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Probabilidade básica

Casos favoráveis e possíveis

Em espaço equiprovável finito, probabilidade é razão entre casos favoráveis e possíveis.

Conceitos iniciais

  • Experimento aleatório: procedimento cujo resultado não é conhecido com certeza antes da realização.
  • Resultado elementar: um resultado individual possível.
  • Espaço amostral Ω: conjunto de todos os resultados.
  • Evento: qualquer subconjunto de Ω.
  • Certo: Ω; impossível: ∅; complementar: Aᶜ.

Probabilidade clássica

P(A)=n(A)/n(Ω)

A razão exige espaço finito, resultados elementares equiprováveis e evento bem definido. Se os resultados têm probabilidades diferentes, some as probabilidades dos favoráveis em vez de apenas contá-los.

0≤P(A)≤1   P(∅)=0   P(Ω)=1   P(Aᶜ)=1−P(A)

União e interseção

A∪B ocorre quando pelo menos um ocorre; A∩B quando ambos ocorrem.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

A interseção é subtraída porque foi contada nas duas parcelas. Se A∩B=∅, são mutuamente exclusivos e P(A∪B)=P(A)+P(B). Isso não significa independência, estudada posteriormente.

Complementar

P(Aᶜ)=1−P(A)

É útil para “não ocorrer”, “nenhum” e “pelo menos um”. O complementar de um evento inclui todos os resultados de Ω que não pertencem a ele; não é apenas qualquer evento incompatível.

Construção do espaço amostral

Podemos usar listagem, tabela, árvore, produto cartesiano ou contagem combinatória. Para duas moedas:

Ω={CC,CO,OC,OO}

C significa cara e O, coroa. A ordem identifica qual moeda ou lançamento produziu cada resultado.

Dois dados

Os resultados elementares são pares ordenados (1,1),(1,2),…,(6,6), totalizando 6·6=36 casos equiprováveis. As somas não são equiprováveis: soma 7 tem seis pares, enquanto soma 2 tem apenas (1,1).

Probabilidade teórica e experimental

A teórica vem de um modelo matemático. A frequência relativa é:

ocorrências do evento / total de repetições

Em muitas repetições, ela tende a se aproximar da probabilidade teórica, mas em poucas tentativas não precisa coincidir exatamente.

Resultados não equiprováveis

Em dado viciado ou roleta com setores de áreas diferentes, as probabilidades elementares não são iguais. Se um dado atribui probabilidades 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4 aos resultados 1,2,3,4, a probabilidade de número par é 0,2+0,4=0,6, não 2/4.

Relação com combinatória

Quando os resultados são equiprováveis, numerador e denominador podem exigir PFC, permutações, arranjos ou combinações.

P(A)=resultados favoráveis/resultados totais

Exemplo: escolher 3 pessoas entre 6 mulheres e 4 homens. Exatamente 2 mulheres: C₆,₂C₄,₁/C₁₀,₃=60/120=1/2.

Roteiro de resolução

  1. Identifique o experimento.
  2. Defina Ω.
  3. Defina o evento.
  4. Verifique equiprobabilidade.
  5. Conte resultados totais.
  6. Conte favoráveis.
  7. Considere complementar.
  8. Identifique união e interseção.
  9. Corrija sobreposição.
  10. Confira se 0≤P≤1.

Pegadinhas

  • Usar favoráveis/possíveis sem equiprobabilidade.
  • Confundir união com interseção.
  • Somar eventos sobrepostos sem subtrair a interseção.
  • Confundir complementar com qualquer evento disjunto.
  • Tratar somas de dados como equiprováveis.
  • Esquecer a ordem em pares.
  • Contar resultados impossíveis ou obter probabilidade maior que 1.
  • Confundir frequência observada com probabilidade teórica.
  • Definir Ω de modo incompleto.

Questões resolvidas

1. Dado

Primo em dado honesto.

{2,3,5}: 3/6=1/2.

2. Duas moedas

Exatamente uma cara.

Ω={CC,CO,OC,OO}; favoráveis CO,OC.

Resposta: 1/2.

3. Dois dados

Soma 7.

Seis pares favoráveis entre 36: 1/6.

4. Complementar

Pelo menos uma cara em duas moedas.

1−P(OO)=1−1/4=3/4.

5. União disjunta

Uma carta ser ás ou rei.

Os eventos são disjuntos: (4+4)/52=2/13.

6. União com interseção

P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2.

0,4+0,5−0,2=0,7.

7. Múltiplos

Número de 1 a 100 múltiplo de 4 ou 6.

25+16−8=33 favoráveis.

Resposta: 33/100.

8. Contagem combinatória

Grupo de 3 entre 6 mulheres e 4 homens, com exatamente 2 mulheres.

C₆,₂C₄,₁/C₁₀,₃=60/120=1/2.

9. Frequência experimental

Evento ocorreu 180 vezes em 300 ensaios.

Frequência relativa: 180/300=0,6.

10. Não equiprovável

Resultados 1,2,3,4 têm probabilidades 0,1;0,2;0,3;0,4. Número par.

0,2+0,4=0,6.

Exercícios

Fácil

1. O espaço amostral de duas moedas honestas possui:

A) 2 resultadosB) 4 resultadosC) 6 resultadosD) 8 resultados
Fácil

2. Em um dado honesto, a probabilidade de não sair 6 é:

A) 1/6B) 2/3C) 5/6D) 1
Médio

3. Em dado honesto, a probabilidade de número primo é:

A) 1/2B) 1/3C) 2/3D) 5/6
Médio

4. Em dois dados honestos, P(soma 7) é:

A) 1/12B) 5/36C) 7/36D) 1/6
Médio

5. Em baralho de 52 cartas, P(ás ou rei) é:

A) 1/13B) 2/13C) 4/13D) 8/13
Médio

6. P(A)=0,4, P(B)=0,5 e P(A∩B)=0,2. P(A∪B) é:

A) 0,2B) 0,5C) 0,7D) 0,9
Médio

7. Um evento ocorreu 180 vezes em 300 repetições. Sua frequência relativa foi:

A) 0,6B) 0,4C) 0,18D) 1,8
Médio

8. Em dado viciado, P(1)=0,1, P(2)=0,2, P(3)=0,3 e P(4)=0,4. P(resultado par) é:

A) 0,2B) 0,4C) 0,5D) 0,6
Difícil

9. Escolhem-se 3 pessoas entre 6 mulheres e 4 homens. A probabilidade de exatamente 2 mulheres é:

A) 2/5B) 1/2C) 3/5D) 2/3
Difícil

10. Duas cartas são escolhidas simultaneamente de um baralho. A probabilidade de pelo menos um ás é:

A) 4/52B) 1/13C) 33/221D) 17/221

Gabarito comentado:

1-B: {CC,CO,OC,OO} tem quatro resultados.

2-C: pelo complementar, 1−1/6=5/6.

3-A: 2,3,5 são três de seis faces.

4-D: seis pares entre 36: 1/6.

5-B: 8/52=2/13.

6-C: 0,4+0,5−0,2=0,7.

7-A: 180/300=0,6; isso é frequência observada.

8-D: resultados não equiprováveis; some 0,2+0,4=0,6.

9-B: C₆,₂C₄,₁/C₁₀,₃=60/120=1/2.

10-C: use o complementar de nenhum ás: 1−C₄₈,₂/C₅₂,₂=1−1128/1326=198/1326=33/221.

Resumo final

  • P(A)=n(A)/n(Ω) exige espaço finito equiprovável.
  • União soma e retira a interseção.
  • Complementar costuma simplificar “pelo menos um”.
  • Em resultados não equiprováveis, some probabilidades.
  • Combinatória conta favoráveis e totais quando necessário.