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📐 Geometria Plana · Cap. 3

Pontos Notáveis do Triângulo

Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro — os quatro pontos fundamentais de qualquer triângulo — e a surpreendente Reta de Euler que une três deles.

Visão geral

Todo triângulo possui quatro pontos de interesse geométrico especial, cada um definido pela interseção de três retas notáveis. Essas interseções são sempre únicas — isso não é óbvio e precisa ser provado para cada caso.

A B C G I O H Reta de Euler G — Baricentro I — Incentro O — Circuncentro H — Ortocentro
Os quatro pontos notáveis num triângulo acutângulo — G, O e H são colineares (Reta de Euler)
Baricentro
G
Baricentro
Interseção das três medianas

A mediana é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo tem três medianas, e elas sempre se encontram num único ponto: o baricentro G.

  • G divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice.
  • Se M_a é o pé da mediana do vértice A: AG = 2·GM_a
  • G é o centro de massa do triângulo — se pendurado por G, fica equilibrado.
  • G está sempre no interior do triângulo.
  • Coordenadas: G = ((x_A+x_B+x_C)/3, (y_A+y_B+y_C)/3)
G 2 1
Teorema
As três medianas de um triângulo são concorrentes num ponto G que divide cada uma na razão 2:1 a partir do vértice.
▶ Ver demonstração (razão 2:1)
1
Sejam M_a, M_b, M_c os pontos médios de BC, CA, AB. Considere as medianas AM_a e BM_b. Seja G sua interseção.
2
No △ABM_a, o segmento M_b G é paralelo a AM_a e M_b é ponto médio de AB (por construção). Pelo teorema fundamental da semelhança: M_b G ∥ AM_a e M_b G = AM_a / 2.
3
Isso implica que G divide AM_a na razão AG:GM_a = 2:1. O mesmo vale para qualquer outra mediana — logo as três são concorrentes em G. ■
Exemplo resolvidoMédio
O baricentro G de △ABC divide a mediana AM em AG = 8 cm. Qual é o comprimento total da mediana AM?
1
G divide AM na razão 2:1 → AG:GM = 2:1.
2
AG = 8 cm → GM = AG/2 = 4 cm
3
AM = AG + GM = 8 + 4 = 12 cm
AM = 12 cm
Incentro
I
Incentro
Interseção das três bissetrizes internas

O incentro I é equidistante dos três lados do triângulo. Essa distância comum é o raio da circunferência inscrita (raio r).

  • I está sempre no interior do triângulo.
  • A circunferência inscrita é tangente aos três lados.
  • Área do triângulo: A = r · s, onde s = semiperímetro.
  • Raio inscrito: r = A / s = A·2 / (a+b+c)
I r
Exemplo resolvidoMédio
Um triângulo tem lados 5, 12 e 13 cm. Calcule o raio da circunferência inscrita.
1
Verifique: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² → triângulo retângulo. Área = (5·12)/2 = 30 cm²
2
Semiperímetro: s = (5+12+13)/2 = 15 cm
3
r = A/s = 30/15 = 2 cm
r = 2 cm
Para triângulo retângulo: r = (a + b − c)/2, onde c é a hipotenusa. No exemplo: (5+12−13)/2 = 4/2 = 2 cm. ✓
Circuncentro
O
Circuncentro
Interseção das três mediatrizes

O circuncentro O é equidistante dos três vértices. Essa distância é o raio da circunferência circunscrita R.

  • Acutângulo: O no interior.
  • Retângulo: O no ponto médio da hipotenusa.
  • Obtusângulo: O no exterior.
  • Lei dos senos: R = a / (2·sen A) = b / (2·sen B) = c / (2·sen C)
  • Área: A = abc / (4R)
O R
Propriedade
No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e o raio circunscrito é metade da hipotenusa: R = c/2.
▶ Ver demonstração
1
Pela Lei dos Senos: R = c/(2·sen C). No triângulo retângulo em C: sen C = sen 90° = 1.
2
Portanto R = c/2. O ponto equidistante dos três vértices com raio c/2 é o ponto médio da hipotenusa. ■
Exemplo resolvidoDifícil
Em △ABC, a = 8, b = 6, c = 7. Calcule o raio da circunferência circunscrita usando a fórmula A = abc/(4R). (Use Heron para a área.)
1
s = (8+6+7)/2 = 10,5
2
A = √(10,5·2,5·4,5·3,5) = √(413,4375) ≈ 20,33 cm²
3
R = abc/(4A) = (8·6·7)/(4·20,33) = 336/81,33 ≈ 4,13 cm
R ≈ 4,13 cm
Ortocentro
H
Ortocentro
Interseção das três alturas

A altura de um triângulo é o segmento perpendicular traçado de um vértice ao lado oposto (ou seu prolongamento). As três alturas se encontram no ortocentro H.

  • Acutângulo: H no interior.
  • Retângulo: H no vértice do ângulo reto.
  • Obtusângulo: H no exterior.
  • Reflexo notável: ∠BHC = 180° − ∠A
  • Relação com circuncentro O: OH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗
H
Ângulos no ortocentro: Em qualquer triângulo △ABC, o ângulo ∠BHC = 180° − ∠A. Mais geralmente: os ângulos formados no ortocentro são os suplementos dos ângulos do triângulo. Isso é muito cobrado em provas militares.
Exemplo resolvidoMédio
Em △ABC com ∠A = 50° e ∠B = 70°, determine ∠BHC, onde H é o ortocentro.
1
∠C = 180° − 50° − 70° = 60°
2
Propriedade: ∠BHC = 180° − ∠A = 180° − 50° = 130°
∠BHC = 130°
Reta de Euler

Reta de Euler e Relação de Euler

🧮
Leonhard Euler (1707–1783) descobriu em 1765 que o circuncentro O, o baricentro G e o ortocentro H de qualquer triângulo são sempre colineares. Essa reta ficou conhecida como Reta de Euler. O incentro I só pertence à reta de Euler no caso do triângulo equilátero (quando todos os quatro pontos coincidem).
Teorema de Euler
Em qualquer triângulo, o circuncentro O, o baricentro G e o ortocentro H são colineares, e G divide OH na razão OG:GH = 1:2.
Ou seja: G está entre O e H, e OG = OH/3 e GH = 2·OH/3.
▶ Ver demonstração (esboço vetorial)
1
Tomando O como origem, os vetores posição dos vértices são a⃗, b⃗, c⃗. O baricentro é G⃗ = (a⃗+b⃗+c⃗)/3.
2
Pode-se mostrar que o ortocentro satisfaz H⃗ = a⃗+b⃗+c⃗ (usando propriedades do circuncentro e da ortogonalidade das alturas).
3
Logo H⃗ = 3·G⃗, ou seja, O, G e H são colineares e OG:GH = 1:2. ■
O G H d 2d OG : GH = 1 : 2 (G divide OH na razão 1:2 de O para H)
Reta de Euler: O, G e H são colineares com OG:GH = 1:2
Exemplo resolvidoDifícil
Num triângulo, a distância entre o circuncentro O e o ortocentro H mede 18 cm. Determine a distância OG e GH, onde G é o baricentro.
1
G divide OH na razão 1:2 → OG:GH = 1:2
2
OG = OH/3 = 18/3 = 6 cm
3
GH = 2·OH/3 = 12 cm
OG = 6 cm  |  GH = 12 cm
Comparativo

Tabela comparativa

PontoSímboloFormado porAcutânguloRetânguloObtusânguloRaio associado
BaricentroGMedianasInteriorInteriorInterior—
IncentroIBissetrizes int.InteriorInteriorInteriorr (inscrita)
CircuncentroOMediatrizesInteriorHipotenusaExteriorR (circunscrita)
OrtocentroHAlturasInteriorVértice retoExterior—
Exercícios

Exercícios

Exercício 1 — Baricentro
O baricentro divide cada mediana na razão 2:1. Se GM = 5 cm (M = pé da mediana), qual é AG?
Exercício 2 — Incentro
Um triângulo tem perímetro 24 cm e área 24 cm². Qual é o raio da circunferência inscrita?
Exercício 3 — Ortocentro
Em triângulo retângulo, onde está o ortocentro?
Exercício 4 — Reta de Euler
Baricentro G e ortocentro H distam 24 cm. Qual é a distância OG (O = circuncentro)?