Logaritmos — EstudaMath

Definição

Se bˣ = N, então dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Em outras palavras:

Definição

log_b(N) = x ⟺ bˣ = N

b > 0, b ≠ 1 | N > 0 | x ∈ ℝ

Exemplos rápidos:

Logarítmico	Exponencial equivalente	Resultado
`log₂(8)`	`2³ = 8`	3
`log₁₀(1000)`	`10³ = 1000`	3
`log₅(25)`	`5² = 25`	2
`log₃(1)`	`3⁰ = 1`	0
`log₂(1/2)`	`2⁻¹ = 1/2`	−1

💡

Macete: "log base b de N é o expoente que b precisa receber para virar N". Se log₂(32) = ?, pergunte: "2 elevado a quanto dá 32?" → 2⁵ = 32, então log₂(32) = 5.

Propriedades dos logaritmos

As propriedades abaixo simplificam cálculos e são essenciais para resolver equações.

Propriedades fundamentais

Produto log_b(M·N) = log_bM + log_bN
Quociente log_b(MN) = log_bM − log_bN
Potência log_b(Mⁿ) = n · log_bM
Base log_b(b) = 1 log_b(1) = 0

Mudança de base

Permite calcular qualquer logaritmo usando apenas log₁₀ ou ln (disponíveis em calculadoras).

Mudança de base

Fórmula log_b(N) = log(N)log(b)

Válido para qualquer base intermediária

Exemplo — usando propriedades

Simplifique: log₂(32) + log₂(4) − log₂(8)

1

Converta cada termo: log₂(32)=5, log₂(4)=2, log₂(8)=3

2

Ou use a propriedade: log₂(32×4/8) = log₂(16) = 4

Resultado: 4

Logaritmo natural (ln)

Quando a base é o número de Euler e ≈ 2,718…, usamos a notação ln (logaritmo natural).

Logaritmo natural

ln(x) = log_e(x)

ln(1) = 0 | ln(e) = 1 | ln(eˣ) = x | e^(ln x) = x

O ln é amplamente usado em cálculo, física e ciências naturais, por exemplo em modelos de crescimento e decaimento exponencial.

Exemplo — equação com ln

Resolva: ln(x) = 3

1

Aplique exponencial nos dois lados: e^(ln x) = e³

2

x = e³ ≈ 20,09

x = e³ ≈ 20,09

Gráfico da função logarítmica

A função f(x) = log(x) só existe para x > 0. O gráfico sempre passa por (1, 0) e cresce de forma cada vez mais lenta.

f(x) = log₁₀(x) — cresce devagar, sempre passa por (1, 0) e (10, 1)

f(x) = ln(x) — logaritmo natural, passa por (1, 0) e (e, 1)

Aplicações do logaritmo

Escala Richter (terremotos)

A escala Richter é logarítmica na base 10. Um terremoto de magnitude 6 é 10× mais intenso que um de magnitude 5.

pH em química

pH

pH = −log₁₀[H⁺]

Onde [H⁺] é a concentração de íons hidrogênio (mol/L)

Juros e tempo de duplicação

Para saber em quantos períodos um capital dobra com taxa i, usamos:

Regra exata

Fórmula n = log(2)log(1 + i)

Para i = 10% ao ano → n = log(2)/log(1.1) ≈ 7,27 anos

📌

Regra dos 70: uma aproximação prática — divida 70 pela taxa percentual e obtenha o tempo de duplicação. Ex.: 10% ao ano → 70/10 = 7 anos.

Exercício

🧠 Teste seu conhecimento

Qual é o valor de log₃(81)?