Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras só vale em triângulos retângulos. Se os lados menores são os catetos e o maior lado é a hipotenusa, então o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
Relação principal
- Fórmula a2 + b2 = c2
- Hipotenusa c = √(a2 + b2)
- Cateto a = √(c2 - b2)
Método: identifique primeiro a hipotenusa. Ela fica em frente ao ângulo reto e sempre é o maior lado do triângulo retângulo.
Exemplo resolvido
Um triângulo retângulo tem catetos 9 cm e 12 cm. Qual é a hipotenusa?
1
Monte a relação: 92 + 122 = c2.
2
Calcule: 81 + 144 = 225.
3
Extraia a raiz: c = √225 = 15.
Hipotenusa = 15 cm
Exemplo resolvido
A hipotenusa mede 13 cm e um cateto mede 5 cm. Qual é o outro cateto?
1
Agora a hipotenusa já é conhecida: 52 + x2 = 132.
2
25 + x2 = 169, então x2 = 144.
x = 12 cm
Ternas pitagóricas
Alguns triângulos retângulos aparecem tanto que vale reconhecer de cabeça. Eles economizam tempo em prova, especialmente quando os lados aparecem multiplicados pela mesma escala.
| Terna básica | Escalas comuns | Verificação |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6, 8, 10 | 9, 12, 15 | 32+42=52 |
| 5, 12, 13 | 10, 24, 26 | 25+144=169 |
| 8, 15, 17 | 16, 30, 34 | 64+225=289 |
| 7, 24, 25 | 14, 48, 50 | 49+576=625 |
Atenção: reconhecer a terna não substitui entender o teorema. Em problemas com diagonal, altura ou raio, primeiro desenhe o triângulo retângulo escondido.
Aplicações com diagonal
Retângulos, quadrados, escadas, rampas e coordenadas frequentemente escondem um triângulo retângulo. A diagonal vira hipotenusa.
| Situação | Triângulo escondido | Relação |
|---|---|---|
| diagonal do retângulo | base, altura e diagonal | d2=b2+h2 |
| diagonal do quadrado | dois lados iguais | d = l√2 |
| distância no plano | diferenças horizontal e vertical | d=√((Δx)2+(Δy)2) |
| escada na parede | altura, distância da parede e escada | escada é hipotenusa |
Exemplo resolvido
Um terreno retangular mede 20 m por 21 m. Qual é a diagonal?
1
A diagonal forma um triângulo retângulo com os lados do retângulo.
2
d2=202+212=400+441=841.
d = 29 m
Erros comuns em prova
| Erro | Como evitar |
|---|---|
| usar Pitágoras em triângulo que não é retângulo | procure o ângulo de 90 graus antes da conta |
| confundir hipotenusa com cateto | a hipotenusa é sempre o maior lado |
| aplicar a fórmula sem desenhar o triângulo | marque catetos e hipotenusa antes da conta |
| usar a diagonal como cateto | em retângulos e quadrados, a diagonal costuma ser a hipotenusa |
Exercícios rápidos
Cheque rápido
Um triângulo retângulo tem catetos 8 e 15. Qual é a hipotenusa?
Cheque rápido
A diagonal de um quadrado de lado 7 cm mede: