Razão e proporção
Razão compara duas grandezas por divisão. Ela responde perguntas do tipo "quanto de uma grandeza existe para cada unidade da outra?". Proporção é uma igualdade entre razões, usada quando a comparação permanece equivalente.
- Razão a/b significa "a para b"
- Taxa razão entre grandezas diferentes, geralmente lida como "por"
- Proporção a/b = c/d
- Produto cruzado se a/b = c/d, então ad = bc
Uma taxa é uma razão com unidades diferentes. Por exemplo, R$ 12/kg quer dizer 12 reais para cada quilograma; 30 peças/caixa quer dizer 30 peças em cada caixa. A palavra “por” costuma denunciar uma taxa: reais por quilo, páginas por dia, litros por embalagem.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Antes de fazer conta, identifique o tipo de relação. Em grandezas diretamente proporcionais, quando uma dobra, a outra também dobra. Em grandezas inversamente proporcionais, quando uma dobra, a outra cai pela metade.
| Relação | Como reconhecer | Exemplo |
|---|---|---|
| Direta | mais de uma grandeza gera mais da outra | mais produtos, maior preço total |
| Inversa | mais de uma grandeza gera menos da outra | mais trabalhadores, menor tempo |
| Sem proporção | não há multiplicação constante | idade e altura de uma pessoa ao longo da vida |
Uma pergunta simples ajuda: se essa grandeza aumentar, a outra aumenta, diminui ou não segue uma regra fixa? Só depois disso vale montar a proporção.
Regra de três
Regra de três é uma forma organizada de resolver problemas proporcionais. Ela pode ser simples, quando aparecem duas grandezas, ou composta, quando três ou mais grandezas influenciam o resultado.
- 1 coloque cada grandeza com sua unidade
- 2 identifique onde está a incógnita
- 3 compare cada grandeza com a incógnita
- 4 preserve as relações diretas e inverta as inversas
A regra de três não deve ser uma montagem automática. Ela é uma organização da ideia de proporcionalidade. Quando a relação é direta, as grandezas caminham no mesmo sentido. Quando é inversa, caminham em sentidos opostos.
Escalas, taxas e misturas
Escalas, taxas e misturas são aplicações diretas de razão e proporção. Em escalas, a razão compara desenho e realidade. Em taxas, a comparação aparece como “uma quantidade para cada unidade de outra”. Em misturas, comparamos partes de uma composição.
| Tipo | Leitura | Exemplo |
|---|---|---|
| Escala | 1:25000 significa 1 unidade no mapa para 25000 unidades reais | 1 cm no mapa representa 25000 cm reais |
| Preço unitário | valor para cada unidade comprada | R$ 18 por 3 unidades significa R$ 6 por unidade |
| Rendimento | quantidade produzida para cada unidade de tempo ou material | 120 páginas em 4 dias significa 30 páginas por dia |
| Consumo | quantidade usada para cada porção, pessoa ou embalagem | 2 litros para 5 pessoas significa 0,4 litro por pessoa |
| Mistura | parte em relação ao todo ou parte em relação a outra parte | 2 partes de concentrado em 5 partes totais |
Porcentagem
Porcentagem significa "por cem". O erro mais comum é tratar porcentagem como se fosse apenas uma subtração ou soma solta. Em problemas de prova, a linguagem mais segura é a dos fatores multiplicativos.
- Aumento de p% multiplique por 1 + p/100
- Desconto de p% multiplique por 1 - p/100
- Percentual de V (p/100) · V
- p% de q% transforme os dois em fração ou decimal e multiplique
Variação percentual
Variação percentual mede quanto uma quantidade mudou em relação ao valor inicial. A base da comparação é sempre o valor antigo, não o valor novo.
variação percentual = ((valor novo - valor antigo) / valor antigo) · 100%
Aumentar 20% e depois descontar 20% não volta ao valor inicial. Os fatores são 1,20 e 0,80, cujo produto é 0,96.
Sistema métrico
Conversão de unidades parece mecânica, mas pede atenção porque comprimento, área e volume não mudam na mesma taxa. Cada tipo de grandeza traz seu próprio fator.
| Grandeza | Unidade base | Fator por casa |
|---|---|---|
| Comprimento | metro (m) | 10 |
| Área | metro quadrado (m²) | 100 |
| Volume | metro cúbico (m³) | 1000 |
| Capacidade | litro (L) | 1 L = 1 dm³ |
| Capacidade em embalagens | mL e L | 1000 mL = 1 L |
Erros comuns em prova
- Regra de três decida antes se a relação é direta ou inversa.
- Porcentagem em mudanças sucessivas, use fatores multiplicativos.
- Unidades área e volume não convertem como comprimento.
- Mistura diferencie razão parte/parte de razão parte/todo.
- Variação compare sempre com o valor inicial quando a pergunta pede percentual de aumento ou queda.