padrão amostral
Para uma amostra de tamanho n, a média amostral é x̄. Quando o objetivo é estimar a variância populacional, usa-se frequentemente o divisor n−1:
s² = Σ(xi−x̄)²/(n−1)
s = √s²
| População | Amostra |
|---|---|
| Tamanho N | Tamanho n |
| Média μ | Média x̄ |
| Desvio padrão σ | Desvio padrão s |
Algumas atividades usam divisor n para descrever apenas os próprios dados amostrais, sem correção de estimação. Siga a convenção indicada no enunciado e deixe claro qual divisor foi usado.
Cálculo passo a passo
- Calcule a média adequada, μ ou x̄.
- Encontre cada desvio em relação à média.
- Eleve os desvios ao quadrado.
- Some os quadrados.
- Divida por N, n ou n−1 conforme o contexto.
- Extraia a raiz quadrada não negativa.
- Informe a unidade e interprete a dispersão.
População 1, 3, 5: μ=3.
Quadrados dos desvios: (−2)²+0²+2²=8.
σ²=8/3 e σ=√(8/3)≈1,63.
Pela fórmula alternativa: (1²+3²+5²)/3−3²=35/3−9=8/3.
Tabela de frequências
Se xi aparece fi vezes, não é preciso repetir todas as observações. Para uma população:
σ² = Σfi(xi−μ)²/Σfi
| xi | fi | fixi | fi(xi−3)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 4 |
| 3 | 2 | 6 | 0 |
| 5 | 1 | 5 | 4 |
| Total | 4 | 12 | 8 |
Assim, μ=12/4=3, σ²=8/4=2 e σ=√2.
Propriedades e transformações
- σ e s são sempre não negativos.
- São zero se, e somente se, todos os valores são iguais.
- Têm a mesma unidade dos dados.
- São sensíveis a valores extremos.
- Adicionar uma constante a todos os valores não altera o desvio padrão.
- Multiplicar todos os valores por k multiplica o desvio padrão por |k|.
A constante b desloca a média e todos os valores igualmente, preservando os desvios. Um fator negativo inverte a ordem, mas os afastamentos não podem ficar negativos; por isso aparece |a|.
Interpretação e comparação
Compare desvios padrão na mesma unidade e, preferencialmente, em escalas compatíveis. Dois conjuntos podem ter a mesma média e dispersões muito diferentes.
Um desvio padrão maior indica maior dispersão quadrática em torno da média, mas não determina sozinho a forma, a simetria ou a presença de mais de um grupo.
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação compara a dispersão em relação ao tamanho da média:
É útil para comparar escalas diferentes, desde que a média seja adequada, não nula e o zero da escala tenha significado compatível. Por exemplo, s=5 e x̄=50 dão CV=10%; s=12 e x̄=200 dão CV=6%, apesar do segundo desvio padrão absoluto ser maior.
O CV pode ser inadequado quando a média é zero, muito próxima de zero ou quando a escala admite valores negativos sem interpretação de razão, como temperaturas em Celsius em certas comparações.
Questões resolvidas
1. Desvio populacional completo
Calcule σ para a população 2, 4, 6.
μ=4; quadrados dos desvios: 4, 0, 4; soma 8.
Resposta: σ²=8/3 e σ=√(8/3)≈1,63.
2. Estimativa amostral
Calcule s para a amostra 3, 5, 7 usando n−1.
x̄=5 e a soma dos quadrados é 4+0+4=8. Como n−1=2, s²=8/2=4.
Resposta: s=2.
3. Frequências
Os valores 1, 3 e 5 têm frequências 1, 2 e 1. Calcule σ.
N=4, μ=3 e a soma ponderada dos quadrados é 8.
Resposta: σ²=2 e σ=√2.
4. Transformação
Um conjunto tem μ=10 e σ=2. Para y=−3x+7, encontre μy e σy.
A média segue a transformação: μy=−3·10+7=−23. O desvio usa o módulo do fator.
Resposta: μy=−23 e σy=6.
5. Dispersão relativa
A tem x̄=50 e s=5; B tem x̄=200 e s=12. Qual é relativamente mais disperso?
CVA=5/50=10%; CVB=12/200=6%.
Resposta: A tem maior dispersão relativa, embora B tenha maior desvio absoluto.
Exercícios e resumo
1. Uma população tem variância 36 kg². Seu desvio padrão é:
2. Se 12 é somado a todos os dados, o desvio padrão:
3. O desvio padrão populacional de 2, 2, 6 e 6 é:
4. Uma amostra tem s=4. Sob a transformação y=−2,5x+10, o novo desvio padrão é:
5. Em uma população, 0, 2 e 4 têm frequências 1, 2 e 1. O desvio padrão é:
6. A população 2, 4, 4, k tem média 5. Seu desvio padrão é:
7. Para os dados 1, 3, 5, qual par está correto: s estimador com n−1 e σ populacional?
8. A tem μ=40 e σ=4. Para B, y=1,5x−20, com μx=20 e σx=4. Comparando CV, temos:
Gabarito comentado:
1-A: σ=√36=6 e retorna à unidade kg.
2-C: transladar todos os valores também translada a média e preserva os desvios.
3-B: μ=4; a soma dos quadrados é 16; σ²=16/4=4 e σ=2.
4-D: sy=|−2,5|·4=10.
5-A: μ=2, a soma ponderada dos quadrados é 8, σ²=8/4=2 e σ=√2.
6-C: a soma deve ser 20, então k=10. Os quadrados dos desvios a 5 somam 36; σ²=9 e σ=3.
7-B: a soma dos quadrados é 8; dividir por n−1=2 dá s=2, e dividir por N=3 dá σ=√(8/3).
8-D: CVA=4/40=10%. Em B, μy=10 e σy=6, logo CVB=60%.
Resumo final
- População usa N, μ e σ; amostra usa n, x̄ e s.
- σ²=Σ(xi−μ)²/N e σ é sua raiz não negativa.
- Para estimar variância populacional com amostra, usa-se frequentemente n−1; siga o enunciado.
- Se y=ax+b, então σy=|a|σx.
- O CV compara dispersão relativa quando a média e a escala tornam a razão adequada.