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Equações irracionais

Radicais, restrições e verificação

Aprenda a isolar radicais, eliminar raízes por potenciação e conferir cada resultado na equação original.

O que é uma equação irracional?

É uma equação em que a incógnita aparece dentro de pelo menos um radical. O nome se refere à forma da equação, não ao tipo de sua resposta.

√(x + 3) = 5

Uma equação irracional pode ter solução inteira, racional, irracional ou não possuir solução real. Resolver significa eliminar os radicais sem perder as restrições do problema.

Identificação

Irracional: √(2x - 1) = x - 2.

Não irracional: x² - 5x + 6 = 0, pois x não está dentro de radical.

Condições de existência nos reais

Em uma raiz de índice par, o radicando precisa ser não negativo.

√A existe nos reais quando A ≥ 0

Em √(2x - 6), exigimos 2x - 6 ≥ 0.

2x ≥ 6, então x ≥ 3.

O domínio real da expressão é [3, +∞).

Além disso, como √A ≥ 0, se √A = B, então B também precisa ser não negativo. Em √(x + 1) = x - 1, devemos ter x + 1 ≥ 0 e x - 1 ≥ 0; juntas, as condições dão x ≥ 1.

Potenciação, equivalência e raízes estranhas

No conjunto dos números reais, a igualdade com uma raiz quadrada principal possui duas condições inseparáveis:

√A = B ⇔ { A = B² e B ≥ 0 }
  • A ≥ 0 pertence ao domínio do radical.
  • B ≥ 0 decorre do fato de a raiz quadrada principal ser não negativa.
  • Elevar somente ao quadrado produz uma implicação e pode criar candidatas extras.
  • Analisar o sinal de B elimina algumas candidatas antes da verificação final.

√(x + 1) = x - 1

Sistema equivalente: x + 1 = (x - 1)² e x - 1 ≥ 0.

Logo x ≥ 1. A quadrática produz x = 0 ou x = 3.

x = 0 viola x ≥ 1; x = 3 verifica. S = {3}.

Impossibilidade imediata

Uma raiz de índice par é sempre não negativa. Em √(x + 4) = -2, o primeiro membro é ≥ 0 e o segundo é negativo. A igualdade é impossível: S = ∅. Não é necessário elevar ao quadrado.

Em √(2x - 1) = x - 5, exigimos 2x - 1 ≥ 0 e x - 5 ≥ 0. A condição mais restritiva é x ≥ 5.

O módulo escondido em √(A²)

√(A²) = |A|

A raiz quadrada principal não pode ser negativa. Se A ≥ 0, |A| = A; se A < 0, |A| = -A. Por exemplo, √((-3)²) = √9 = 3 = |-3| e √((x - 2)²) = |x - 2|.

√((x - 2)²) = x ⇔ |x - 2| = x.

Se x - 2 ≥ 0, teríamos x - 2 = x, isto é, -2 = 0: impossível.

Se x - 2 < 0, então 2 - x = x e x = 1.

Verificação: √((1 - 2)²) = √1 = 1. S = {1}.

Método geral

  1. Determine o domínio dos radicandos de índice par.
  2. Isole um radical.
  3. Analise o sinal que o outro membro deve possuir.
  4. Se esse sinal for incompatível com o valor principal do radical, conclua a impossibilidade.
  5. Eleve os dois membros à potência correspondente ao índice.
  6. Expanda corretamente os produtos notáveis.
  7. Resolva a equação transformada.
  8. Se ainda houver radical, isole-o e repita o processo.
  9. Trate todos os resultados como candidatos.
  10. Verifique domínio, sinal necessário e igualdade original.
  11. Escreva apenas as soluções válidas no conjunto solução.

Aviso: nunca use apenas a equação transformada para definir o conjunto solução.

Equações com um radical

Quando há um único radical, isole-o antes de elevar à potência.

√(2x - 1) = x - 2

Condições: 2x - 1 ≥ 0 e x - 2 ≥ 0; portanto x ≥ 2.

2x - 1 = (x - 2)² → x² - 6x + 5 = 0.

(x - 1)(x - 5) = 0; candidatas: 1 e 5.

x = 1 é proibido pelo domínio; x = 5 verifica. S = {5}.

Se o radical não estiver isolado, primeiro mova os demais termos para o outro membro.

Equações com dois radicais

Com dois radicais, pode ser necessário elevar ao quadrado duas vezes. Isole um deles, faça a primeira potenciação e reorganize.

√(x + 6) - √x = 2, com x ≥ 0.

√(x + 6) = √x + 2.

x + 6 = x + 4√x + 4 → 4√x = 2.

√x = 1/2 → x = 1/4.

Verificação: √(25/4) - √(1/4) = 5/2 - 1/2 = 2. S = {1/4}.

Quando os radicais já estão sozinhos, como em √(x + 2) = √(3x - 6), uma única potenciação elimina ambos.

Índices e potências pares ou ímpares

Índice par

O radicando deve ser não negativo e o radical principal também é não negativo. Em ⁴√(2x - 1) = 3, obtemos 2x - 1 = 81 e x = 41.

Índice ímpar

Raízes de índice ímpar aceitam radicandos negativos. Em ∛(x - 1) = 2, elevamos ao cubo: x - 1 = 8 e x = 9.

A = B ⇔ A2k+1 = B2k+1

Uma potência ímpar preserva equivalência, ordem e sinal nos reais. Já A² = B² permite A = B ou A = -B; por isso uma potência par pode criar novas candidatas.

-2 ≠ 2, mas (-2)² = 2².

Em contraste, (-2)³ ≠ 2³.

Mesmo com índices ímpares, verifique o resultado quando houver outros passos algébricos ou restrições do contexto.

Verificação na equação original

Nunca conclua usando apenas a equação obtida depois da potenciação. Substitua cada candidata na equação original, respeitando o valor principal do radical.

Para √(x + 1) = x - 1, surgem x = 0 e x = 3.

x = 0: √1 = -1 é falso; descarte.

x = 3: √4 = 2 é verdadeiro; aceite.

S = {3}.

Uma candidata pode ser descartada por não pertencer ao domínio ou por falhar diretamente na igualdade original.

Modelagem de problemas

Radicais aparecem em distâncias, diagonais e relações geométricas. Defina a incógnita, monte a equação, resolva e interprete o resultado no contexto.

A diagonal de um quadrado mede √(2x²), e seu lado positivo mede x.

Se a diagonal vale 6√2, então √(2x²) = 6√2.

Como x representa comprimento, x ≥ 0 e √(2x²) = x√2.

x√2 = 6√2 → x = 6.

As restrições do contexto podem eliminar resultados algébricos, como medidas negativas.

Pegadinhas

  • Em √A = B, além de A ≥ 0, deve valer B ≥ 0.
  • Se o segundo membro for negativo, uma igualdade com raiz par é imediatamente impossível.
  • Não eleve ao quadrado antes de isolar o radical.
  • (a + b)² = a² + 2ab + b², e não a² + b².
  • √(A²) = |A|; não retire o módulo sem analisar o sinal de A.
  • Potência ímpar preserva equivalência; potência par pode criar candidatas.
  • Uma candidata pode satisfazer a equação transformada e falhar na original.
  • Domínio do radicando e sinal do outro membro são verificações diferentes.
  • Não aceite automaticamente toda solução da equação quadrática obtida.
  • Em radicais aninhados, respeite as condições de todos os níveis.
  • Se houver dois radicais, talvez seja necessário repetir isolamento e potenciação.
  • Verifique sempre na equação original e interprete o contexto.

Questões resolvidas

1. Radical simples

Resolva √(x + 3) = 5.

Domínio: x + 3 ≥ 0. Elevando ao quadrado, x + 3 = 25.

x = 22. Verificação: √25 = 5. S = {22}.

2. Raiz estranha pelo domínio

Resolva √(2x - 1) = x - 2.

Exigimos x ≥ 2. Ao quadrado: 2x - 1 = (x - 2)².

x = 1 ou 5; descarte 1. Para 5, √9 = 3. S = {5}.

3. Raiz estranha na verificação

Resolva √(x + 1) = x - 1.

Condição: x ≥ 1. Ao quadrado: x + 1 = x² - 2x + 1.

x = 0 ou 3; somente 3 é admissível e verifica. S = {3}.

4. Diferença de radicais

Resolva √(x + 6) - √x = 2.

x ≥ 0. Isolando e elevando: x + 6 = x + 4√x + 4.

√x = 1/2, então x = 1/4. A verificação confirma. S = {1/4}.

5. Soma de radicais

Resolva √(x + 4) + √x = 4.

x ≥ 0. √(x + 4) = 4 - √x; ao quadrado, 8√x = 12.

√x = 3/2, x = 9/4. Verificação: 5/2 + 3/2 = 4. S = {9/4}.

6. Raiz cúbica

Resolva ∛(x - 1) = 2.

Elevando ao cubo, x - 1 = 8.

x = 9. Verificação: ∛8 = 2. S = {9}.

7. Raiz quarta

Resolva ⁴√(2x - 1) = 3.

O radicando deve ser não negativo. Elevando à quarta potência: 2x - 1 = 81.

x = 41. Verificação: ⁴√81 = 3. S = {41}.

8. Radical igual à incógnita

Resolva √(3x + 4) = x.

Como o radical é não negativo, x ≥ 0. Ao quadrado: 3x + 4 = x².

(x - 4)(x + 1) = 0; descarte -1. S = {4}.

9. Radical em ambos os membros

Resolva √(x + 2) = √(3x - 6).

Domínio comum: x ≥ 2. Ao quadrado: x + 2 = 3x - 6.

x = 4. Verificação: √6 = √6. S = {4}.

10. Radical com termo externo

Resolva 1 + √(2x - 3) = x.

Isolando: √(2x - 3) = x - 1. Ao quadrado: 2x - 3 = (x - 1)².

(x - 2)² = 0; x = 2 verifica. S = {2}.

11. Radical aninhado

Resolva √(√x) = 2.

x ≥ 0. Ao quadrado: √x = 4. Elevando novamente: x = 16.

Verificação: √4 = 2. S = {16}.

12. Segundo membro com restrição

Resolva √(x + 3) = 3 - x.

Condições: x ≥ -3 e x ≤ 3. Ao quadrado: x + 3 = (3 - x)².

x = 1 ou 6; descarte 6. Para x = 1, √4 = 2. S = {1}.

13. Impossibilidade imediata

Resolva √(x + 4) = -2 nos reais.

Domínio: x + 4 ≥ 0, mas √(x + 4) ≥ 0 para todo x admissível.

Como o segundo membro é -2, a igualdade é impossível. Não elevamos ao quadrado. S = ∅; nenhuma solução real.

14. Módulo escondido

Resolva √((x - 2)²) = x.

√((x - 2)²) = |x - 2|, então |x - 2| = x.

Se x ≥ 2, x - 2 = x é impossível. Se x < 2, 2 - x = x, então x = 1.

Verificação: √((1 - 2)²) = √1 = 1. S = {1}; uma solução real.

Exercícios

Fácil

1. Qual é uma equação irracional?

A) x² - 4 = 0B) √(x + 1) = 4C) 2x + 3 = 0D) x³ = 8
Fácil

2. A condição de existência de √(2x - 6) é:

A) x ≤ 3B) x > 3C) x ≥ 3D) x ≥ -3
Fácil

3. Resolva √x = 5.

A) S = {25}B) S = {-25, 25}C) S = {5}D) S = {-5, 5}
Fácil

4. Resolva ∛x = 3.

A) S = {3}B) S = {6}C) S = {9}D) S = {27}
Fácil

5. Por que devemos verificar as candidatas na equação original?

A) Porque todo radical é negativoB) Porque a equação original não possui domínioC) Porque a potenciação pode criar raízes estranhasD) Porque elevar ao quadrado sempre perde soluções
Fácil

6. Resolva √(x - 2) = 0.

A) S = {0}B) S = {2}C) S = {-2}D) S = ∅
Médio

7. Resolva √(x + 4) = x.

A) S = {(1 - √17)/2}B) S = {-4}C) S = {4}D) S = {(1 + √17)/2}
Médio

8. Resolva √(2x + 3) = 3.

A) S = {3}B) S = {6}C) S = {9}D) S = {12}
Médio

9. Resolva √(x + 1) = x - 1.

A) S = {0}B) S = {0, 3}C) S = {3}D) S = {-1, 3}
Médio

10. Resolva √(3x + 4) = x.

A) S = {-1, 4}B) S = {-4}C) S = {1}D) S = {4}
Médio

11. Resolva √(x + 2) = √(3x - 6).

A) S = {2}B) S = {4}C) S = {6}D) S = {8}
Médio

12. Resolva ⁴√(x + 1) = 2.

A) S = {3}B) S = {7}C) S = {15}D) S = {17}
Difícil

13. Resolva √(x + 4) = -2 nos reais.

A) S = {-8}B) S = {-4}C) S = {0}D) S = ∅
Difícil

14. Resolva √((x - 2)²) = x.

A) S = {1}B) S = {2}C) S = {1, 2}D) S = ∅
Difícil

15. Resolva √(x + 4) + √x = 4.

A) S = {3/2}B) S = {2}C) S = {4}D) S = {9/4}
Difícil

16. Resolva √(x + 3) = 3 - x.

A) S = {6}B) S = {1, 6}C) S = {1}D) S = {-3, 1}
Difícil

17. Resolva 1 + √(2x - 3) = x.

A) S = {1}B) S = {1, 2}C) S = {4}D) S = {2}
Difícil

18. Resolva √(√x) = 3.

A) S = {9}B) S = {81}C) S = {27}D) S = {729}

Gabarito comentado:

1-B: √(x + 1) = 4 contém x no radical. O domínio exige x ≥ -1; ao quadrado, x + 1 = 16, x = 15, que verifica. A questão pede apenas a identificação.

2-C: o domínio é 2x - 6 ≥ 0, logo x ≥ 3. Não há segundo membro nem potenciação a analisar nesta questão.

3-A: √x = 5 exige x ≥ 0 e segundo membro positivo. Ao quadrado, x = 25; √25 = 5. S = {25}.

4-D: a raiz cúbica admite qualquer radicando real. Elevando ao cubo, x = 27; ∛27 = 3. S = {27}.

5-C: a potenciação par pode criar candidatas extras; por isso domínio, sinal e igualdade original devem ser conferidos.

6-B: √(x - 2) = 0 exige x ≥ 2 e possui segundo membro permitido. Ao quadrado, x - 2 = 0; x = 2 verifica. S = {2}.

7-D: √(x + 4) = x exige x ≥ 0. Ao quadrado, x² - x - 4 = 0; as candidatas são (1 ± √17)/2. A negativa viola x ≥ 0; a positiva verifica. S = {(1 + √17)/2}.

8-A: √(2x + 3) = 3 exige x ≥ -3/2 e segundo membro não negativo. Ao quadrado, 2x + 3 = 9, x = 3, que verifica. S = {3}.

9-C: √(x + 1) = x - 1 exige x ≥ 1. Ao quadrado surgem x = 0 e x = 3; 0 viola o sinal do segundo membro e 3 verifica. S = {3}.

10-D: √(3x + 4) = x exige x ≥ 0. A equação x² - 3x - 4 = 0 dá -1 e 4; descarte -1 e verifique 4. S = {4}.

11-B: o domínio comum de √(x + 2) = √(3x - 6) é x ≥ 2. Ao quadrado, x + 2 = 3x - 6, então x = 4, que verifica. S = {4}.

12-C: ⁴√(x + 1) = 2 exige x ≥ -1. Elevando à quarta potência, x + 1 = 16, x = 15, que verifica. S = {15}.

13-D: √(x + 4) é sempre não negativa em seu domínio, enquanto o segundo membro é -2. A igualdade é imediatamente impossível; não se eleva ao quadrado. S = ∅.

14-A: √((x - 2)²) = |x - 2|. Se x ≥ 2, x - 2 = x é impossível; se x < 2, 2 - x = x dá x = 1. A verificação confirma. S = {1}.

15-D: √(x + 4) + √x = 4 exige x ≥ 0. Isolando e elevando, √x = 3/2 e x = 9/4. A soma original vale 4. S = {9/4}.

16-C: √(x + 3) = 3 - x exige -3 ≤ x ≤ 3. Ao quadrado surgem 1 e 6; 6 viola o sinal do segundo membro e 1 verifica. S = {1}.

17-D: 1 + √(2x - 3) = x exige x ≥ 3/2 e x - 1 ≥ 0. Isolando e elevando, (x - 2)² = 0; x = 2 verifica. S = {2}.

18-B: √(√x) = 3 exige x ≥ 0. Ao quadrado, √x = 9; novamente ao quadrado, x = 81. A equação original confirma. S = {81}.

Resumo final

  • Uma equação irracional possui a incógnita dentro de radical.
  • Em √A = B, devem valer A ≥ 0 e B ≥ 0.
  • Um segundo membro negativo pode tornar a equação imediatamente impossível.
  • Isole o radical antes de elevar os membros à potência.
  • √(A²) = |A|.
  • Potência par pode criar candidatas extras; potência ímpar preserva equivalência nos reais.
  • Domínio, sinal do outro membro e verificação original são etapas distintas.
  • Se houver mais de um radical, talvez seja necessário repetir o processo.
  • Resultados obtidos após potenciação são apenas candidatos.
  • O conjunto solução contém somente os valores que verificam a equação original.