O que é um sistema de equações?
É um conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente. Nesta aula, estudaremos sistemas lineares 2×2.
{ a₂x + b₂y = c₂
- 2×2 significa duas equações e duas incógnitas.
- Cada equação é linear e possui a forma ax + by = c.
- Em cada equação, os coeficientes de x e y não podem ser simultaneamente nulos.
- Resolver é encontrar os pares (x, y) que pertencem às duas equações ao mesmo tempo.
O conjunto solução pode conter um único par, nenhum par ou infinitos pares.
{ x + y = 5
{ x - y = 1
O par procurado deve tornar as duas igualdades verdadeiras simultaneamente.
Solução, par ordenado e verificação
A solução de um sistema 2×2 é escrita como um par ordenado (x, y). A ordem importa: o primeiro valor corresponde a x e o segundo, a y.
Considere x + y = 3 e x - y = 1.
Testando (2, 1): 2 + 1 = 3.
Na segunda equação: 2 - 1 = 1.
As duas igualdades são verdadeiras; logo S = {(2, 1)}.
Um par que satisfaz apenas uma das equações não é solução do sistema.
Classificação dos sistemas
SPD — possível e determinado
Possui uma única solução; graficamente, as retas se cruzam em um ponto.
SPI — possível e indeterminado
Possui infinitas soluções; as equações representam a mesma reta.
SI — impossível
Não possui solução; as retas são paralelas e distintas.
Quadro algébrico após eliminar uma incógnita
SPD: surge ax = b, com a ≠ 0. Por exemplo, 3x = 9 fornece x = 3.
SPI: surge 0 = 0, indicando que uma equação era equivalente à outra e há infinitas soluções.
SI: surge 0 = k, com k ≠ 0. Uma contradição como 0 = 3 indica ausência de solução.
0 = 0 não significa x = 0, e 0 = 3 não é uma equação que devemos continuar resolvendo. A classificação considera o conjunto solução do sistema inteiro.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem exatamente o mesmo conjunto solução. As seguintes operações preservam esse conjunto:
- Trocar a ordem das equações.
- Multiplicar uma equação inteira por um número não nulo.
- Substituir uma equação pela soma dela com um múltiplo da outra.
- Simplificar uma equação por um fator comum não nulo.
x + y = 5 e 2x - y = 1.
Multiplicando a primeira equação inteira por 2: 2x + 2y = 10.
O novo sistema é equivalente ao original porque usamos um multiplicador não nulo em todos os termos.
Não se pode multiplicar somente parte de uma equação. Multiplicar por zero apaga informação e não preserva a equivalência. Essas operações justificam o método da eliminação.
Método da substituição
Isole uma incógnita em uma das equações e substitua a expressão obtida na outra. O método é especialmente prático quando uma variável já está isolada ou tem coeficiente 1 ou -1.
x + y = 7 e y = 2x - 2.
Substitua y na primeira: x + (2x - 2) = 7.
3x = 9, então x = 3.
y = 2·3 - 2 = 4. S = {(3, 4)}.
Depois de encontrar a primeira incógnita, retorne a uma das equações para calcular a segunda.
Método da adição ou eliminação
Eliminamos uma incógnita somando ou subtraindo equações equivalentes. Coeficientes opostos permitem somar; coeficientes iguais permitem subtrair; nos demais casos, multiplicamos previamente.
2x + y = 7 e x - y = 2.
Os coeficientes de y são opostos. Somando: 3x = 9, então x = 3.
Na segunda equação, 3 - y = 2, logo y = 1.
S = {(3, 1)}.
Escolha dos multiplicadores pelo MMC
Em 2x + 3y = 12 e 3x - 2y = 5, queremos eliminar y. Como mmc(3, 2) = 6, multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3.
4x + 6y = 24
9x - 6y = 15
Somando: 13x = 39, então x = 3.
2·3 + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2. S = {(3, 2)}.
Subtração quando os coeficientes são iguais
3x + 2y = 11 e x + 2y = 7.
Subtraindo a segunda da primeira: 2x = 4, então x = 2.
2 + 2y = 7 → y = 5/2.
S = {(2, 5/2)}.
Método da comparação
Isole a mesma incógnita nas duas equações e compare as expressões. Se ambas são iguais a y, então são iguais entre si.
y = 2x + 1 e y = -x + 7.
Compare: 2x + 1 = -x + 7.
3x = 6, então x = 2.
y = 2·2 + 1 = 5. S = {(2, 5)}.
Esse método é direto quando a mesma variável já aparece isolada nas duas equações.
Interpretação gráfica
Cada equação linear representa uma reta. A solução do sistema corresponde aos pontos comuns às duas retas.
Retas concorrentes.
Retas paralelas distintas.
Retas coincidentes.
A interpretação gráfica ajuda a compreender a classificação, mas não é obrigatória em todo cálculo algébrico.
Como escolher o método?
- Substituição: quando uma variável está isolada ou tem coeficiente 1 ou -1.
- Adição: quando os coeficientes já são opostos ou possuem MMC simples.
- Comparação: quando a mesma variável está isolada nas duas equações.
- Gráfico: para compreender a classificação, sem ser obrigatório em todos os cálculos.
Antes de escolher, observe sinais, frações, decimais e proporcionalidade. Em sistemas proporcionais, comparar cedo os termos pode evitar cálculos desnecessários.
- Organize as equações.
- Procure coeficientes fáceis de isolar ou eliminar.
- Faça operações equivalentes em todos os termos.
- Encontre as duas incógnitas.
- Verifique o par nas equações originais.
- Classifique o sistema e interprete o resultado.
Modelagem de problemas
Defina claramente x e y antes de montar as equações. Depois, resolva, verifique e interprete o par na ordem correta.
Ingressos
x = adultos e y = crianças. x + y = 20 e 10x + 6y = 152.
Subtraindo 6 vezes a primeira da segunda: 4x = 32, x = 8 e y = 12.
Foram vendidos 8 ingressos de adultos e 12 de crianças.
Moedas
x = moedas de R$ 1 e y = moedas de R$ 0,50.
x + y = 18 e x + 0,5y = 13. Multiplicando a segunda por 2: 2x + y = 26.
Subtraindo a primeira: x = 8 e y = 10.
São 8 moedas de R$ 1 e 10 moedas de R$ 0,50.
Acertos e erros
x = acertos e y = erros. x + y = 20 e 3x - y = 44.
Somando: 4x = 64, então x = 16 e y = 4.
O aluno acertou 16 questões e errou 4.
Quantidades de objetos devem ser inteiras e não negativas; idades e comprimentos não podem ser negativos. Dinheiro só deve ser arredondado quando o enunciado permitir. Se x = -3 representar ingressos, a solução algébrica deve ser rejeitada no contexto.
Pegadinhas
- 2×2 significa duas equações e duas incógnitas.
- A solução deve satisfazer todas as equações e ser escrita na ordem (x, y).
- Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solução.
- Multiplicar por zero não preserva a equação.
- Ao multiplicar, transforme todos os termos da equação.
- Na eliminação, os multiplicadores dependem dos coeficientes: iguais pedem subtração e opostos permitem soma.
- 0 = 0 indica SPI; 0 = k, com k ≠ 0, indica SI.
- SPI não possui um único par, e SI não possui par solução.
- Depois de encontrar uma incógnita, calcule a outra.
- Em problemas, soluções negativas ou não inteiras podem ser inválidas.
- Defina o significado das incógnitas e interprete o par na ordem correta.
- Verifique sempre o par nas equações originais.
Questões resolvidas
1. Verificação de um par
O par (2, 1) resolve x + y = 3 e x - y = 1?
2 + 1 = 3 e 2 - 1 = 1.
As duas equações são verdadeiras. Logo (2, 1) é solução.
2. Substituição
Resolva x + y = 7 e y = 2x - 2.
x + 2x - 2 = 7 → 3x = 9 → x = 3.
y = 2·3 - 2 = 4. S = {(3, 4)}.
3. Adição direta
Resolva 2x + y = 7 e x - y = 2.
Somando: 3x = 9, então x = 3.
3 - y = 2, então y = 1. S = {(3, 1)}.
4. Preparando a eliminação
Resolva 2x + 3y = 12 e 3x - 2y = 5.
Multiplique a primeira por 2 e a segunda por 3: 4x + 6y = 24 e 9x - 6y = 15.
Somando: 13x = 39, x = 3 e y = 2. S = {(3, 2)}.
5. Comparação
Resolva y = 2x + 1 e y = -x + 7.
2x + 1 = -x + 7 → 3x = 6 → x = 2.
y = 5. S = {(2, 5)}.
6. Sistema determinado
Classifique x + y = 5 e x - y = 1.
Somando: 2x = 6, x = 3 e y = 2.
Há uma única solução: S = {(3, 2)}. O sistema é SPD.
7. Sistema impossível
Classifique x + y = 2 e 2x + 2y = 5.
Multiplicando a primeira por 2: 2x + 2y = 4.
Isso contradiz 2x + 2y = 5. S = ∅; sistema SI.
8. Sistema indeterminado
Classifique x - y = 1 e 2x - 2y = 2.
A segunda equação é o dobro da primeira.
Há infinitas soluções: S = {(t + 1, t) | t ∈ ℝ}. Sistema SPI.
9. Coeficientes fracionários
Resolva x/2 + y/2 = 5 e x - y = 2.
A primeira equivale a x + y = 10.
Somando com x - y = 2: 2x = 12, x = 6 e y = 4. S = {(6, 4)}.
10. Problema de idades
Duas idades somam 34 anos e diferem em 6 anos.
x + y = 34 e x - y = 6.
2x = 40, x = 20 e y = 14. As idades são 20 e 14 anos.
11. Problema de ingressos
Resolva o problema de 20 ingressos e arrecadação de R$ 152.
x + y = 20 e 10x + 6y = 152.
4x = 32, x = 8 e y = 12. São 8 adultos e 12 crianças.
12. Problema de perímetro
Um retângulo tem perímetro 34 e o comprimento supera a largura em 5.
c + l = 17 e c - l = 5.
2c = 22, c = 11 e l = 6. Verificação: 2·11 + 2·6 = 34.
13. Sistema com decimais
Resolva 0,5x + y = 4 e x - y = 2.
Da segunda, y = x - 2. Substituindo: 0,5x + x - 2 = 4.
1,5x = 6, x = 4 e y = 2. Verificação: 0,5·4 + 2 = 4 e 4 - 2 = 2.
S = {(4, 2)}; sistema SPD.
14. Problema de moedas
Há 18 moedas de R$ 1 e R$ 0,50, totalizando R$ 13.
x = moedas de R$ 1; y = moedas de R$ 0,50. x + y = 18 e x + 0,5y = 13.
Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo a primeira: x = 8; então y = 10.
(8, 10) verifica as equações. São 8 moedas de R$ 1 e 10 de R$ 0,50; SPD.
15. Problema de acertos e erros
Uma prova tem 20 respostas; acerto vale 3 e erro retira 1. A pontuação foi 44.
x = acertos; y = erros. x + y = 20 e 3x - y = 44.
Somando: 4x = 64, x = 16 e y = 4.
(16, 4) verifica 16 + 4 = 20 e 48 - 4 = 44. SPD; 16 acertos e 4 erros.
16. Classificação com parâmetro
Classifique x + y = 4 e 2x + 2y = k.
O dobro da primeira é 2x + 2y = 8.
Se k = 8, as equações são equivalentes: SPI. Se k ≠ 8, surge 0 = k - 8: SI.
Não existe valor de k que produza SPD.
17. Solução fracionária por subtração
Resolva 3x + 2y = 11 e x + 2y = 7.
Subtraindo a segunda da primeira: 2x = 4, x = 2.
2 + 2y = 7, então y = 5/2.
(2, 5/2) verifica as duas equações. S = {(2, 5/2)}; SPD.
18. Solução inválida no contexto
Um modelo de ingressos produz x + y = 5 e x - y = -11.
Somando: 2x = -6, x = -3 e y = 8. Algebricamente, o sistema é SPD.
O par (-3, 8) verifica as equações, mas -3 ingressos é impossível.
O modelo não possui solução válida no contexto de contagem.
Exercícios
1. Resolver um sistema significa:
2. A solução de um sistema com incógnitas x e y é normalmente escrita como:
3. Qual par resolve x + y = 5 e x - y = 1?
4. Um sistema com uma única solução é:
5. Um sistema sem solução é classificado como:
6. No método da substituição, fazemos primeiro:
7. Resolva x + y = 9 e x - y = 3.
8. Resolva y = 2x e x + y = 12.
9. Resolva 2x + y = 8 e x - y = 1.
10. Classifique x + y = 4 e 2x + 2y = 8.
11. Classifique x + y = 4 e 2x + 2y = 10.
12. Resolva y = 3x - 1 e y = x + 5.
13. Resolva 0,5x + y = 4 e x - y = 2.
14. Há 18 moedas de R$ 1 e R$ 0,50, totalizando R$ 13. Qual é a composição?
15. Em x + y = 4 e 2x + 2y = k, qual classificação está correta?
16. Em 2x + 3y = 12, alguém “multiplicou por 2” e escreveu 4x + 3y = 24. Qual foi o erro?
17. Resolva 3x + 2y = 11 e x + 2y = 7.
18. Uma prova tem 20 questões; acerto vale 3 pontos e erro retira 1. Com 44 pontos e todas respondidas, qual foi o resultado?
Gabarito comentado:
1-B: resolver é encontrar valores que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
2-A: a solução de um sistema 2×2 é escrita na ordem (x, y).
3-C: (3, 2) verifica 3 + 2 = 5 e 3 - 2 = 1.
4-B: SPD possui exatamente uma solução.
5-D: SI é o sistema sem par solução.
6-C: na substituição, isolamos uma incógnita e usamos a expressão na outra equação.
7-A: somando x + y = 9 e x - y = 3, obtemos 2x = 12, x = 6 e y = 3; S = {(6, 3)}.
8-B: y = 2x em x + y = 12 produz 3x = 12, x = 4 e y = 8; S = {(4, 8)}.
9-C: somando 2x + y = 8 e x - y = 1, obtemos 3x = 9, x = 3 e y = 2.
10-D: a segunda equação é o dobro da primeira; surge 0 = 0 e há infinitas soluções, portanto SPI.
11-B: dobrar a primeira daria 2x + 2y = 8, em contradição com 10; surge 0 = 2 e o sistema é SI.
12-A: comparando 3x - 1 = x + 5, temos x = 3 e y = 8; S = {(3, 8)}.
13-C: da segunda, y = x - 2. Substituindo, 1,5x = 6, x = 4 e y = 2. O par (4, 2) verifica ambas; SPD.
14-A: x + y = 18 e x + 0,5y = 13. Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo a primeira, x = 8 e y = 10. São 8 moedas de R$ 1 e 10 de R$ 0,50.
15-D: o dobro da primeira é 2x + 2y = 8. Se k = 8, surge 0 = 0 e o sistema é SPI; se k ≠ 8, há contradição e o sistema é SI.
16-B: ao multiplicar uma equação por 2, todos os termos mudam. O correto é 4x + 6y = 24; alterar apenas parte não produz sistema equivalente.
17-C: subtraindo as equações, 2x = 4 e x = 2. Depois, 2 + 2y = 7 e y = 5/2. S = {(2, 5/2)}; SPD.
18-A: x + y = 20 e 3x - y = 44. Somando, 4x = 64, x = 16 e y = 4. São 16 acertos e 4 erros, valores inteiros e não negativos.
Resumo final
- Um sistema 2×2 possui duas equações e duas incógnitas.
- A solução é um par ordenado (x, y) que satisfaz todas as equações.
- Sistemas equivalentes preservam o conjunto solução.
- Substituição, adição e comparação são métodos válidos.
- Na adição, todos os termos devem ser multiplicados ao criar equações equivalentes.
- 0 = 0 indica SPI; uma contradição indica SI.
- Graficamente, as retas podem ser concorrentes, coincidentes ou paralelas.
- Problemas exigem interpretação e restrições de contexto.
- O par deve ser verificado nas duas equações originais.