Teorema do binômio
Para n∈ℤ≥0, isto é, n inteiro não negativo, o desenvolvimento é finito e possui n+1 parcelas antes de eventuais simplificações:
O índice k varia de 0 a n; o expoente de a diminui, o de b aumenta e sua soma permanece n. Os coeficientes Cₙ,ₖ são números binomiais. A fórmula finita escolar não se aplica da mesma maneira a expoente negativo ou não inteiro.
Termo geral e posição
O índice k e a posição diferem por uma unidade: primeiro termo, k=0; segundo, k=1; quarto, k=3. No termo de posição r, use k=r−1. Como há n+1 termos, o penúltimo ocupa a posição n e usa k=n−1.
Subtração, sinais e número de termos
Se k é par, (−b)ᵏ é positivo; se k é ímpar, é negativo. O sinal deve ser elevado com o termo. O desenvolvimento tem n+1 parcelas; após simplificações ou cancelamentos, a quantidade efetiva de termos distintos pode mudar.
Termos centrais
- Se n é par, n+1 é ímpar e há um termo central: Tn/2+1.
- Se n é ímpar, n+1 é par e há dois termos centrais: T(n+1)/2 e T(n+3)/2.
Exemplo: em (a+b)⁶, o central é T₄=20a³b³. Em (a+b)⁵, os centrais são T₃=10a³b² e T₄=10a²b³.
Coeficiente e potência específica
Em 24x², o termo completo é 24x², o coeficiente numérico de x² é 24 e a parte literal é x². Em (axʳ+bxˢ)ⁿ, o termo de índice k contém:
Iguale r(n−k)+sk ao expoente desejado. A resposta só existe se k for inteiro e 0≤k≤n; depois calcule separadamente coeficiente, parte literal e sinal.
Termo independente de x
O termo independente tem expoente zero. Resolva a equação dos expoentes e, antes de calcular o coeficiente, confirme que o índice obtido é inteiro e pertence ao intervalo de 0 a n.
Se essas condições falharem, o desenvolvimento não possui termo independente de x.
Soma dos coeficientes
Se P(x) é um polinômio, P(1) é a soma de seus coeficientes e P(−1) é a soma alternada. Separando coeficientes de expoentes pares e ímpares:
Símpares=[P(1)−P(−1)]/2
Essas substituições consideram também coeficientes nulos de potências ausentes.
Simetria e relação de Pascal
Cₙ,ₖ=Cₙ₋₁,ₖ+Cₙ₋₁,ₖ₋₁
Cₙ,₀=Cₙ,ₙ=1 e Cₙ,₁=Cₙ,ₙ₋₁=n
Os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. Pascal constrói cada linha a partir da anterior. Em particular, ΣCₙ,ₖ=2ⁿ.
Roteiro seguro
- Identifique a, b e n, mantendo o sinal dentro do segundo termo.
- Decida se precisa do desenvolvimento completo ou apenas do termo geral.
- Converta posição r em índice k=r−1.
- Para uma potência específica, monte a equação dos expoentes.
- Valide que k é inteiro e 0≤k≤n.
- Calcule o coeficiente, a parte literal e o sinal.
- Confira a simetria e, quando útil, a soma dos coeficientes.
Pegadinhas frequentes
- Usar k=r em vez de k=r−1 ou esquecer que o primeiro termo usa k=0.
- Perder o sinal em (−b)ᵏ.
- Confundir termo completo, coeficiente numérico e parte literal.
- Aceitar k fracionário, negativo ou maior que n.
- Usar n em vez de n+1 para a quantidade de termos.
- Aplicar a regra errada aos termos centrais.
- Esquecer as potências dos coeficientes numéricos.
- Substituir x=0, e não x=1, para somar coeficientes.
- Confundir soma dos coeficientes com termo independente.
- Ignorar cancelamentos ou simplificações.
Questões resolvidas
1. Desenvolvimento completo
Desenvolva (x+2)⁴.
Use C₄,ₖ: x⁴+4x³·2+6x²·2²+4x·2³+2⁴.
Resultado: x⁴+8x³+24x²+32x+16.
2. Quarto termo e sinal
Encontre o quarto termo de (2x−y)⁵.
r=4 dá k=3. T₄=C₅,₃(2x)²(−y)³=10·4x²·(−y³).
Resultado: −40x²y³.
3. Coeficiente de x⁵
Em (x²+2x)⁴, determine o coeficiente de x⁵.
O expoente é 2(4−k)+k=8−k. Igualando a 5, k=3.
Coeficiente: C₄,₃·2³=4·8=32.
4. Termo independente
Encontre-o em (x²+1/x)⁶.
Expoente: 2(6−k)−k=12−3k. Para zero, k=4, válido.
T₅=C₆,₄=15.
5. Quando não existe
Há termo independente em (x²+1/x)⁵?
10−3k=0 implicaria k=10/3, que não é inteiro.
Conclusão: não há termo independente.
6. Termos centrais
Localize e calcule o termo central de (a+b)⁶.
n=6 é par: posição 6/2+1=4, logo k=3.
T₄=C₆,₃a³b³=20a³b³. Se n=5, seriam centrais T₃ e T₄.
7. Soma e soma alternada
Para P(x)=(x+3)⁵, calcule P(1) e P(−1).
P(1)=4⁵=1024, a soma dos coeficientes.
P(−1)=2⁵=32, a soma alternada.
Exercícios
1. Quantas parcelas há no desenvolvimento de (a+b)⁷ antes de simplificações?
2. O terceiro termo de (x+1)⁵ é:
3. O quarto termo de (2x−y)⁵ é:
4. O termo independente de x em (x²+1/x)⁶ é:
5. O termo central de (a+b)⁸ é:
6. Para P(x)=(x+3)⁵, o par (soma dos coeficientes, soma alternada) é:
7. Sobre o termo independente de x em (x²+1/x)⁵, é correto afirmar:
8. Os dois termos centrais de (a+b)⁵ são:
9. Em (x³+m/x)⁴, com m>0, o termo independente tem coeficiente 108. O valor de m é:
10. (x+2)ⁿ tem 7 parcelas antes de simplificar. O par formado por n e pelo coeficiente de xⁿ⁻² é:
Gabarito comentado:
1-B: n+1=7+1=8 parcelas.
2-A: r=3 implica k=2; C₅,₂x³=10x³.
3-D: k=3; C₅,₃(2x)²(−y)³=−40x²y³.
4-C: 12−3k=0 dá k=4; C₆,₄=15.
5-B: n=8 é par; T₅=C₈,₄a⁴b⁴=70a⁴b⁴.
6-A: P(1)=4⁵=1024 e P(−1)=2⁵=32.
7-D: 10−3k=0 daria k=10/3; como não é inteiro, o termo não existe.
8-C: as posições centrais são T₃ e T₄; C₅,₂=C₅,₃=10.
9-C: 12−4k=0 dá k=3; o coeficiente é C₄,₃m³=4m³=108, então m=3.
10-D: n+1=7 dá n=6. Para x⁴, k=2; C₆,₂·2²=15·4=60.
Resumo final
- O teorema vale como soma finita para n inteiro não negativo.
- Tk+1=Cₙ,ₖaⁿ⁻ᵏbᵏ; no r-ésimo termo, k=r−1.
- Em subtrações, mantenha o sinal dentro do termo elevado a k.
- Potências específicas exigem equação de expoentes e validação do índice.
- P(1) soma coeficientes; P(−1) produz a soma alternada.