Elementos do círculo
Definições essenciais
Circunferência: conjunto de pontos equidistantes do centro O. A distância comum é o raio r.
Círculo: região plana delimitada pela circunferência (inclui o interior).
Corda: segmento que une dois pontos da circunferência. O diâmetro é a maior corda (passa pelo centro).
Arco: parte da circunferência entre dois pontos. Setor circular: região delimitada por dois raios e um arco. Segmento circular: região entre uma corda e o arco correspondente.
Fórmulas fundamentais
- Comprimento C = 2πr
- Área do círculo A = πr²
- Arco (θ graus) arc = θ · πr180
- Setor circular Aset = θ · πr²360
- Coroa circular Acoroa = π(R²−r²)
Posições relativas
Posições relativas entre reta e circunferência
Três casos possíveis
Secante: a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Condição: d(O, r) < R.
Tangente: a reta toca a circunferência em exatamente um ponto. Condição: d(O, r) = R. A reta é perpendicular ao raio nesse ponto.
Externa: a reta não toca a circunferência. Condição: d(O, r) > R.
Propriedade da tangente
A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio traçado ao ponto de tangência.
▶ Ver demonstração
1
Seja t a tangente no ponto T e OR o raio até T. Suponha que OR não é perpendicular a t.
2
Então existe um ponto P em t mais próximo de O que T. Mas P estaria no interior do círculo, contradizendo o fato de t ser tangente (só um ponto na circunferência). ■
Posições relativas entre duas circunferências
| Posição | Condição (d = distância entre centros) | Pontos comuns |
|---|---|---|
| Externa | d > R + r | 0 |
| Tangente externa | d = R + r | 1 (externo) |
| Secantes | |R−r| < d < R+r | 2 |
| Tangente interna | d = |R−r| | 1 (interno) |
| Interna | d < |R−r| | 0 |
| Concêntricas | d = 0 e R ≠ r | 0 |
Ângulos na circunferência
Ângulos na circunferência
Ângulo Central
θ = arco AB
Vértice no centro. Mede o próprio arco interceptado.
Ângulo Inscrito
α = arco/2
Vértice na circunferência. Mede metade do arco interceptado.
Ângulo de Segmento
γ = arco opp./2
Entre uma corda e a tangente no extremo. Metade do arco do lado oposto.
Ângulo entre Cordas
φ = (arc1+arc2)/2
Vértice interior ao círculo. Média dos dois arcos interceptados.
Resumo — cinco casos
Medida de qualquer ângulo relacionado a uma circunferência:
(1) Central: θ = arco AB (em graus)
(2) Inscrito: θ = arco AB / 2
(3) Ângulo de segmento (tangente-corda): θ = arco / 2
(4) Cordas que se cruzam internamente: θ = (arco₁ + arco₂) / 2
(5) Secantes/tangentes externas: θ = (arco maior − arco menor) / 2
(2) Inscrito: θ = arco AB / 2
(3) Ângulo de segmento (tangente-corda): θ = arco / 2
(4) Cordas que se cruzam internamente: θ = (arco₁ + arco₂) / 2
(5) Secantes/tangentes externas: θ = (arco maior − arco menor) / 2
Teorema do ângulo inscrito
Teorema do ângulo inscrito
Teorema do ângulo inscrito
O ângulo inscrito mede a metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.
▶ Ver demonstração (caso geral)
1
Caso 1 — centro no interior do ângulo: Trace o diâmetro OD pelo vértice P. Em △POA: OA = OP = R → isósceles → ∠OAP = ∠OPA = α. Ângulo externo ∠AOP' = 2α (onde P' é do outro lado). Analogamente para o outro raio.
2
Somando os dois sub-ângulos: ângulo inscrito = (arco₁ + arco₂)/2 = arco AB / 2. ■
Corolário de Thales
Todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é reto (90°).
Se AB é diâmetro e P é qualquer ponto da circunferência (P ≠ A, B), então ∠APB = 90°.
▶ Ver demonstração
1
O arco AB (semicircunferência) mede 180°.
2
Pelo teorema do ângulo inscrito: ∠APB = 180°/2 = 90°. ■
Ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais. Se ∠APB e ∠AQB subtendem o mesmo arco AB (P e Q do mesmo lado), então ∠APB = ∠AQB = arco AB / 2.
Exemplo resolvidoMédio
Numa circunferência, o arco AB mede 80° e o arco BC mede 120°. Um ponto P na circunferência (no arco maior AC) forma o ângulo inscrito ∠APB. Calcule ∠APB, ∠BPC e ∠APC.
1
∠APB = arco AB / 2 = 80°/2 = 40°2
∠BPC = arco BC / 2 = 120°/2 = 60°3
Arco AC (pelo outro lado) = 360° − 80° − 120° = 160°.
∠APC = 160°/2 = 80°4
Verificação: ∠APB + ∠BPC + ∠APC... aguarde — P está no arco maior AC. ∠APB+∠BPC = 100° = ∠APC ✓... Na verdade: como P está no arco AC maior, ∠APC = arco menor AC / 2 = 160°/2 = 80°. E ∠APB + ∠BPC = 40+60 = 100° ≠ 80° — P está no arco AC, então ∠APC é subtendido pelo arco AC do outro lado = 80°. Mas ∠APB + ∠BPC ≠ ∠APC pois B não está entre A e C no arco visto por P.
∠APB = 40° | ∠BPC = 60° | ∠APC = 80°
Potência de ponto
Potência de um ponto
Jakob Steiner (1796–1863) formalizou o conceito de potência de um ponto em relação a uma circunferência em 1826. É uma das ferramentas mais elegantes da geometria — um único número que captura a relação entre um ponto e um círculo, independente da direção.
Definição — Potência de um ponto
Dado um ponto P e uma circunferência de centro O e raio R, a potência de P em relação à circunferência é:
π(P) = d² − R² onde d = PO
Se P é exterior: π(P) > 0. Se P está na circunferência: π(P) = 0. Se P é interior: π(P) < 0.
Teorema — potência pelo produto de segmentos
Se uma reta passa por P e intersecta a circunferência nos pontos A e B, então PA · PB = |π(P)|.
Ponto exterior: PA · PB = (d−R)(d+R) = d²−R²
Ponto interior: PA · PB = R²−d² (cordas que se cruzam internamente)
Ponto na tangente: PT² = d²−R² (tangente é caso limite)
▶ Ver demonstração (ponto exterior)
Ponto interior: PA · PB = R²−d² (cordas que se cruzam internamente)
Ponto na tangente: PT² = d²−R² (tangente é caso limite)
1
P exterior, secante PAB. Considere também secante PCD. Nos triângulos △PAC e △PDB: ∠P comum, ∠PAC = ∠PDB (inscritos no mesmo arco BC).
2
Pelo caso AA: △PAC ~ △PDB →
PA/PD = PC/PB → PA·PB = PC·PD.3
Esse produto é constante para qualquer secante por P — é a potência de P. Para a tangente PT, A=B=T:
PT² = PA·PB. ■Exemplo resolvidoMédio
De um ponto externo P, traça-se uma tangente PT = 12 cm e uma secante que intersecta a circunferência em A e B, com PA = 6 cm. Calcule PB.
1
Potência:
PT² = PA · PB2
144 = 6 · PB → PB = 24 cmPB = 24 cm
Exemplo resolvido — ponto interiorDifícil
Duas cordas AB e CD se cruzam no ponto P interior à circunferência, com PA = 4, PB = 9 e PC = 6. Calcule PD.
1
Ponto interior:
PA · PB = PC · PD2
4 · 9 = 6 · PD → PD = 36/6 = 6 cmPD = 6 cm
Teorema de Ptolomeu
Teorema de Ptolomeu
Cláudio Ptolomeu (90–168 d.C.), astrônomo grego-egípcio, usou este teorema para construir tabelas trigonométricas em seu Almagesto — o mais influente tratado de astronomia da Antiguidade. O teorema é equivalente à fórmula do seno da soma de dois ângulos.
Teorema de Ptolomeu
Num quadrilátero cíclico (inscrito numa circunferência) ABCD, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.
AC · BD = AB · CD + AD · BC
▶ Ver demonstração
1
Marque o ponto E na diagonal AC tal que ∠ABE = ∠DBC. Como ABCD é cíclico, ∠BAC = ∠BDC (inscritos no mesmo arco BC).
2
Então △ABE ~ △DBC (AA):
AB/DB = AE/DC → AE = AB·DC/DB.3
Também △ABD ~ △EBC:
AD/EC = AB/EB... → EC = AD·BC/AB — aguardando cálculo completo. Somando AE + EC = AC: AB·DC/BD + AD·BC/BD = AC → AC·BD = AB·CD + AD·BC. ■
Caso especial — retângulo inscrito: Se ABCD é um retângulo inscrito (diâmetros iguais), as diagonais são iguais: AC = BD. O Teorema de Ptolomeu vira
AC² = AB·CD + AD·BC.
Recíproco: Se num quadrilátero AC·BD = AB·CD + AD·BC, então ele é cíclico (pode ser inscrito numa circunferência). O recíproco é igualmente verdadeiro.
Exemplo resolvidoDifícil
Um quadrilátero ABCD é inscrito numa circunferência. AB = 3, BC = 5, CD = 4 e DA = 6. As diagonais se cruzam e AC = 7. Calcule BD pelo Teorema de Ptolomeu.
1
Ptolomeu:
AC · BD = AB·CD + AD·BC2
7 · BD = 3·4 + 6·5 = 12 + 30 = 423
BD = 42/7 = 6BD = 6
Exercícios
Exercícios
Exercício 1 — Ângulo inscrito
O ângulo central que subtende um arco mede 110°. O ângulo inscrito que subtende o mesmo arco mede:
Exercício 2 — Cordas que se cruzam
Duas cordas se cruzam num ponto P interior. Os segmentos de uma corda medem 3 e 12; um segmento da outra mede 4. O outro mede:
Exercício 3 — Tangente-secante
De um ponto externo, a tangente mede 8 cm. Uma secante tem o segmento externo medindo 4 cm. Qual é o comprimento total da secante?
Exercício 4 — Ptolomeu
Num quadrilátero cíclico ABCD com AB=1, BC=1, CD=1, DA=1 (losango inscrito), as diagonais medem AC e BD. Pelo teorema de Ptolomeu: AC·BD =