Trigonometria em triângulos quaisquer

1. AB é c e está oposto ao vértice C. A proporção correta contém c/senC.

1. A desigualdade triangular exige |9−4|<x<9+4. Os extremos 5 e 13 alinhariam os vértices e são excluídos.

1. Ampliar todos os lados por um fator positivo mantém os ângulos e muda comprimentos, raio e área. Falta um comprimento para fixar a escala.

1. A lei dos cossenos dá a²=25+49−2·5·7·(1/2)=39. O lado é a raiz positiva √39 cm.

1. cos120°=−1/2. O quadrado do lado é 9+25−30(−1/2)=49, então o lado mede sete metros.

1. cosA=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2. O ângulo interno correspondente é 120°.

1. Os lados formam triângulo, pois 6+8>11. O maior lado é onze: 121>36+64=100, então seu ângulo oposto é obtuso.

1. K=8·9·sen30°/2=72·(1/2)/2=18 cm². É uma área, com unidade quadrada.

1. b=a senB/senA=10(√3/2)/(1/2)=10√3 m. O lado maior corresponde ao ângulo maior.

1. A razão comum é 2R, o diâmetro. Então R=14/2=7 cm.

1. Todo lado é uma corda e satisfaz a=2RsenA≤2R=8 m. Nove exigiria seno maior que um.

1. R=10/(2sen30°)=10/(2·1/2)=10 cm.

1. K=abc/(4R)=(5·12·13)/(4·6,5)=780/26=30 m².

1. h=b senA=6. Como a=5<h, não há interseção útil; equivalentemente senB=12·(1/2)/5=6/5>1.

1. h=12sen30°=6=a. A circunferência é tangente à semirreta, fornecendo um triângulo com B reto. C=60° é positivo.

1. h=6 e h<a=8<b=12. É o intervalo agudo com duas interseções válidas e dois triângulos não congruentes.

1. senB=1/2 dá B=30° ou 150°. O segundo fornece C=0° e é descartado. Resta B=30°, C=120°.

1. senB=sen120° fornece B=60° ou 120°. Com A=120°, o terceiro ângulo seria zero ou negativo. Também a≤b contraria a condição do caso obtuso.

1. No caso reto ou obtuso, a>b é condição necessária e suficiente para uma única solução. Aqui 14>7. O suplemento do candidato agudo para B não cabe na soma com A.

1. B pode ser 30° ou 150° antes da filtragem. O primeiro dá C=80°; o segundo dá C=−40°. Só 30° é aceito.

1. c=bcosA±√(a²−b²sen²A)=4√3±√(25−16)=4√3±3. As duas raízes são positivas e distintas.

1. s=(5+5+8)/2=9. Heron dá K=√(9·4·4·1)=12 cm². A altura relativa à base oito mede três e confirma 8·3/2=12.

1. K=rs, logo r=K/s=30/15=2 cm. O semiperímetro não é o perímetro inteiro.

1. $m_a=\sqrt{2\cdot25+2\cdot25-64}/2=\sqrt{36}/2=3$ cm. Neste isósceles específico ela também é altura, o que confirma √(25−16)=3.

1. BD/DC=AB/AC=2/3. Como os segmentos somam quinze, BD=(2/5)·15=6 e DC=9.

1. O ângulo interno no ponto do giro é 120°. Assim d²=25+9−30cos120°=34+15=49 e d=7 km. O percurso foi 8 km.

$C=30^\circ$, $b=6\sqrt3\text{ cm}$, $c=6\text{ cm}$, $K=9\sqrt3\text{ cm}^2$ e $R=6\text{ cm}$.

1. C=180°−30°−120°=30°. Os ângulos são positivos e somam 180°, e o lado conhecido é positivo.
2. A razão comum é a/senA=6/(1/2)=12 cm. Logo b=12sen120°=6√3 cm e c=12sen30°=6 cm.
3. A área usa os lados b,c e o ângulo A entre eles: K=(6√3)(6)sen30°/2=9√3 cm².
4. A razão comum é 2R=12 cm, portanto R=6 cm. Também abc/(4R)=6·6√3·6/24=9√3 cm², confirmando a área.
5. B=120° é o maior ângulo e b=6√3 é o maior lado. A correspondência e a classificação obtusa conferem.

Duas soluções: $c=8\sqrt3+6\text{ cm}$, $B\approx53{,}13^\circ$, $C\approx96{,}87^\circ$, $K=32\sqrt3+24\text{ cm}^2$; ou $c=8\sqrt3-6\text{ cm}$, $B\approx126{,}87^\circ$, $C\approx23{,}13^\circ$, $K=32\sqrt3-24\text{ cm}^2$.

1. h=b senA=8 cm. Como h<a=10<b=16, esperamos dois triângulos.
2. senB=16·(1/2)/10=4/5. B₀≈53,130102° e B₁≈126,869898° dão C≈96,869898° e C≈23,130102°, respectivamente; ambos são positivos.
3. Pela fórmula dos lados, c=16cos30°±√(100−256sen²30°)=8√3±√36=8√3±6 cm. Ambas as raízes são positivas.
4. A equação é c²−16√3c+156=0. Os valores encontrados têm soma 16√3 e produto (8√3)²−36=156, confirmando as duas raízes.
5. K=bc senA/2=4c. Portanto as áreas são 32√3+24≈79,43 cm² e 32√3−24≈31,43 cm². Cada área acompanha seu próprio terceiro lado e seus próprios ângulos.

$K=42\text{ cm}^2$, altura $21/5\text{ cm}$, $r=2\text{ cm}$ e $R=25/2\text{ cm}$; triângulo obtusângulo.

1. A maior medida vinte é menor que 7+15=22 e maior que |15−7|=8. Os lados são positivos e formam um triângulo não degenerado.
2. s=(7+15+20)/2=21 cm. K=√(21·14·6·1)=√1764=42 cm².
3. A altura relativa ao lado vinte é 2K/20=84/20=21/5 cm. O raio inscrito é r=K/s=42/21=2 cm.
4. O raio circunscrito é R=7·15·20/(4·42)=2100/168=25/2 cm. Seu diâmetro é vinte e cinco, maior que o maior lado vinte, como deve ocorrer.
5. 20²=400>7²+15²=274. O ângulo oposto ao lado vinte é obtuso; logo o triângulo é obtusângulo.

$CP\approx29{,}28\text{ m}$, $DP\approx20{,}71\text{ m}$, $h\approx14{,}64\text{ m}$ e $K\approx292{,}82\text{ m}^2$.

1. O ângulo no alvo é 180°−30°−45°=105°. A soma é válida e todos os senos internos são positivos. Use modo DEG para os cálculos em graus.
2. CP é oposto ao ângulo de 45°: CP=40sen45°/sen105°≈29,2820323 m. DP é oposto a 30°: DP=40sen30°/sen105°≈20,7055236 m.
3. A altura é h=CP sen30°≈14,6410162 m. Ela não é igual a nenhuma das duas distâncias de visada.
4. K=40h/2≈292,8203230 m². Só ao final arredondamos: CP≈29,28 m, DP≈20,71 m, h≈14,64 m e K≈292,82 m².
5. Como conferência, CP cos30° é a projeção a partir de C, e DP cos45° é a projeção a partir de D. A soma é quarenta metros, confirmando as duas visadas no mesmo triângulo.