Convenção e construção
Nesta página, a numeração começa obrigatoriamente em zero: a linha de ordem 0 é 1; a de ordem 1 é 1, 1; a de ordem 2 é 1, 2, 1. A linha de ordem n contém os coeficientes de (a+b)ⁿ e possui n+1 elementos.
ordem 1: 1 1
ordem 2: 1 2 1
ordem 3: 1 3 3 1
ordem 4: 1 4 6 4 1
As bordas valem 1. Cada termo interno é a soma dos dois termos imediatamente acima; portanto, a regra é recursiva e cada linha depende da anterior.
n≥1 e 1≤k≤n−1
C(n,0)=C(n,n)=1
A identidade interna não deve ser aplicada nas bordas sem usar separadamente a convenção dos extremos.
Combinações, índice e posição
O elemento de índice k da linha de ordem n é o coeficiente binomial:
0≤k≤n
Ele conta as escolhas de k elementos entre n, sem considerar ordem. Também se escreve Cₙ,ₖ; as duas notações são equivalentes.
Índice começa em 0; posição começa em 1. O índice 0 é o primeiro elemento, o índice 3 é o quarto elemento e a posição p corresponde ao índice k=p−1.
Simetria e somas
Simetria
Escolher k elementos para entrar equivale a escolher n−k para ficar de fora.
Soma da linha
É o valor de (1+1)ⁿ no Binômio de Newton.
Soma alternada
Vem de (1−1)ⁿ.
Índices pares e ímpares
Σ índices ímpares C(n,k)=2ⁿ⁻¹, n≥1
A soma total é 2ⁿ e a diferença entre as duas somas é a soma alternada, zero. Fala-se em índices pares, não em posições pares.
Relação com o Binômio de Newton
Na linha de ordem n, C(n,k) multiplica aⁿ⁻ᵏbᵏ. Assim:
a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
(a−b)⁴=
a⁴−4a³b+6a²b²−4ab³+b⁴
O Triângulo fornece os coeficientes positivos 1,4,6,4,1. Em (a−b)⁴, os sinais vêm das potências de −b, e não de sinais presentes no triângulo. Não confunda coeficiente com termo completo: 6 é coeficiente; 6a²b² é o termo.
Soma de diagonais
A identidade conhecida como “taco de hóquei” é, para n≥r≥0:
Exemplo: C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=1+3+6+10=20=C(6,3).
Método e pegadinhas
- Identifique que a ordem começa em 0.
- Converta posição p em índice k=p−1.
- Use simetria quando n−k for menor.
- Escolha entre soma total, alternada ou par/ímpar.
- Relacione C(n,k) com combinação ou termo binomial.
- Confira bordas, n+1 elementos e simetria.
- A linha de ordem n não é a n-ésima linha contada desde 1 e tem n+1 elementos.
- Não confunda índice par com posição par.
- Os extremos são 1; a relação recursiva interna exige 1≤k≤n−1.
- 2ⁿ é a soma da linha, não o valor de um único elemento.
- Em (a−b)ⁿ, não esqueça os sinais produzidos por (−b)ᵏ.
- Na simetria, o parceiro de k é n−k.
Questões resolvidas
1. Construção
Construa a linha de ordem 5.
Parta de 1,4,6,4,1; some vizinhos e mantenha as bordas.
1,5,10,10,5,1.
2. Índice e posição
Qual é o quarto elemento da linha 7?
Quarta posição significa índice 3.
C(7,3)=35.
3. Simetria
Calcule C(10,8).
C(10,8)=C(10,2).
10·9/2=45.
4. Soma da linha
Some a linha de ordem 8.
Use (1+1)⁸.
2⁸=256.
5. Soma alternada
Calcule Σ(−1)ᵏC(6,k).
A expressão é (1−1)⁶.
Resultado: 0.
6. Índices pares
Some os coeficientes de índices pares da linha 10.
Como 10≥1, a soma é 2¹⁰⁻¹.
2⁹=512.
7. Expansão
Expanda (a−b)⁴.
Use 1,4,6,4,1 e as potências de −b.
a⁴−4a³b+6a²b²−4ab³+b⁴.
8. Diagonal
Some C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2).
Pelo taco de hóquei, vale C(6,3).
Resultado: 20.
Exercícios
1. A linha de ordem 3 é:
2. A linha de ordem 9 possui:
3. O quarto elemento da linha 7 é:
4. Pela simetria, C(12,10) vale:
5. C(5,1)+C(5,2) é:
6. A soma da linha 9 é:
7. A soma alternada da linha 7 é:
8. A soma dos índices ímpares da linha 8 é:
9. Uma linha tem 11 elementos. A soma dos índices pares, sem os dois elementos das bordas, é:
10. O coeficiente de x³y⁵ em (x+y)⁸ é:
Gabarito comentado:
1-D: ordem 3 contém 1,3,3,1.
2-B: são n+1=10 elementos.
3-C: quarta posição é k=3; C(7,3)=35.
4-A: C(12,10)=C(12,2)=66.
5-D: pela identidade de Pascal, vale C(6,2)=15.
6-B: 2⁹=512.
7-A: (1−1)⁷=0.
8-C: 2⁷=128.
9-B: a linha é n=10; a soma par vale 512 e as duas bordas pares somam 2, restando 510.
10-D: x³ corresponde a escolher três fatores x, ou cinco fatores y; C(8,3)=56.
Resumo final
- A linha de ordem 0 é 1; a linha n tem n+1 elementos.
- C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k) nos termos internos.
- C(n,k)=C(n,n−k) e ΣC(n,k)=2ⁿ.
- Para n≥1, as somas dos índices pares e ímpares valem 2ⁿ⁻¹.
- Posição p corresponde ao índice p−1.
- Os sinais de (a−b)ⁿ vêm de (−b)ᵏ.