Início / Geometria Plana / Congruência e Semelhança
📐 Geometria Plana · Cap. 2

Triângulos — Congruência e Semelhança

Os critérios que permitem afirmar que dois triângulos são idênticos ou proporcionais — base do Teorema de Tales e de toda a geometria métrica.

Congruência de triângulos

Definição — Triângulos Congruentes

Dois triângulos são congruentes (△ABC ≅ △DEF) quando existe uma correspondência entre seus vértices tal que todos os lados e ângulos correspondentes são iguais.

Congruência implica que as figuras têm a mesma forma e o mesmo tamanho — uma pode ser sobreposta à outra por movimentos rígidos (translação, rotação, reflexão).

Atenção à ordem: △ABC ≅ △DEF significa A↔D, B↔E, C↔F. Logo AB = DE, BC = EF, CA = FD, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. Trocar a ordem dos vértices muda a correspondência.
Casos de congruência

Casos de congruência (postulados)

Não precisamos verificar todos os 6 elementos. Os quatro postulados abaixo são condições suficientes:

LLL
Lado-Lado-Lado
a=a'
Os três lados de um triângulo são iguais aos três lados do outro.
LAL
Lado-Ângulo-Lado
Dois lados e o ângulo entre eles iguais nos dois triângulos.
ALA
Ângulo-Lado-Ângulo
Um lado e os dois ângulos adjacentes a ele iguais nos dois triângulos.
LAA
Lado-Ângulo-Ângulo
Um lado e dois ângulos quaisquer (não necessariamente adjacentes) iguais.
⚠️
LLA não é um caso de congruência geral! Dois lados e um ângulo não-incluso podem determinar dois triângulos diferentes (ambiguidade). A exceção é o caso HL (hipotenusa-cateto) em triângulos retângulos, que equivale ao LLA com ângulo reto fixo.
Caso especial — HL (triângulo retângulo)
Dois triângulos retângulos são congruentes se têm a hipotenusa e um cateto iguais.
HL é equivalente ao LLL, pois o terceiro lado é determinado por Pitágoras: c² = a² + b².
▶ Ver demonstração
1
Dados △ABC e △DEF retângulos em C e F, com AB = DE (hipotenusas) e AC = DF (catetos).
2
Por Pitágoras: BC² = AB² − AC² e EF² = DE² − DF².
3
Como AB = DE e AC = DF: BC² = EF², logo BC = EF.
4
Os três lados são iguais → pelo caso LLL, △ABC ≅ △DEF. ■
Exemplo resolvidoMédio
Na figura, M é ponto médio de AC e BD, com AB ∥ CD. Prove que △ABM ≅ △CDM.
1
AM = CM (M é ponto médio de AC) e BM = DM (M é ponto médio de BD).
2
∠AMB = ∠CMD (ângulos OPV em M).
3
Dois lados e o ângulo entre eles iguais → caso LAL. ■
△ABM ≅ △CDM pelo caso LAL
Semelhança

Semelhança de triângulos

Definição — Triângulos Semelhantes

Dois triângulos são semelhantes (△ABC ~ △DEF) quando existe uma correspondência entre vértices tal que os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão de semelhança k é tal que: DE/AB = EF/BC = FD/CA = k.

Consequências da razão de semelhança k
  • Lados todos os lados são multiplicados por k
  • Perímetros P' = k · P
  • Áreas A' = k² · A
  • Ângulos todos os ângulos são preservados (iguais)
A B C a b c D E F ka kb kc k = 1,5
△ABC ~ △DEF com razão de semelhança k = 1,5
Casos de semelhança

Casos de semelhança

AA
Ângulo-Ângulo
Dois ângulos iguais. (O terceiro é automático pois a soma é 180°.) É o caso mais usado.
LAL
Lado-Ângulo-Lado
Dois pares de lados proporcionais com o ângulo incluso igual nos dois triângulos.
LLL
Lado-Lado-Lado
Os três pares de lados são proporcionais (mesma razão k).
Teorema fundamental da semelhança
Uma reta paralela a um lado de um triângulo e que intersecta os outros dois lados determina um triângulo semelhante ao original.
▶ Ver demonstração
1
Dado △ABC, seja DE ∥ BC com D em AB e E em AC.
2
∠ADE = ∠ABC (correspondentes, pois DE ∥ BC) e ∠AED = ∠ACB (correspondentes).
3
Dois ângulos iguais → caso AA → △ADE ~ △ABC. ■
Exemplo resolvidoMédio
Em △ABC, DE ∥ BC com D em AB e E em AC. Se AD = 4, DB = 6 e AC = 15, calcule AE e EC.
1
△ADE ~ △ABC → razão: k = AD/AB = 4/(4+6) = 4/10 = 2/5
2
AE/AC = k → AE = (2/5)·15 = 6
3
EC = AC − AE = 15 − 6 = 9
AE = 6  |  EC = 9
Exemplo resolvidoDifícil
As áreas de dois triângulos semelhantes estão na razão 9:25. Se o perímetro do menor é 24 cm, qual o perímetro do maior?
1
Razão das áreas = k² → k² = 9/25 → k = 3/5
2
Perímetros são proporcionais a k: P_menor/P_maior = k = 3/5
3
24/P_maior = 3/5 → P_maior = 24·5/3 = 40 cm
Perímetro do maior = 40 cm
Teorema de Tales

Teorema de Tales

🏛️
Tales de Mileto (625–546 a.C.) usou semelhança para calcular a altura de pirâmides egípcias medindo sombras. O teorema que leva seu nome é a pedra angular de toda a geometria métrica e do cálculo de segmentos por proporção.
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.
Se r₁ ∥ r₂ ∥ r₃ cortam as transversais t e t' nos pontos A, B, C e A', B', C' respectivamente, então:
ABBC = A'B'B'C'
▶ Ver demonstração
1
Considere as transversais t e t'. Trace por A uma paralela a t' até encontrar r₂ em E e r₃ em F.
2
ABEA' e BCFB' são paralelogramos → AE = A'B' e BF = B'C'.
3
△ABE ~ △ACF (AA: ∠BAE = ∠CAF, ∠ABE = ∠ACF como correspondentes das paralelas).
4
Da semelhança: AB/BC = AE/BF = A'B'/B'C'. ■
r₁ r₂ r₃ A B C A' B' C' AB BC A'B' B'C' AB/BC = A'B'/B'C'
Teorema de Tales: segmentos proporcionais em duas transversais

Corolários importantes

Corolário 1: Se uma reta é paralela a um lado de um triângulo e corta os outros dois, os segmentos cortados são proporcionais: AD/DB = AE/EC.
Corolário 2 (proporção total): Nas mesmas condições: AD/AB = AE/AC = DE/BC = k (razão de semelhança).
Exemplo resolvidoDifícil
Quatro retas paralelas cortam uma transversal em segmentos consecutivos de 3, 5 e 4 cm. A segunda transversal tem o primeiro segmento de 6 cm. Quais são os outros dois segmentos?
1
Tales: segmentos são proporcionais nas duas transversais.
2
1º par: 3/x = 3/6 → x = 6 → k = 6/3 = 2
3
2º par: y = 5·k = 5·2 = 10 cm
4
3º par: z = 4·k = 4·2 = 8 cm
Segmentos: 6, 10 e 8 cm
Teorema da bissetriz

Teorema da bissetriz interna

Teorema
A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Em △ABC, se AD é a bissetriz do ângulo A (D em BC), então:
BDDC = ABAC
▶ Ver demonstração
1
Prolongue CA e trace por B uma paralela a AD até encontrar a reta CA prolongada em E.
2
Como BE ∥ AD, pelo Teorema de Tales em △BCE com a transversal que passa por D: BD/DC = AE/AC.
3
∠DAC = ∠ACB (alternos internos, AD ∥ BE com transversal AC) e ∠DAC = ∠DAB/2 = ∠ABE (correspondentes). Logo △ABE é isósceles com AE = AB.
4
Portanto: BD/DC = AE/AC = AB/AC. ■
Exemplo resolvidoMédio
Em △ABC, AB = 8, AC = 12 e BC = 15. A bissetriz do ângulo A encontra BC no ponto D. Calcule BD e DC.
1
Pelo teorema: BD/DC = AB/AC = 8/12 = 2/3
2
BD + DC = BC = 15 e BD = (2/5)·15 = 6
3
DC = 15 − 6 = 9
BD = 6 cm  |  DC = 9 cm
Bissetriz externa: A bissetriz externa do ângulo A divide o lado BC externamente na mesma razão AB/AC. Se D' é o ponto de divisão externa: BD'/D'C = AB/AC. (D' é externo ao segmento BC.)
Ceva e Menelau

Teorema de Ceva

Teorema
Em um triângulo ABC, sejam D em BC, E em CA e F em AB. As cevianas AD, BE e CF são concorrentes se, e somente se,
(AF/FB) · (BD/DC) · (CE/EA) = 1
▶ Ver demonstração
1
Suponha AD, BE e CF concorrentes em P. Compare áreas de triângulos que compartilham a mesma altura em cada lado do triângulo.
2
Em AB: AF/FB = [APF]/[BPF]. Em BC: BD/DC = [BPD]/[CPD]. Em CA: CE/EA = [CPE]/[APE].
3
Multiplicando as três relações, as áreas se cancelam e o produto vale 1. A recíproca reconstrói a terceira ceviana e força a concorrência. ■
Leitura prática: Ceva é o teste natural para verificar se três segmentos traçados a partir dos vértices passam por um mesmo ponto.
Exemplo resolvidoDifícil
Em △ABC, D está em BC, E em CA e F em AB. Sabe-se que AF/FB = 2 e BD/DC = 3. Se AD, BE e CF são concorrentes, determine CE/EA.
1
Pelo Teorema de Ceva: (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1.
2
Substituindo os valores: 2 · 3 · (CE/EA) = 1.
3
Logo CE/EA = 1/6.
CE/EA = 1/6

Teorema de Menelau

Teorema
Em um triângulo ABC, sejam F em AB, D em BC e E no prolongamento de CA. Os pontos F, D e E são colineares se, e somente se,
(AF/FB) · (BD/DC) · (CE/EA) = 1
▶ Ver observação de uso
1
Menelau é o análogo linear de Ceva: enquanto Ceva trata de concorrência de cevianas, Menelau trata de colinearidade de pontos sobre uma transversal.
2
Em versões orientadas, sinais podem aparecer. Em problemas métricos usuais, trabalha-se com módulos e com a informação de que um dos pontos está em prolongamento.
3
A regra prática é: se a reta corta os três lados, ou os lados e seus prolongamentos, o produto adequado das razões vale 1. ■
⚠️
Não confunda: Ceva testa se três cevianas se encontram em um ponto. Menelau testa se três pontos estão alinhados por uma mesma reta.
Exemplo resolvidoDifícil
No △ABC, uma reta corta AB em F, BC em D e o prolongamento de CA em E. Se AF/FB = 3 e BD/DC = 2, determine CE/EA para que F, D e E sejam colineares.
1
Pelo Teorema de Menelau: (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1.
2
Substituindo: 3 · 2 · (CE/EA)=1.
3
Assim, CE/EA = 1/6.
CE/EA = 1/6
Exercícios

Exercícios

Exercício 1 — Casos de congruência
Dois triângulos têm um lado de 7 cm e os dois ângulos adjacentes a esse lado iguais. Qual caso garante a congruência?
Exercício 2 — Razão de semelhança
Dois triângulos semelhantes têm razão k = 3. A área do menor é 18 cm². Qual é a área do maior?
Exercício 3 — Teorema de Tales
Em △ABC, DE ∥ BC com AD = 5, AB = 15 e BC = 12. Qual é o comprimento de DE?
Exercício 4 — Bissetriz
Em △ABC, AB = 10, AC = 15 e BC = 20. A bissetriz de A divide BC em BD e DC. Quanto é BD?