Ideia da trilha: divisibilidade é a linguagem do “cabe certinho”. Se a divisão não deixa resto, temos uma relação de divisor e múltiplo. Essa ideia aparece depois em simplificação de frações, MMC, MDC e problemas de organização.
Múltiplos e divisores
Um múltiplo aparece quando multiplicamos um número por inteiro. Um divisor é um número que divide outro sem deixar resto. Essa diferença é simples, mas organiza muitos problemas.
Como diferenciar: múltiplos costumam formar uma lista que cresce sem parar. Divisores são os números que cabem exatamente dentro de um número fixo, então formam uma lista finita.
| Ideia | Exemplo | Leitura |
|---|---|---|
| múltiplos de 6 | 0, 6, 12, 18, 24... | resultados de 6 vezes um inteiro |
| divisores de 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | números que dividem 18 exatamente |
Exemplo
O número 7 é divisor de 56?
1
Faça a divisão: 56 ÷ 7 = 8.
2
Como a divisão é exata, 7 é divisor de 56.
Sim, 7 divide 56.
Leituras equivalentes
- Divisor d divide n quando a divisão é exata.
- Múltiplo se d divide n, então n é múltiplo de d.
- Resto zero divisor verdadeiro deixa resto 0.
Mesma informação, três leituras
Como interpretar 42 = 6 · 7?
1
42 é múltiplo de 6.
2
42 é múltiplo de 7.
3
6 e 7 são divisores de 42.
Uma multiplicação pode revelar múltiplos e divisores ao mesmo tempo.
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade são atalhos para saber se uma divisão será exata sem fazer a conta inteira.
Quando usar: os critérios ajudam a decidir rapidamente se vale dividir, fatorar ou simplificar. Eles não substituem a compreensão: cada critério indica uma forma rápida de testar resto zero.
Critérios rápidos
- 2 último algarismo par
- 3 soma dos algarismos divisível por 3
- 4 dois últimos algarismos divisíveis por 4
- 5 termina em 0 ou 5
- 6 divisível por 2 e por 3
- 8 três últimos algarismos divisíveis por 8
- 9 soma dos algarismos divisível por 9
- 11 diferença entre somas alternadas divisível por 11
Exemplo
Verifique se 41811 é divisível por 11.
1
Some alternadamente: (4+8+1)-(1+1)=11.
Como 11 é múltiplo de 11, o número também é divisível por 11.
Exemplo combinado
O número 732 é divisível por 6?
1
Para ser divisível por 6, precisa ser divisível por 2 e por 3.
2
Termina em 2, então é divisível por 2. Soma dos algarismos: 7+3+2=12, divisível por 3.
Logo, 732 é divisível por 6.
Primos e fatoração básica
Número primo é maior que 1 e tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Fatorar é escrever um número como produto de primos.
Cuidado importante: 1 não é número primo. Ele tem apenas um divisor positivo, que é ele mesmo. O primeiro número primo é 2, e ele é o único primo par.
Ideia central
todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em fatores primos
Exemplo
Fatore 60.
1
60 = 2.30.
2
30 = 2.15 e 15 = 3.5.
60 = 2².3.5
A fatoração mostra quais “peças primas” formam o número. Essa decomposição é o caminho mais organizado para calcular MMC e MDC quando os números ficam maiores.
Como testar se um número é primo
Para testar se n é primo, basta verificar divisores primos até √n. Se nenhum dividir, o número é primo.
Exemplo resolvido
O número 97 é primo?
1
Como √97 está entre 9 e 10, testamos os primos 2, 3, 5 e 7.
2
97 não é par, não tem soma dos algarismos múltipla de 3, não termina em 0 ou 5 e 7.13=91, 7.14=98.
Portanto, 97 é primo.
MMC e MDC básicos
MMC é o menor múltiplo comum. MDC é o maior divisor comum. Eles aparecem em frações, repartições, encontros de ciclos e simplificações.
MMC: pense em encontro, repetição e denominador comum.
MDC: pense em repartir, simplificar e maior tamanho possível sem sobra.
| Conceito | Significado | Uso comum |
|---|---|---|
| MMC | menor múltiplo comum | somar frações e sincronizar repetições |
| MDC | maior divisor comum | simplificar frações e repartir exatamente |
Leitura prática: MMC procura um encontro futuro entre múltiplos; MDC procura a maior medida que cabe exatamente nos números.
Exemplo
Calcule o MMC e o MDC de 12 e 18.
1
12 = 2².3 e 18 = 2.3².
2
MMC usa os maiores expoentes: 2².3² = 36.
3
MDC usa os menores expoentes comuns: 2.3 = 6.
MMC = 36 e MDC = 6
Por que maiores e menores expoentes? No MMC precisamos de um número que contenha todos os fatores necessários para ser múltiplo dos dois números, por isso pegamos os maiores expoentes. No MDC queremos apenas o que é comum aos dois, por isso pegamos os menores expoentes comuns.
Aplicações de MMC e MDC
O MMC aparece quando queremos sincronizar repetições. O MDC aparece quando queremos repartir em partes iguais do maior tamanho possível.
Como decidir entre MMC e MDC: se a pergunta fala em “quando acontece junto de novo”, geralmente é MMC. Se fala em “maior tamanho possível”, “sem sobras” ou “dividir igualmente”, geralmente é MDC.
Exemplo com MMC
Um alarme toca a cada 12 minutos e outro a cada 18 minutos. Se tocaram juntos agora, quando tocarão juntos novamente?
1
O reencontro ocorre em um múltiplo comum de 12 e 18.
2
O menor múltiplo comum é 36.
Eles tocarão juntos novamente em 36 minutos.
Exemplo com MDC
Duas fitas medem 84 cm e 112 cm. Qual é o maior tamanho de pedaços iguais, sem sobras?
1
Precisamos da maior medida que divide 84 e 112.
2
O MDC de 84 e 112 é 28.
O maior pedaço possível mede 28 cm.
Exercícios rápidos
Cheque rápido
Qual critério garante que um número é divisível por 9?
Cheque rápido
Qual destes números é divisível por 3?
Cheque rápido
A fatoração de 84 em primos é:
Cheque rápido
Qual é o MDC de 36 e 60?