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📐 Geometria Plana · Cap. 4

Relações Métricas em Triângulos

Pitágoras e projeções no triângulo retângulo, Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Teorema de Stewart — o arsenal completo para resolver qualquer triângulo.

Teorema de Pitágoras e projeções

Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² + b² = c²
▶ Ver demonstração (método das áreas)
1
Construa um quadrado de lado (a+b). Dentro dele, posicione 4 cópias do triângulo retângulo nos cantos.
2
A região interna que sobra é um quadrado de lado c (hipotenusa). Área total: (a+b)² = 4·(ab/2) + c²
3
a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c². ■
📜
Pitágoras (570–495 a.C.) foi o primeiro a demonstrar o teorema formalmente, mas os babilônios já conheciam ternas pitagóricas em 1800 a.C. A tábua babilônica Plimpton 322 lista 15 ternas pitagóricas primitivas. Existem hoje mais de 370 demonstrações diferentes do teorema.
Triângulo retângulo — projeções

Relações métricas no triângulo retângulo

No triângulo retângulo △ABC (ângulo reto em C), a altura h relativa à hipotenusa gera as projeções a' e b' dos catetos sobre a hipotenusa. Essas projeções dão origem a seis relações métricas:

C A B H b a c b' a' h
△ABC retângulo em C — altura h ao pé H, projeções b' (AH) e a' (HB)
As seis relações métricas
Pitágoras a² + b² = c²
Cateto-proj. a² = a' · c b² = b' · c
Altura h² = a' · b'
Cateto-altura a · b = c · h
Projeções a' + b' = c
Demonstração — a² = a'·c
O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
▶ Ver demonstração
1
Considere △ABC retângulo em C e △HBC retângulo em H. Ambos têm o ângulo B em comum.
2
Pelo caso AA (ângulo reto + ângulo B): △HBC ~ △ABC.
3
Da proporção: BC/AB = HB/BC → a/c = a'/a → a² = a'·c. ■
Exemplo resolvidoMédio
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 20 cm e um cateto mede 12 cm. Calcule o outro cateto, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos.
1
Cateto: b = √(c²−a²) = √(400−144) = √256 = 16 cm
2
Altura: h = ab/c = (12·16)/20 = 192/20 = 9,6 cm
3
Projeções: a' = a²/c = 144/20 = 7,2 cm e b' = b²/c = 256/20 = 12,8 cm
4
Verificação: a' + b' = 7,2 + 12,8 = 20 = c ✓ e h² = 7,2·12,8 = 92,16 = 9,6² ✓
b=16 cm | h=9,6 cm | a'=7,2 cm | b'=12,8 cm
Lei dos Senos

Lei dos Senos

Lei dos Senos
Em qualquer triângulo △ABC, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.
asen A = bsen B = csen C = 2R
▶ Ver demonstração
1
Trace o diâmetro BD da circunferência circunscrita. O ângulo inscrito ∠BCD = 90° (Teorema de Thales).
2
No △BCD: sen(∠BDC) = BC/BD = a/(2R). Mas ∠BDC = ∠A (ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco BC).
3
Logo sen A = a/(2R) → a/sen A = 2R. O mesmo vale para b e c. ■
Quando usar a Lei dos Senos: quando se conhecem dois ângulos e um lado (AAS ou ASA) ou dois lados e o ângulo oposto ao maior deles (evitando ambiguidade do caso SSA).
Exemplo resolvidoMédio
Em △ABC, ∠A = 45°, ∠B = 60° e a = 10 cm. Calcule b e o raio da circunferência circunscrita R.
1
∠C = 180°−45°−60° = 75°
2
Lei dos Senos: b/sen B = a/sen A → b = a·sen B/sen A = 10·sen60°/sen45°
3
b = 10·(√3/2)/(√2/2) = 10·√3/√2 = 10√6/2 = 5√6 ≈ 12,25 cm
4
R = a/(2·senA) = 10/(2·(√2/2)) = 10/√2 = 5√2 ≈ 7,07 cm
b = 5√6 ≈ 12,25 cm  |  R = 5√2 ≈ 7,07 cm
Lei dos Cossenos

Lei dos Cossenos

Lei dos Cossenos
Em qualquer triângulo △ABC, o quadrado de cada lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto deles pelo cosseno do ângulo oposto.
a² = b² + c² − 2bc·cos A
b² = a² + c² − 2ac·cos B
c² = a² + b² − 2ab·cos C
▶ Ver demonstração
1
Coloque A na origem, B em (c, 0). C tem coordenadas (b·cos A, b·sen A).
2
a² = BC² = (b·cosA − c)² + (b·senA)²
3
= b²cos²A − 2bc·cosA + c² + b²sen²A = b²(cos²A+sen²A) + c² − 2bc·cosA
4
= b² + c² − 2bc·cosA. ■
Pitágoras como caso especial: Quando C = 90°, cos 90° = 0, então c² = a² + b². A Lei dos Cossenos é a generalização do Teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer.
Quando usar: Lei dos Cossenos é usada quando se conhecem três lados (SSS — para calcular ângulos) ou dois lados e o ângulo entre eles (SAS — para calcular o terceiro lado).
Exemplo resolvidoMédio
Em △ABC, a = 7, b = 5 e C = 60°. Calcule c.
1
c² = a² + b² − 2ab·cosC = 49 + 25 − 2·7·5·cos60°
2
= 74 − 70·(1/2) = 74 − 35 = 39
3
c = √39 ≈ 6,24 cm
c = √39 ≈ 6,24 cm
Exemplo resolvidoDifícil
Os lados de um triângulo medem 8, 11 e 13 cm. Determine o maior ângulo do triângulo.
1
O maior ângulo é oposto ao maior lado (c = 13). Use c² = a²+b²−2ab·cosC.
2
169 = 64 + 121 − 2·8·11·cosC = 185 − 176·cosC
3
cosC = (185−169)/176 = 16/176 = 1/11 ≈ 0,0909
4
C = arccos(1/11) ≈ 84,8°
C ≈ 84,8°
Teorema de Stewart

Teorema de Stewart

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Matthew Stewart (1717–1785), matemático escocês, publicou este teorema em 1746. É especialmente valorizado em concursos militares (IME, ITA, AMAN) porque permite calcular qualquer ceviana — mediana, bissetriz ou altitude — de forma direta, sem trigonometria.
Teorema de Stewart
Em △ABC, seja D um ponto no lado BC com BD = m e DC = n. Se AD = d (comprimento da ceviana), então:
b²·m + c²·n = a(d² + mn)
▶ Ver demonstração
1
Aplique a Lei dos Cossenos em △ABD (ângulo ADB = θ) e em △ACD (ângulo ADC = 180°−θ).
2
△ABD: c² = d²+m²−2dm·cosθ → cosθ = (d²+m²−c²)/(2dm)
3
△ACD: b² = d²+n²+2dn·cosθ (pois cos(180°−θ) = −cosθ)
4
Multiplicando a 1ª equação por n e a 2ª por m e somando, eliminando cosθ: b²m + c²n = a(d²+mn). ■
A B C D c b m n d a = m + n
Ceviana AD com BD = m, DC = n, AD = d, a = BC = m+n
Fórmula da mediana

Fórmula da mediana (caso especial de Stewart)

Corolário de Stewart
Se D é o ponto médio de BC (mediana), então m = n = a/2 e a fórmula de Stewart se reduz à fórmula da mediana:
m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4
▶ Ver dedução
1
Stewart com m = n = a/2: b²·(a/2) + c²·(a/2) = a(m_a² + (a/2)²)
2
Dividindo por a: (b²+c²)/2 = m_a² + a²/4
3
m_a² = (b²+c²)/2 − a²/4 = (2b²+2c²−a²)/4. ■
Exemplo resolvido — Stewart clássicoDifícil
Em △ABC com a = 10, b = 8, c = 6, calcule o comprimento da mediana m_a relativa ao lado a e o comprimento da bissetriz interna t_a do ângulo A.
1
Mediana: m_a² = (2·64 + 2·36 − 100)/4 = (128+72−100)/4 = 100/4 = 25 → m_a = 5 cm
2
Bissetriz — pelo Teorema de Stewart: A bissetriz divide BC em m:n = c:b = 6:8 = 3:4, logo m = 30/7 e n = 40/7.
3
b²m + c²n = a(t² + mn): 64·(30/7) + 36·(40/7) = 10(t² + 1200/49)
4
(1920 + 1440)/7 = 10t² + 12000/490 → 480 = 10t² + 24,49 → t² = 45,55 → t_a ≈ 6,75 cm
m_a = 5 cm  |  t_a ≈ 6,75 cm
Exercícios

Exercícios

Exercício 1 — Projeções
Num triângulo retângulo, os catetos medem 8 e 15 cm. Qual é a altura relativa à hipotenusa?
Exercício 2 — Lei dos Senos
Em △ABC, ∠A = 30°, ∠B = 45° e c = 10 cm. Qual é o comprimento de a?
Exercício 3 — Lei dos Cossenos
Um triângulo tem lados b=6, c=7 e ângulo A=120°. Qual é o valor de a²?
Exercício 4 — Fórmula da mediana
Em △ABC com a=10, b=8, c=6, qual é a mediana m_b (relativa ao lado b)?