O que é uma inequação?
É uma sentença matemática aberta que compara duas expressões por meio de uma desigualdade. Resolver significa encontrar todos os valores da incógnita que tornam a comparação verdadeira.
Diferentemente de uma equação, uma inequação geralmente possui um intervalo inteiro de soluções, e não apenas valores isolados.
Para 2x + 3 > 9:
2x > 6
x > 3
S = {x ∈ ℝ | x > 3} = (3, +∞).
Símbolos e leitura
x > 4: x é maior que 4.
x < 4: x é menor que 4.
x ≥ 4: x é maior ou igual a 4.
x ≤ 4: x é menor ou igual a 4.
x ≠ 4: x é diferente de 4.
Os símbolos > e < formam desigualdades estritas: o extremo não pertence à solução. Os símbolos ≥ e ≤ incluem a igualdade.
Teste de valores
Em x > 4, o valor 5 satisfaz a inequação, mas 4 não. Em x ≥ 4, ambos 4 e 5 satisfazem.
Intervalos e representação na reta real
Parênteses indicam extremo excluído; colchetes indicam extremo incluído. O infinito nunca é incluído e sempre aparece com parêntese.
x > 3: (3, +∞).
x ≥ 3: [3, +∞).
x < 2: (-∞, 2).
-1 < x ≤ 4: (-1, 4].
x ≠ 4: (-∞, 4) ∪ (4, +∞).
O círculo vazio exclui o extremo; o preenchido inclui. Em x ≠ 4, marcamos os dois lados da reta e mantemos 4 excluído.
Transformações equivalentes
Somar ou subtrair o mesmo valor nos dois membros preserva a desigualdade. Multiplicar ou dividir por número positivo também preserva; por número negativo, exige inverter o sentido.
x - 5 ≤ 2
Somando 5 aos dois membros: x ≤ 7.
S = (-∞, 7].
Alerta: expressão de sinal desconhecido
Em (x - 1)/(x + 2) > 0, não multiplique diretamente por x + 2. Se x + 2 > 0, o sentido seria preservado; se x + 2 < 0, seria invertido; em x = -2, a expressão nem existe.
Inequações racionais exigem estudo de sinais ou separação rigorosa de casos.
Inequações do 1º grau
Organize os termos com x em um membro e os números no outro, como em uma equação do 1º grau, observando a regra do sinal.
2x - 5 ≤ 9
2x ≤ 14
x ≤ 7
S = (-∞, 7].
2(x - 1) < 3x + 4
2x - 2 < 3x + 4
-6 < x, isto é, x > -6.
S = (-6, +∞).
Solução universal e solução vazia
Após simplificar, a incógnita pode desaparecer. A desigualdade numérica resultante decide o conjunto solução.
Verdadeira para todo real
2x + 1 < 2x + 5
Subtraindo 2x: 1 < 5.
A afirmação é sempre verdadeira; qualquer real serve. S = ℝ.
Inequação impossível
3x + 7 > 3x + 10
Subtraindo 3x: 7 > 10.
A afirmação é falsa; nenhum real serve. S = ∅.
Quando x desaparece, não conclua x = 0: uma verdade numérica indica S = ℝ, e uma falsidade indica S = ∅.
Quando e por que o sinal se inverte?
Ao multiplicar ou dividir ambos os membros por um número negativo, devemos inverter o sentido da desigualdade.
-3x + 6 > 0
-3x > -6
Dividindo por -3, invertemos > para <.
x < 2. S = (-∞, 2).
Na reta real, multiplicar por -1 reflete os números em torno de zero. Por exemplo, 2 < 5, mas -2 > -5.
Inequações com frações e decimais
Frações com denominadores numéricos
(2x - 1)/3 ≥ (x + 2)/2
O MMC é 6. Como 6 é positivo, multiplicamos todos os termos sem inverter o sinal.
2(2x - 1) ≥ 3(x + 2) → 4x - 2 ≥ 3x + 6.
x ≥ 8. S = [8, +∞).
Decimais
0,4x - 1,2 < 2
Multiplicando todos os termos por 10, número positivo: 4x - 12 < 20.
4x < 32, então x < 8. S = (-∞, 8).
Inequações compostas e sistemas
Em uma desigualdade dupla, aplique a mesma operação aos três membros.
-1 < 2x + 3 ≤ 9
Subtraindo 3: -4 < 2x ≤ 6.
Dividindo por 2: -2 < x ≤ 3. S = (-2, 3].
Divisão por número negativo
-6 < -2x ≤ 4
Dividindo os três membros por -2, invertemos os dois sinais: 3 > x ≥ -2.
Organizando em ordem crescente: -2 ≤ x < 3.
S = [-2, 3).
Em sistemas, “e” significa interseção; “ou” significa união.
x > 1 e x ≤ 4: (1, 4].
x < -2 ou x ≥ 3: (-∞, -2) ∪ [3, +∞).
Inequações quadráticas
Encontre as raízes da expressão, analise o sinal da parábola ou dos fatores e escolha os intervalos pedidos.
Duas raízes reais
x² - 5x + 6 ≤ 0
(x - 2)(x - 3) ≤ 0.
O coeficiente principal é positivo; a expressão é não positiva entre as raízes. S = [2, 3].
Raiz dupla
(x - 2)² > 0
O quadrado é positivo para todo real, exceto onde zera.
S = (-∞, 2) ∪ (2, +∞).
Sem raízes reais
x² + 1 > 0
Como x² ≥ 0, temos x² + 1 > 0 para todo real.
S = ℝ.
Estudo de sinais de produtos e quocientes
Os pontos críticos dividem a reta em intervalos. Basta testar um valor de cada intervalo, pois o sinal permanece constante até atravessarmos outro ponto crítico.
(x - 2)(x + 1) > 0
Raízes: -1 e 2. O produto é positivo fora do intervalo entre elas.
S = (-∞, -1) ∪ (2, +∞).
| Intervalo | x - 2 | x + 1 | Produto |
|---|---|---|---|
| x < -1 | − | − | + |
| -1 < x < 2 | − | + | − |
| x > 2 | + | + | + |
Zeros são incluídos apenas quando a desigualdade permite igualdade. Zeros de denominadores nunca são incluídos.
Multiplicação cruzada não é automática
(x + 1)/(x - 2) > 3
Não multiplique diretamente por x - 2, cujo sinal é desconhecido. Leve tudo para um membro:
[(x + 1) - 3(x - 2)]/(x - 2) > 0 → (7 - 2x)/(x - 2) > 0.
Pontos críticos: 2 e 7/2. Os sinais são −, +, − nos três intervalos.
x = 2 é proibido e 7/2 é excluído por ser desigualdade estrita. S = (2, 7/2).
Multiplicidade das raízes
Ao atravessar uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal muda. Em (x - 1)(x + 2), ambas as raízes são simples.
Em (x - 2)²(x + 1) ≥ 0, x = -1 tem multiplicidade ímpar e muda o sinal; x = 2 tem multiplicidade par e não muda. A expressão é negativa em (-∞, -1), positiva em (-1, 2), zera em 2 e continua positiva depois. Como a igualdade é permitida, S = [-1, +∞).
Restrição preservada após cancelamento
(x² - 1)/(x - 1) > 0, com domínio x ≠ 1.
[(x - 1)(x + 1)]/(x - 1) > 0.
Para x ≠ 1, simplificamos para x + 1 > 0, então x > -1.
Preservando x ≠ 1: S = (-1, 1) ∪ (1, +∞).
Cancelar um fator não devolve o valor proibido ao domínio.
Método geral
- Determine o domínio.
- Organize todos os termos em um membro quando necessário.
- Simplifique parênteses, frações e decimais.
- Não multiplique por expressão de sinal desconhecido.
- Em inequações lineares, isole a incógnita.
- Ao multiplicar ou dividir por negativo, inverta o sinal.
- Em produtos e quocientes, encontre os pontos críticos.
- Registre zeros proibidos do denominador.
- Analise o sinal em cada intervalo.
- Inclua zeros apenas quando a desigualdade permitir igualdade.
- Preserve restrições após cancelamentos.
- Faça interseção para “e” e união para “ou”.
- Escreva a resposta em conjunto e intervalo.
- Teste valores na inequação original.
- Interprete o contexto e ajuste para inteiros quando necessário.
Modelagem de problemas
Expressões como “no máximo”, “pelo menos”, “menor que” e “superior a” indicam desigualdades.
no máximo 20: x ≤ 20.
pelo menos 20: x ≥ 20.
mais de 20: x > 20.
menos de 20: x < 20.
Uma corrida custa R$ 7 mais R$ 3 por quilômetro. O orçamento é de, no máximo, R$ 25.
Se x é a distância, 7 + 3x ≤ 25, com x ≥ 0.
3x ≤ 18, então x ≤ 6.
A distância pode variar de 0 a 6 km: S = [0, 6].
Quando a incógnita representa objetos inteiros, a resposta deve ser ajustada ao conjunto dos números inteiros.
Pegadinhas
- A incógnita pode desaparecer e produzir S = ℝ ou S = ∅; isso não significa x = 0.
- Nunca multiplique por expressão de sinal desconhecido sem analisar os casos.
- Não faça multiplicação cruzada sem conhecer o sinal do denominador.
- Cancelar fator não remove a restrição original.
- Raiz de multiplicidade par não muda o sinal; raiz ímpar muda.
- Em desigualdade tripla, a operação atinge os três membros.
- Ao dividir por negativo, inverta todos os símbolos.
- MMC positivo e potências positivas de 10 não invertem o sinal.
- O infinito nunca recebe colchete.
- Zeros do denominador nunca entram na solução.
- Desigualdade estrita exclui os zeros da expressão.
- x ≠ a gera união de dois intervalos.
- “E” indica interseção; “ou” indica união.
- Teste um valor de cada intervalo e confira a inequação original.
Questões resolvidas
1. Adição nos dois membros
Resolva x + 3 > 7.
Subtraindo 3: x > 4.
S = (4, +∞). O extremo 4 não é incluído.
2. Divisão por positivo
Resolva 2x - 5 ≤ 9.
2x ≤ 14; dividindo por 2, x ≤ 7.
S = (-∞, 7].
3. Divisão por negativo
Resolva -3x + 6 > 0.
-3x > -6. Dividindo por -3, inverta o sinal.
x < 2. S = (-∞, 2).
4. Incógnita com coeficiente negativo
Resolva 5 - 2x ≥ 11.
-2x ≥ 6. Dividindo por -2, x ≤ -3.
S = (-∞, -3].
5. Parênteses
Resolva 2(x - 1) < 3x + 4.
2x - 2 < 3x + 4 → -6 < x.
x > -6. S = (-6, +∞).
6. Desigualdade dupla
Resolva -1 < 2x + 3 ≤ 9.
-4 < 2x ≤ 6.
-2 < x ≤ 3. S = (-2, 3].
7. Interseção
Resolva x > 1 e x ≤ 4.
Os valores devem satisfazer as duas condições.
S = (1, 4].
8. União
Resolva x < -2 ou x ≥ 3.
Basta satisfazer uma das condições.
S = (-∞, -2) ∪ [3, +∞).
9. Produto positivo
Resolva (x - 2)(x + 1) > 0.
Zeros: -1 e 2. O produto é positivo fora do intervalo entre eles.
S = (-∞, -1) ∪ (2, +∞).
10. Quociente não positivo
Resolva (x - 3)/(x + 2) ≤ 0.
-2 é excluído pelo denominador; 3 é incluído porque zera o numerador.
S = (-2, 3].
11. Problema de orçamento
Resolva 7 + 3x ≤ 25, com x ≥ 0.
3x ≤ 18, então x ≤ 6.
Com a restrição x ≥ 0: S = [0, 6].
12. Quantidade inteira
Uma compra custa R$ 12 fixos mais R$ 5 por item e deve ficar abaixo de R$ 47. Qual o máximo de itens?
12 + 5x < 47 → 5x < 35 → x < 7.
Como x é inteiro não negativo, o máximo é 6 itens.
13. Solução universal
Resolva 2x + 1 < 2x + 5.
Subtraindo 2x: 1 < 5, sempre verdadeira.
S = ℝ. Teste: para x = 0, 1 < 5; para qualquer outro real, os termos 2x se cancelam.
14. Solução vazia
Resolva 3x + 7 > 3x + 10.
Subtraindo 3x: 7 > 10, afirmação falsa.
S = ∅; nenhum valor real verifica a inequação.
15. Frações
Resolva (2x - 1)/3 ≥ (x + 2)/2.
Multiplicando todos os termos pelo MMC positivo 6: 2(2x - 1) ≥ 3(x + 2).
4x - 2 ≥ 3x + 6, então x ≥ 8. S = [8, +∞). O extremo 8 verifica a igualdade.
16. Decimais
Resolva 0,4x - 1,2 < 2.
Multiplicando por 10 positivo: 4x - 12 < 20.
x < 8. S = (-∞, 8). O valor 8 é excluído.
17. Desigualdade tripla
Resolva -6 < -2x ≤ 4.
Dividindo os três membros por -2 e invertendo ambos os sinais: 3 > x ≥ -2.
Em ordem crescente: -2 ≤ x < 3. S = [-2, 3).
18. Inequação racional
Resolva (x + 1)/(x - 2) > 3.
Domínio: x ≠ 2. Reunindo os termos: (7 - 2x)/(x - 2) > 0.
Pontos críticos: 2 e 7/2; sinais −, +, −. S = (2, 7/2).
19. Restrição preservada
Resolva (x² - 1)/(x - 1) > 0.
Domínio: x ≠ 1. Para x ≠ 1, simplifique para x + 1 > 0.
x > -1, preservando x ≠ 1: S = (-1, 1) ∪ (1, +∞).
20. Inequação quadrática
Resolva x² - 5x + 6 ≤ 0.
(x - 2)(x - 3) ≤ 0; pontos críticos 2 e 3.
A expressão é não positiva entre as raízes e a igualdade inclui ambas. S = [2, 3].
Exercícios
1. O símbolo “maior ou igual” é:
2. O intervalo que representa x > 3 é:
3. O intervalo que representa x ≤ 2 é:
4. Resolva x + 5 > 9.
5. Quando devemos inverter o sentido da desigualdade?
6. Em x ≥ -1, o valor -1:
7. Resolva 3x - 6 ≤ 9.
8. Resolva -2x + 4 > 10.
9. Resolva 5 - 3x ≤ -1.
10. Resolva 2(x + 1) < x + 5.
11. Resolva -2 ≤ x + 1 < 4.
12. Resolva x > 0 e x ≤ 5.
13. Resolva 2x + 1 < 2x + 5.
14. Resolva 3x + 7 > 3x + 10.
15. Resolva (2x - 1)/3 ≥ (x + 2)/2.
16. Resolva -6 < -2x ≤ 4.
17. Resolva (x² - 1)/(x - 1) > 0.
18. Resolva (x + 1)/(x - 2) > 3.
Gabarito comentado:
1-B: ≥ significa maior ou igual.
2-C: x > 3 exclui 3 e segue para a direita: (3, +∞).
3-A: x ≤ 2 inclui 2 e todos os menores: (-∞, 2].
4-D: subtraindo 5 dos dois membros, x > 4; o extremo é excluído.
5-C: multiplicar ou dividir por número negativo inverte o sentido.
6-B: ≥ inclui o extremo -1.
7-A: 3x ≤ 15 e x ≤ 5; S = (-∞, 5].
8-B: -2x > 6; dividindo por -2, inverta: x < -3; S = (-∞, -3).
9-C: -3x ≤ -6; dividindo por -3, x ≥ 2; S = [2, +∞).
10-D: 2x + 2 < x + 5, então x < 3; S = (-∞, 3).
11-A: subtraindo 1 dos três membros, -3 ≤ x < 3; S = [-3, 3).
12-B: a interseção de x > 0 e x ≤ 5 é (0, 5].
13-B: subtraindo 2x, surge 1 < 5, sempre verdadeira. S = ℝ.
14-D: subtraindo 3x, surge 7 > 10, sempre falsa. S = ∅.
15-A: multiplicando todos os termos pelo MMC positivo 6, 4x - 2 ≥ 3x + 6 e x ≥ 8. S = [8, +∞).
16-C: dividindo os três membros por -2, invertemos os dois sinais: 3 > x ≥ -2. S = [-2, 3).
17-B: domínio x ≠ 1. A simplificação dá x + 1 > 0, isto é, x > -1, mas 1 permanece proibido. S = (-1, 1) ∪ (1, +∞).
18-D: domínio x ≠ 2. Reunindo os termos, (7 - 2x)/(x - 2) > 0; pontos críticos 2 e 7/2 e sinal positivo apenas entre eles. S = (2, 7/2).
Resumo final
- Inequações podem ter intervalos, solução universal ou solução vazia.
- Somar ou subtrair o mesmo valor preserva o sentido.
- Multiplicar ou dividir por negativo inverte a desigualdade.
- Não multiplique por expressão de sinal desconhecido.
- Inequações compostas exigem operações nos três membros.
- “E” representa interseção e “ou” representa união.
- Produtos e quocientes exigem estudo de sinais.
- Raiz de multiplicidade par mantém o sinal.
- Valores proibidos do domínio permanecem excluídos após simplificações.
- Inequações quadráticas dependem do sinal entre as raízes.
- O infinito nunca é incluído.
- Teste a resposta na inequação original.