Trigonometria no triângulo retângulo

1. Os agudos somam 90°. Subtraindo 38°, encontramos 52°. A soma com o reto é 90°+38°+52°=180°.

1. A hipotenusa é oposta ao vértice do ângulo reto e é maior que cada cateto. Girar ou espelhar a figura não muda essa identificação.

1. CB não toca A e é o cateto oposto. AC toca A e C e é o cateto adjacente. AB é a hipotenusa, não o cateto adjacente.

1. Seno é oposto dividido pela hipotenusa: 5/13. O outro cateto seria doze, mas não entra na razão solicitada. O quociente não tem unidade.

1. Cosseno é adjacente/hipotenusa. A razão 9/15 simplifica para 3/5; a hipotenusa fica no denominador.

1. A tangente compara os catetos, o/a=12/5. Ela pode superar um; é o seno e o cosseno agudos que ficam abaixo de um.

1. A ampliação produz oposto 24 e hipotenusa 51. A razão 24/51=8/17 não muda: o mesmo fator positivo é cancelado no numerador e no denominador.

1. cos²θ=1−9/25=16/25. O cosseno de um agudo é positivo, portanto cosθ=4/5. O valor 16/25 é seu quadrado.

1. sen²θ=1−25/169=144/169. A raiz positiva dá 12/13, pois estamos no domínio agudo.

1. Podemos tomar oposto três e adjacente quatro. A hipotenusa vale cinco por Pitágoras. Logo seno três quintos e cosseno quatro quintos.

1. 26° e 64° somam 90°. O seno de um agudo é o cosseno de seu complemento, pois as duas razões usam o mesmo cateto e a mesma hipotenusa.

1. As tangentes de agudos complementares são recíprocas. Trocar a referência transforma oposto/adjacente em adjacente/oposto: 12/5.

1. No retângulo isósceles, os catetos podem medir um e um, e a hipotenusa √2. A razão é 1/√2=√2/2.

1. Na metade do equilátero, para 30°, o oposto mede q e o adjacente q√3. A razão q/(q√3)=1/√3=√3/3.

1. o=c sen60°=24·√3/2=12√3 m. É menor que a hipotenusa, e o outro cateto mede doze.

1. sen30°=6/c. Assim c=6/(1/2)=12 cm. A hipotenusa precisa ser maior que seis; multiplicar seis por meio não resolve a igualdade.

1. tg45°=10/a=1, portanto a=10 m. Os dois catetos do retângulo isósceles são iguais; a hipotenusa é que mede 10√2.

1. As duas razões valem meio. Seu produto é (1/2)(1/2)=1/4; não confunda produto e soma.

1. Triângulos com lados q,q√3,2q têm esses ângulos para qualquer q>0. Por exemplo, q=1 e q=2 produzem hipotenusas diferentes.

1. Inclinação percentual é 100·h/d=100·3/4=75%. Dividir pela rampa de cinco metros daria uma razão diferente, e o ângulo em graus também é outra grandeza.

1. Converta a hipotenusa para cinquenta centímetros: 30/50=0,6. A razão não tem unidade e pertence ao intervalo (0,1).

1. A área pelos catetos é 9·12/2=54 cm². Usando a hipotenusa como base: $54=15h_c/2$, portanto $h_c=108/15=7{,}2$ cm.

1. A projeção correspondente a AC satisfaz AC²=AB·AH. Assim AH=64/10=6,4. O outro trecho mede 3,6 e a soma vale dez.

1. A tangente dá a diferença acima do aparelho: H−2=15 tan45°=15. Some os dois metros da altura do aparelho: H=17 m.

1. tan45°=h/d=10/d=1, logo d=10 m. O comprimento inclinado da linha de visão seria 10√2 m, mas não foi pedido.

1. Seno agudo exige 0<(k−1)/2<1, equivalente a 1<k<3. Para qualquer valor desse intervalo, hipotenusa um, oposto s=(k−1)/2 e adjacente √(1−s²) formam o triângulo. Os extremos produziriam cateto zero.

Adjacente 10 cm, oposto 24 cm; senθ=12/13 e tgθ=12/5; área 120 cm².

1. O cateto adjacente satisfaz a/c=5/13. Como c=26, a=26·5/13=10 cm.
2. Pitágoras dá o²=26²−10²=676−100=576. O comprimento positivo é o=24 cm, sem a opção −24.
3. Seno é 24/26=12/13 e tangente é 24/10=12/5. A área pelos catetos é 10·24/2=120 cm².
4. Conferindo: 10²+24²=676=26² e 10/26=5/13. Os dois catetos são positivos e menores que a hipotenusa; a tangente maior que um é permitida.

Distância $d=12\text{ m}$ e altura $H=1{,}6+12\sqrt3\text{ m}\approx22{,}38\text{ m}$.

1. Se d é a distância próxima, a distante está a d+24. Os aparelhos estão na mesma altura, então a diferença vertical até o topo é a mesma h=H−1,6.
2. Escreva h=d tan60°=d√3 e h=(d+24)tan30°=(d+24)√3/3.
3. Igualando e multiplicando por 3/√3, obtemos 3d=d+24. Portanto d=12 m e h=12√3 m.
4. A altura total é H=1,6+h=1,6+12√3 m, aproximadamente 22,38 m. Não descarte a altura dos aparelhos.
5. Conferindo: h/12=√3 no ponto próximo e h/36=√3/3 no distante. As distâncias são positivas e a próxima estação tem o maior ângulo.

Subida $3\text{ m}$, comprimento $\sqrt{634}\text{ m}\approx25{,}18\text{ m}$ e ângulo $\theta\approx6{,}84^\circ$.

1. A inclinação significa h/d=12/100=0,12. Com d=25 m, h=0,12·25=3 m.
2. O comprimento inclinado L é a hipotenusa: L²=25²+3²=634. Logo L=√634 m≈25,18 m.
3. tgθ=h/d=3/25=0,12. No modo DEG, arctan(0,12)≈6,84277341°, portanto θ≈6,84°.
4. A conferência percentual é 100·3/25=12%. O denominador não é √634; o ângulo também não é 12°. Arredondamos apenas os resultados finais.

$\sin15^\circ=(\sqrt6-\sqrt2)/4$ e $\cos15^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)/4$.

1. Escreva t=2−√3>0. Pela relação tangente=seno/cosseno, sen15°=t cos15°. Substituir na relação fundamental dá (1+t²)cos²15°=1.
2. Como t²=7−4√3, temos 1+t²=8−4√3=(√6−√2)². O cosseno é positivo, então cos15°=1/(√6−√2).
3. Racionalizando: $\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{6-2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
4. O seno é $t\cos15^\circ=\frac{(2-\sqrt3)(\sqrt6+\sqrt2)}4=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, também positivo. No numerador, a distribuição fornece $2\sqrt6+2\sqrt2-3\sqrt2-\sqrt6=\sqrt6-\sqrt2$, usando $\sqrt3\sqrt6=\sqrt{18}=3\sqrt2$ e $\sqrt3\sqrt2=\sqrt6$.
5. Os quadrados somam [(8−4√3)+(8+4√3)]/16=1. O quociente seno/cosseno é (√6−√2)/(√6+√2)=(8−4√3)/4=2−√3, como dado.