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📊 Geometria Analítica · Cap. 1

Pontos e Retas no Plano Cartesiano

Sistema de coordenadas, distâncias, ponto médio, divisão de segmento e o arsenal completo das equações de reta — base de toda a geometria analítica.

Sistema cartesiano

René Descartes (1637) unificou álgebra e geometria ao introduzir o sistema de coordenadas: dois eixos perpendiculares que permitem representar qualquer ponto do plano por um par ordenado (x, y).

Definição — Ponto no plano

Um ponto P é representado pelo par ordenado P = (x, y), onde x é a abscissa (distância ao eixo OY) e y é a ordenada (distância ao eixo OX). A origem O = (0, 0) é a interseção dos eixos.

x y O I (+,+) II (−,+) III (−,−) IV (+,−) P(x₀, y₀) x₀ y₀
Sistema cartesiano ortogonal com ponto P = (x₀, y₀) e os quatro quadrantes
Distâncias

Distância entre pontos e ponto médio

Fórmulas fundamentais — pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂)
Distância AB d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
Ponto médio M M = ( x₁+x₂2 , y₁+y₂2 )
Demonstração — fórmula da distância
A distância entre dois pontos é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças de coordenadas.
▶ Ver demonstração
1
O ponto C = (x₂, y₁) forma um triângulo retângulo com A e B.
2
AC = |x₂−x₁| (segmento horizontal) e BC = |y₂−y₁| (segmento vertical).
3
Pelo Teorema de Pitágoras: AB² = AC² + BC² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² → AB = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). ■
Exemplo resolvidoMédio
Dados A(1, 2) e B(5, 5), calcule: (a) a distância AB; (b) o ponto médio M; (c) o ponto P que divide AB na razão AP:PB = 2:1.
a
d = √((5−1)²+(5−2)²) = √(16+9) = √25 = 5
b
M = ((1+5)/2, (2+5)/2) = (3, 3,5)
c
Divisão interna razão m:n = 2:1: P = ((1·1+2·5)/3, (1·2+2·5)/3) = (11/3, 4)
d=5 | M=(3; 3,5) | P=(11/3; 4)
Divisão de segmento

Divisão interna e externa de segmento

Fórmula de divisão — razão m:n

O ponto P que divide AB internamente na razão AP:PB = m:n tem coordenadas:

P = ( m·x₂ + n·x₁m+n , m·y₂ + n·y₁m+n )

Para divisão externa com razão m:n (P fora do segmento), usa-se m−n no denominador: P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m−n), (m·y₂ − n·y₁)/(m−n))

Baricentro de triângulo: O baricentro G do triângulo de vértices A, B, C é o ponto médio de cada mediana, dado por: G = ((x_A+x_B+x_C)/3, (y_A+y_B+y_C)/3). Isso é direto da fórmula de divisão 2:1 nas medianas.
Área pelo determinante

Área de triângulo por coordenadas

Fórmula de Gauss (Shoelace)
A área do triângulo com vértices A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) é:
A = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
Equivalentemente, é o módulo de metade do determinante da matriz 3×3 com coluna extra de 1s. O sinal indica orientação (positivo = anti-horário).
Pontos colineares: A = 0 ↔ A, B, C são colineares. Essa é a condição analítica de colinearidade mais rápida de verificar.
Exemplo resolvidoMédio
Calcule a área do triângulo A(0,0), B(4,0), C(1,3) e verifique se D(2,5) é colinear com A e C.
1
Área △ABC: ½|0(0−3)+4(3−0)+1(0−0)| = ½|0+12+0| = 6 u²
2
Colinearidade A, C, D: ½|0(3−5)+1(5−0)+2(0−3)| = ½|0+5−6| = ½ ≠ 0 → não colineares.
Área = 6 u² | D não é colinear com A e C
Equações da reta

Equações da reta

Formas da equação de uma reta
Geral ax + by + c = 0  (a,b não ambos nulos)
Reduzida y = mx + n  (m = coef. angular, n = coef. linear)
Segmentária xa + yb = 1  (a = intercepto em x, b = intercepto em y)
Ponto-inclinação y − y₁ = m(x − x₁)
Dois pontos y−y₁y₂−y₁ = x−x₁x₂−x₁
Coeficiente angular m = tg θ = y₂−y₁x₂−x₁
Casos especiais: Reta horizontal y = k tem m = 0. Reta vertical x = k não tem coeficiente angular (m indefinido, equação geral: x − k = 0). A forma reduzida não representa retas verticais.
Exemplo resolvidoMédio
Encontre a equação da reta que passa por A(2,1) e B(−1,4). Escreva nas formas reduzida e geral.
1
Coeficiente angular: m = (4−1)/(−1−2) = 3/(−3) = −1
2
Ponto-inclinação em A: y − 1 = −1(x − 2) → y = −x + 3
3
Forma geral: x + y − 3 = 0
y = −x + 3  |  x + y − 3 = 0
Posições relativas

Posições relativas entre retas

PosiçãoCondição algébricaCoef. angularesSistema linear
Paralelas (sem ponto comum)a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂m₁ = m₂Impossível
Coincidentesa₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂m₁ = m₂, n₁ = n₂Indeterminado
Concorrentesa₁/a₂ ≠ b₁/b₂m₁ ≠ m₂Determinado (1 solução)
Perpendicularesa₁a₂ + b₁b₂ = 0m₁·m₂ = −1Determinado
⚠️
Atenção ao caso perpendicular: a relação m₁·m₂ = −1 só vale quando ambas as retas têm coeficiente angular definido. Se uma é vertical (x = k), a perpendicular é horizontal (y = c), e vice-versa — sem usar a fórmula do produto.
Ângulo entre retas

Ângulo entre duas retas

Fórmula do ângulo
O ângulo agudo θ entre duas retas com coeficientes angulares m₁ e m₂ é:
tg θ = | m₁ − m₂1 + m₁m₂ |
▶ Ver demonstração
1
Seja θ₁ o ângulo de r₁ com o eixo x e θ₂ o ângulo de r₂. Então m₁ = tg θ₁ e m₂ = tg θ₂.
2
O ângulo entre as retas é θ = θ₁ − θ₂ (ou θ₂ − θ₁). Use a identidade da tangente da diferença: tg(θ₁−θ₂) = (tgθ₁ − tgθ₂)/(1 + tgθ₁·tgθ₂)
3
Substituindo: tg θ = (m₁−m₂)/(1+m₁m₂). O módulo garante o ângulo agudo. ■
Exemplo resolvidoDifícil
Calcule o ângulo entre r₁: y = 2x+1 e r₂: y = −x+3.
1
m₁ = 2, m₂ = −1. Produto: m₁·m₂ = −2 ≠ −1 → não perpendiculares.
2
tgθ = |(2−(−1))/(1+2·(−1))| = |3/(1−2)| = |3/(−1)| = 3
3
θ = arctg(3) ≈ 71,6°
θ = arctg(3) ≈ 71,6°
Distância ponto–reta

Distância de um ponto a uma reta

Fórmula
A distância do ponto P(x₀, y₀) à reta r: ax + by + c = 0 é:
d(P, r) = |ax₀ + by₀ + c| √(a² + b²)
▶ Ver demonstração
1
Trace por P a perpendicular a r. Seja Q o pé dessa perpendicular. A distância é d = PQ.
2
O vetor normal a r: ax + by + c = 0 é n = (a, b). A direção de PQ é paralela a n.
3
Parametrize: Q = P + t·n = (x₀+ta, y₀+tb). Para Q ∈ r: a(x₀+ta) + b(y₀+tb) + c = 0 → t = −(ax₀+by₀+c)/(a²+b²).
4
d = |t|·|n| = |ax₀+by₀+c|/(a²+b²) · √(a²+b²) = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). ■
Distância entre retas paralelas ax+by+c₁=0 e ax+by+c₂=0: d = |c₁−c₂|/√(a²+b²). Basta calcular a distância de qualquer ponto de uma reta à outra.
Exemplo resolvidoDifícil
Encontre os pontos da reta r: y = x que distam 2√2 da reta s: x − y + 4 = 0.
1
Um ponto genérico de r: P = (t, t). Distância a s: |t−t+4|/√(1+1) = |4|/√2 = 4/√2 = 2√2 ✓
2
A distância é constante 2√2 para qualquer t → r ∥ s. Verificação: r: x−y = 0; s: x−y+4 = 0. Mesmos coeficientes, intercept diferente → paralelas.
Todos os pontos de r distam 2√2 de s (retas paralelas)
Exemplo resolvidoDifícil
O ponto P(k, 2) dista 3 da reta 3x − 4y + 1 = 0. Encontre k.
1
d = |3k − 4·2 + 1|/√(9+16) = |3k − 7|/5 = 3
2
|3k−7| = 15 → 3k−7 = 15 ou 3k−7 = −15
3
k = 22/3 ou k = −8/3
k = 22/3 ou k = −8/3
Exercícios

Exercícios

Exercício 1 — Distância
A distância entre A(−1, 3) e B(3, 0) é:
Exercício 2 — Equação da reta
A reta que passa por (0,3) e tem coef. angular −2 é:
Exercício 3 — Posição relativa
As retas y = 3x + 1 e y = 3x − 5 são:
Exercício 4 — Distância ponto–reta
A distância do ponto (2, 1) à reta 3x + 4y − 5 = 0 é:
Exercício 5 — Ângulo entre retas
As retas y = x e y = 2x formam entre si um ângulo θ com tgθ igual a: