Mediana em dados brutos
A mediana separa os dados ordenados em duas partes. Primeiro construa o rol x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n), em que x(j) é a j-ésima estatística de ordem.
n par: Md=[x(n/2)+x(n/2+1)]/2
Para n par, a média dos dois termos centrais é uma convenção adequada para variáveis quantitativas. Em dados apenas ordinais, pode-se afirmar que a posição central está entre as duas categorias, pois calcular sua média numérica pode não ter sentido.
A mediana depende da ordem, não da distância de todos os valores ao centro. Por isso, costuma ser resistente a valores extremos.
Moda e classificações
Moda é o valor ou categoria de maior frequência. Pode ser usada com variáveis quantitativas ou qualitativas.
- unimodal: uma única moda;
- bimodal: duas modas;
- multimodal: três ou mais modas;
- amodal: na convenção escolar, nenhum valor se destaca, como quando todos aparecem uma vez.
Não basta um valor se repetir: ele precisa atingir a maior frequência. Se dois valores aparecem quatro vezes e todos os demais menos, ambos são modas. A moda pode estar longe da média e da mediana em distribuições assimétricas.
Dados discretos tabelados
Em uma tabela de valores xi com frequências fi, a moda é o valor de maior fi. Para a mediana, use frequências acumuladas para localizar as posições centrais sem expandir a lista.
Se N é ímpar, procure a posição (N+1)/2. Se N é par, localize N/2 e N/2+1; se caírem no mesmo valor, ele é a mediana, e se caírem em valores distintos, calcule a média desses dois valores para dados quantitativos.
Uma regra equivalente para N ímpar é escolher o primeiro valor cuja frequência acumulada alcança pelo menos (N+1)/2. Leia os limites com cuidado quando a acumulada termina exatamente em uma das posições centrais.
Dados agrupados em classes
Quando só conhecemos frequências por intervalos, não é possível recuperar em geral a mediana ou a moda exatas. Sob a hipótese de distribuição aproximadamente uniforme dentro da classe mediana, estima-se:
L é o limite inferior da classe mediana, h sua amplitude, Fant a acumulada anterior e fMd a frequência da classe. O resultado é uma interpolação, não um dado observado.
Com classes de mesma amplitude, a classe modal é a de maior frequência. Com amplitudes diferentes, compare densidades fi/hi. Para classes iguais e frequências vizinhas disponíveis, a fórmula de Czuber estima a moda:
Essa estimativa exige classe modal interior e comparação coerente entre classes de mesma largura; em outros casos, declare apenas a classe modal ou trabalhe com densidades.
Interpretação e escolha da medida
A mediana é apropriada para dados ordinais e distribuições com assimetria ou extremos, como renda. A moda identifica o resultado mais comum e é a única medida de tendência central aplicável diretamente a categorias nominais.
Transformações estritamente crescentes preservam a ordem: se y=ax+b com a>0, a mediana e as modas numéricas transformam-se pela mesma expressão. Se a<0, a ordem se inverte, mas o centro transformado ainda é a·Md+b para dados quantitativos.
Mediana e moda resumem aspectos diferentes. Dois conjuntos podem ter a mesma mediana e modas distintas, ou a mesma moda e dispersões muito diferentes.
Pegadinhas e condições
- Ordene os dados antes de localizar a mediana.
- Com n par, use os dois termos centrais, não as posições (n+1)/2 arredondadas.
- Moda é o valor de maior frequência, não a maior frequência.
- Em classes desiguais, compare densidades para localizar a região modal.
- Fórmulas para classes agrupadas fornecem estimativas e dependem de hipótese interna à classe.
Questões resolvidas
1. Lista ímpar
Determine mediana e moda de 3, 7, 7, 9 e 20.
A lista já está ordenada e n=5.
A terceira posição é 7; esse também é o único valor repetido.
Resposta: Md=7 e Mo=7.
2. Lista par e amodal
Determine a mediana de 12, 4, 8, 15, 9 e 6 e classifique a moda.
Rol: 4, 6, 8, 9, 12, 15.
Md=(8+9)/2=8,5.
Resposta: mediana 8,5 e conjunto amodal na convenção escolar.
3. Tabela discreta
Os valores 1, 2, 3 e 4 têm frequências 2, 5, 4 e 1. Determine mediana e moda.
N=12; as posições centrais são a 6ª e a 7ª.
A acumulada é 2, 7, 11, 12; ambas as posições centrais correspondem ao valor 2.
A maior frequência também é 5, associada a 2.
Resposta: Md=Mo=2.
4. Mediana agrupada
Classes [0,10), [10,20) e [20,30) têm frequências 5, 9 e 6. Estime a mediana.
N=20 e N/2=10. A acumulada passa de 5 para 14 na segunda classe.
L=10, h=10, Fant=5 e fMd=9.
Md≈10+10·(10−5)/9=10+50/9.
Resposta: Md≈15,56.
5. Região modal com classes desiguais
As classes [0,5) e [5,15) têm frequências 12 e 20. Qual tem maior concentração?
As amplitudes são 5 e 10.
Densidades: 12/5=2,4 e 20/10=2.
Resposta: [0,5) tem maior densidade e é a região modal no histograma.
Exercícios
1. A mediana de 2, 5 e 9 é:
2. A moda de 1, 2, 2 e 3 é:
3. A mediana de 4, 10, 2 e 8 é:
4. Os valores 0, 1 e 2 têm frequências 2, 3 e 5. A mediana é:
5. Aos dados 2, 3, 4, 5 e 6 acrescenta-se 100. A nova mediana é:
6. Classes [0,10), [10,20) e [20,30) têm frequências 4, 8 e 8. Pela interpolação uniforme, a mediana estimada é:
7. Os valores 1, 2 e 3 têm frequências 3, x e 4, total 12. O par (x,mediana) é:
8. As classes [0,4), [4,10) e [10,20) têm frequências 8, 15 e 20. Pela densidade, a região modal é:
Gabarito comentado:
1-B. Com três valores ordenados, o termo central é 5.
2-C. O valor 2 tem a maior frequência.
3-A. O rol é 2,4,8,10; Md=(4+8)/2=6.
4-D. N=10; a 5ª posição vale 1 e a 6ª vale 2, logo Md=1,5.
5-B. O novo rol tem seis termos; os centrais são 4 e 5, cuja média é 4,5.
6-C. N/2=10; Md≈10+10·(10−4)/8=17,5.
7-D. 3+x+4=12 dá x=5. As posições 6 e 7 estão no valor 2, então Md=2.
8-B. As densidades são 8/4=2, 15/6=2,5 e 20/10=2; a segunda é maior.
Resumo final
- A mediana ocupa o centro do rol; com n par, é a média dos dois valores centrais.
- A moda é o valor ou categoria de maior frequência e pode não ser única.
- Frequências acumuladas localizam as posições centrais em tabelas discretas.
- Em classes, mediana e moda numéricas são estimadas sob hipóteses adicionais.
- Classes desiguais exigem densidade para identificar a região modal.