Definição e condições
A média ponderada associa a cada valor xi um peso wi, que representa importância, quantidade, duração, massa ou outra participação no total:
O denominador precisa ser diferente de zero. Em aplicações de média, os pesos são normalmente não negativos e pelo menos um é positivo; nessas condições, a média fica entre o menor e o maior valor. Pesos negativos podem existir em outras construções algébricas, mas deixam de representar uma média usual.
Multiplicar todos os pesos pelo mesmo número positivo não altera o resultado. Assim, pesos 2, 3 e 5 são equivalentes a 20%, 30% e 50%. Não é necessário que os pesos somem 1 ou 100, pois a fórmula normaliza pela soma.
Frequências como pesos
Se o valor xi aparece fi vezes, sua frequência funciona como peso:
Essa forma evita escrever o mesmo valor repetidamente. Frequências relativas também podem ser usadas: se Σfri=1, então x̄=Σfrixi.
Para dados agrupados em classes, substitui-se cada classe pelo ponto médio mi. O resultado x̄≈Σfimi/N é uma estimativa, pois os valores individuais foram perdidos no agrupamento.
Média de grupos combinados
Se grupos de tamanhos n₁,n₂,… têm médias x̄₁,x̄₂,…, cada média de grupo deve ser ponderada pelo tamanho do grupo:
Não faça a média simples das médias, exceto quando os grupos têm o mesmo tamanho. O produto njx̄j recupera a soma dos valores do grupo j.
O mesmo raciocínio vale para preços médios por quantidade, velocidades médias por tempo ou distância — mas o peso correto depende do contexto. Para preço por quilograma, use massas; para uma taxa ao longo do tempo, verifique se a grandeza deve ser ponderada por tempo, distância ou outro denominador.
Valores desconhecidos, inclusão e correção
Se a média e parte dos valores são conhecidos, transforme a média em soma total. Para N observações de média x̄, a soma é S=Nx̄. Depois, subtraia as contribuições conhecidas.
Ao acrescentar um grupo de m observações com média ȳ, a nova soma é Nx̄+mȳ e o novo tamanho é N+m. Ao retirar dados, subtraia soma e quantidade. Se um valor a foi registrado no lugar do correto b, ajuste a soma por b−a, sem refazer todos os cálculos.
Em notas com limites, confirme se a incógnita encontrada pertence à escala permitida. Uma nota exigida acima de 10, por exemplo, mostra que a meta é impossível sob as condições dadas.
Propriedades e interpretação
Com pesos não negativos, a média ponderada é uma combinação convexa: nenhum valor médio fica fora do intervalo dos dados. Quanto maior o peso relativo de um valor, mais a média se aproxima dele.
Se todos os valores são transformados por y=ax+b, então a média ponderada transforma-se por ȳ=ax̄+b, desde que os mesmos pesos sejam usados. Somar uma constante a todos os valores soma essa constante à média; multiplicar todos por a multiplica a média por a.
A média usa toda a informação numérica e, por isso, é sensível a valores extremos. Um peso muito grande pode dominar o resultado mesmo que esteja associado a apenas uma categoria.
Pegadinhas e condições
- Divida pela soma dos pesos, não pela quantidade de parcelas.
- Não tire média simples de médias de grupos com tamanhos diferentes.
- Pesos percentuais devem ser usados como 20,30,50 ou 0,2,0,3,0,5 de forma consistente.
- Em classes, a média calculada pelos pontos médios é aproximada.
- Escolha o peso que representa a participação real da grandeza no total.
Questões resolvidas
1. Notas com pesos
Calcule a média das notas 6, 8 e 9, com pesos 2, 3 e 5.
Soma ponderada: 6·2+8·3+9·5=12+24+45=81.
Soma dos pesos: 2+3+5=10.
Resposta: x̄p=81/10=8,1.
2. Frequências
Os valores 1, 2 e 3 aparecem 2, 3 e 5 vezes. Determine a média.
N=2+3+5=10.
Soma: 1·2+2·3+3·5=2+6+15=23.
Resposta: x̄=23/10=2,3.
3. Média combinada
Uma turma de 20 alunos tem média 7,2 e outra de 30 alunos tem média 6,8. Qual é a média conjunta?
As somas são 20·7,2=144 e 30·6,8=204.
Soma conjunta=348 e total=50 alunos.
Resposta: 348/50=6,96.
4. Nota necessária
As notas 5, 7 e x têm pesos 2, 3 e 5. Qual deve ser x para média 8?
(5·2+7·3+5x)/10=8.
10+21+5x=80, então 5x=49.
Resposta: x=9,8, valor possível em uma escala de 0 a 10.
5. Correção de registro
Vinte e cinco valores têm média calculada 12. Um valor 18 foi registrado, mas o correto era 8. Determine a média corrigida.
A soma registrada é 25·12=300.
A correção altera a soma por 8−18=−10; soma correta=290.
Resposta: 290/25=11,6.
Exercícios
1. A média de 4 e 8, com pesos 1 e 3, é:
2. Os valores 2 e 5 aparecem 3 e 1 vez. A média é:
3. Notas 7, 8 e 9 têm pesos 20%, 30% e 50%. A média é:
4. Um grupo de 10 pessoas tem média 6 e outro de 20 tem média 8. A média conjunta é:
5. Multiplicar todos os pesos pelo mesmo número positivo:
6. Um grupo de 15 elementos tem média 12 e outro de 25 tem média x. A média conjunta é 17. O valor de x é:
7. Uma turma A de n alunos tem média 7; uma turma B de 20 alunos tem média 8,5. Se a média conjunta é 8, então n vale:
8. Trinta valores têm média 15. Ao substituir um registro 9 por x, a média passa a 15,2. Então x é:
Gabarito comentado:
1-B. (4·1+8·3)/(1+3)=28/4=7.
2-C. (2·3+5·1)/4=11/4=2,75.
3-D. 0,2·7+0,3·8+0,5·9=1,4+2,4+4,5=8,3.
4-B. (10·6+20·8)/30=220/30=22/3.
5-A. O mesmo fator aparece no numerador e no denominador e é cancelado.
6-C. 40·17=15·12+25x; logo 680=180+25x e x=20.
7-D. (7n+20·8,5)/(n+20)=8 fornece 7n+170=8n+160; portanto n=10.
8-A. A soma cresce de 450 para 456, aumento 6. Assim, x−9=6 e x=15.
Resumo final
- x̄p=Σwixi/Σwi, com Σwi≠0.
- Frequências e tamanhos de grupos funcionam como pesos.
- Médias de grupos só podem ser promediadas diretamente quando os tamanhos são iguais.
- Use S=Nx̄ para incluir, retirar ou corrigir observações.
- Com pesos não negativos, a média fica entre o mínimo e o máximo.