Axiomas e conceitos primitivos
A geometria euclidiana é construída sobre conceitos primitivos — entidades que não se definem, apenas se descrevem — e axiomas (ou postulados) — afirmações aceitas sem demonstração. Todo o restante é teorema: consequência lógica dos axiomas.
Ponto: sem dimensão, sem forma, sem tamanho. Indica apenas localização. Representado por letra maiúscula: A, B, P.
Reta: conjunto infinito e contínuo de pontos, com extensão em apenas uma dimensão. Não tem espessura nem extremos. Representada por letra minúscula: r, s, ℓ.
Plano: superfície plana, ilimitada, com duas dimensões. Representado por letras gregas: α, β, π.
Os cinco postulados de Euclides
| Postulado | Enunciado |
|---|---|
| 1º | Por dois pontos distintos passa uma única reta. |
| 2º | Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente. |
| 3º | É possível traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. |
| 4º | Todos os ângulos retos são iguais entre si. |
| 5º (Paralelas) | Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela a ela. |
Posições relativas entre dois pontos, retas e planos
Paralelas (r ∥ s): não têm ponto em comum. A distância entre elas é constante.
Concorrentes: têm exatamente um ponto em comum (ponto de interseção).
Coincidentes: têm todos os pontos em comum — são a mesma reta.
Ângulos: definição e classificação
Dados dois raios (semirretas) OA e OB com a mesma origem O (vértice), o ângulo AOB é a região do plano compreendida entre os dois raios. Sua medida é o grau de abertura entre eles.
O ângulo é denotado ∠AOB, ∠BOA ou simplesmente ∠O quando não há ambiguidade.
Unidades de medida
- Definição 180° = π rad
- Graus → rad rad = graus × π180
- Rad → graus graus = rad × 180π
- Exemplos 90° = π/2 | 60° = π/3 | 45° = π/4 | 30° = π/6
Submúltiplos do grau
O grau se divide em minutos e segundos (notação sexagesimal):
Exemplo: 37°48'30'' = 37 graus, 48 minutos e 30 segundos.
Em decimal: 37 + 48/60 + 30/3600 = 37 + 0,8 + 0,00833... ≈ 37,808°
Classificação dos ângulos
| Tipo | Medida | Característica |
|---|---|---|
| Nulo | α = 0° | Semirretas sobrepostas |
| Agudo | 0° < α < 90° | Menor que reto |
| Reto | α = 90° | Semirretas perpendiculares |
| Obtuso | 90° < α < 180° | Maior que reto, menor que raso |
| Raso | α = 180° | Semirretas opostas — formam uma reta |
| Reflexo | 180° < α < 360° | Maior que raso — medido pelo lado externo |
| Giro | α = 360° | Volta completa |
Operações com ângulos
Adição e subtração em notação sexagesimal
Operam-se separadamente graus, minutos e segundos, fazendo reagrupamento (como na aritmética de bases mistas: base 60 para minutos e segundos).
52'' + 35'' = 87'' = 1'27'' (reagrupo 60'' = 1')38' + 44' + 1'(carry) = 83' = 1°23'47° + 28° + 1°(carry) = 76°89°59'60'' para poder subtrair segundos e minutos.60'' − 50'' = 10''59' − 47' = 12'89° − 33° = 56°Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo ∠AOB é o raio OM que divide o ângulo em duas partes iguais:
∠AOM = ∠MOB = ∠AOB / 2
Todo ponto da bissetriz é equidistante dos dois lados do ângulo.
Pares de ângulos notáveis
Ângulos opostos pelo vértice (OPV)
α + β = 180°β + α' = 180°α + β = β + α', logo α = α'. ■α + β = 180°α = 2k e β = 7k.2k + 7k = 180° → 9k = 180° → k = 20°40°, 140°, 40°, 140°Retas paralelas cortadas por transversal
Quando uma reta transversal t corta duas retas paralelas r e s, são formados oito ângulos com relações precisas e fundamentais para toda a geometria.
Ângulos internos: situados entre as duas paralelas (4 ângulos: 3, 4, 5, 6 na figura abaixo).
Ângulos externos: situados fora das duas paralelas (4 ângulos: 1, 2, 7, 8).
Alternos: em lados opostos da transversal. Colaterais: no mesmo lado da transversal. Correspondentes: mesma posição em interseções diferentes.
As quatro relações fundamentais
(II) Alternos externos são iguais: ∠1 = ∠7 e ∠2 = ∠8
(III) Correspondentes são iguais: ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8
(IV) Colaterais internos são suplementares: ∠3 + ∠6 = 180° e ∠4 + ∠5 = 180°
∠3 = ∠1 (pelo teorema dos OPV).∠1 = ∠5. (Isso é equivalente ao 5º postulado de Euclides.)∠3 = ∠1 = ∠5, portanto ∠3 = ∠5. ■| Par de ângulos | Posição | Relação | Exemplo (fig.) |
|---|---|---|---|
| Alternos internos | Entre as paralelas, lados opostos de t | Iguais | ∠3 = ∠5 |
| Alternos externos | Fora das paralelas, lados opostos de t | Iguais | ∠1 = ∠7 |
| Correspondentes | Mesma posição em cada interseção | Iguais | ∠2 = ∠6 |
| Colaterais internos | Entre as paralelas, mesmo lado de t | Suplementares (soma 180°) | ∠4 + ∠5 = 180° |
| Colaterais externos | Fora das paralelas, mesmo lado de t | Suplementares | ∠1 + ∠8 = 180° |
(4x + 10) = (6x − 20)30 = 2x → x = 154(15) + 10 = 70°180° − 70° = 110°e: ∠2 = ∠8 =
70° (OPV e correspondentes).AB/BC = DE/EF → 6/9 = 8/EFEF = (8 × 9) / 6 = 72/6 = 12 cmPerpendicularismo
Duas retas são perpendiculares (r ⊥ s) quando se intersectam formando quatro ângulos retos (90°).
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular traçado do ponto à reta — é sempre o menor caminho do ponto até a reta.
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB que passa pelo seu ponto médio M.
Propriedade fundamental: Um ponto P pertence à mediatriz de AB se e somente se PA = PB. Ou seja, a mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B.
PA = PB = 13 cmMA = MB = 5 cmPM² = PA² − MA² = 169 − 25 = 144 → PM = 12 cmLugares geométricos fundamentais
Um lugar geométrico (LG) é o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem uma determinada propriedade. A ideia central é: descrever uma curva ou região por uma condição, não por uma fórmula.
| LG | Condição | Figura resultante |
|---|---|---|
| Equidistante de dois pontos A e B | PA = PB | Mediatriz de AB |
| A distância d de uma reta r | dist(P, r) = d | Duas retas paralelas a r |
| A distância r de um ponto O | PO = r | Circunferência de centro O e raio r |
| Equidistante de dois lados de um ângulo | dist(P, lado₁) = dist(P, lado₂) | Bissetriz do ângulo |
| Que vê AB sob ângulo de 90° | ∠APB = 90° | Circunferência de diâmetro AB (excluindo A e B) |