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Trilha 3

Equações especiais

Esta trilha agrupa os tipos de equação que pedem um cuidado extra de interpretação: módulo, radicais e biquadradas.

Equações e inequações modulares

Módulo representa distância. Muitas questões ficam mais claras quando traduzidas para a reta real, em vez de tratadas como mais uma fórmula para decorar.

Quando |x-c| aparece, estamos medindo a distância entre x e c na reta real. Por isso, |x-c| < a representa os pontos que estão a menos de a unidades de c.

Casos principais
  • Equação |x| = a ⇔ x = ±a, se a ≥ 0
  • Menor que |x-c| < a ⇔ c-a < x < c+a
  • Maior que |x-c| > a ⇔ x < c-a ou x > c+a
!
Condição importante: |A| nunca pode ser igual a número negativo.
Exemplo resolvido
Resolva |2x-1| = 7.
1
Separe em dois casos: 2x-1=7 ou 2x-1=-7.
2
No primeiro, 2x=8, então x=4. No segundo, 2x=-6, então x=-3.
Soluções: -3 e 4.

Equações irracionais

Equação irracional tem incógnita dentro de radical. Ao elevar ao quadrado, podem surgir raízes estranhas, por isso a verificação final não é opcional.

Roteiro
  • 1 imponha as condições de existência
  • 2 isole o radical principal
  • 3 eleve ao quadrado
  • 4 resolva a equação obtida
  • 5 teste as soluções na equação original
Exemplo resolvido
Resolva √(x+5) = x-1.
1
Condições: x+5 ≥ 0 e x-1 ≥ 0. Logo, x ≥ 1.
2
Eleve ao quadrado: x+5=(x-1)2.
3
Obtenha x2-3x-4=0, então x=4 ou x=-1.
Pela condição e pela verificação, a solução é x=4.

Equações biquadradas

Equações biquadradas têm a forma ax4 + bx2 + c = 0. O truque é transformar o problema em uma quadrática auxiliar usando y=x2.

!
Atenção: como y = x2, só valores de y ≥ 0 geram soluções reais para x.
Exemplo resolvido
Resolva x4 - 5x2 + 4 = 0.
1
Faça y = x2.
2
Resolva y2 - 5y + 4 = 0, obtendo y=1 ou y=4.
3
Volte para x: x = ±1 ou x = ±2.
Soluções: -2, -1, 1, 2.

Equações fracionárias

Equações fracionárias têm incógnita no denominador. O primeiro passo é excluir os valores que zeram denominadores. Depois, podemos multiplicar pelo MMC dos denominadores.

Mesmo que um valor apareça depois da conta, ele deve ser descartado se zerar algum denominador da equação original.

Exemplo resolvido
Resolva 1/(x-2) + 1 = 3.
1
Condição: x ≠ 2.
2
Passe 1 para o outro lado: 1/(x-2)=2.
3
Multiplique por x-2: 1=2x-4.
x=5/2, que respeita a condição.

Erros comuns

Atenção
  • Módulo não existe solução real para |A|=-k, com k>0.
  • Radical ao elevar ao quadrado, sempre teste no enunciado original.
  • Biquadrada depois de achar y, lembre que y=x² e precisa ser não negativo.
  • Denominador valores proibidos não podem aparecer na solução final.

Exercício rápido

Cheque rápido
Qual substituição costuma simplificar uma equação biquadrada?
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