Transformações trigonométricas

1. sen²30° é (sen30°)²=(1/2)²=1/4. Em sen(2·30°), primeiro dobramos a medida, obtendo sen60°=√3/2. Expoente fora e multiplicação dentro do argumento não são intercambiáveis.

1. Os dois senos valem zero, então y(0)=0. Como cos0=1, os limites são ±2. A desigualdade |y(t)|≤2|cost| não afirma que a curva atinja o limite em todo instante.

1. Escreva 15°=45°−30°. O cosseno da diferença soma os produtos: (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4.

1. O seno da soma usa dois produtos mistos com sinal positivo. Substituindo os valores notáveis, obtemos (√6+√2)/4. Somar os senos individuais seria outra operação.

1. Use 15°=45°−30°: tg15°=(1−1/√3)/(1+1/√3)=(√3−1)/(√3+1). Multiplicar pelo conjugado do denominador dá (4−2√3)/2=2−√3. Todas as tangentes envolvidas e o denominador estão definidos.

1. A expressão final é tg(3π/4)=−1 e existe. A forma por tangentes individuais não pode ser usada porque cos(π/2)=0. A condição de uma escrita auxiliar não deve ser confundida com o domínio da expressão final.

1. As tangentes individuais valem um, mas o denominador 1−1·1 é zero. O cosseno da soma π/2 é zero; portanto a tangente final é indefinida. Divisão por zero não recebe valor real.

1. Recupere cosα=−4/5 e senβ=−5/13 pelos quadrantes. Então sen(α+β)=(3/5)(12/13)+(−4/5)(−5/13)=(36+20)/65=56/65.

1. O denominador original é 2sena. As expansões do numerador produzem 2senx sena; cancelar o fator exige sena≠0. O resultado senx não autoriza preencher as entradas excluídas em a.

1. Para β=π/2, cosβ=0 e senβ=1. Logo X=3·0−1·1=−1 e Y=3·1+1·0=3. A distância à origem continua √10.

1. R=√(9+16)=5. Comparar coeficientes dá cosφ=−3/5 e senφ=4/5, o que exige o II quadrante. Só conhecer a tangente negativa não distingue II de IV.

1. cosx=−√(1−9/25)=−4/5. Assim sen(2x)=2(3/5)(−4/5)=−24/25. Dobrar o seno, obtendo 6/5, não é dobrar o argumento e ainda sairia da imagem do seno.

1. Use cos(2x)=1−2sen²x=1−18/25=7/25. Essa forma depende só do quadrado do seno e não exige escolher o sinal do cosseno original.

1. O denominador 1−9/16=7/16 é não nulo. Então tg(2x)=2(−3/4)/(7/16)=−24/7.

1. tg(2x)=tgπ=0. Já tgx=tg(π/2) não existe, logo a escrita auxiliar não pode ser avaliada. A identidade nessa forma tem domínio menor que a expressão original.

1. Em cos²u=(1+cos2u)/2, substitua u por 3x. O argumento duplo é 6x e o sinal é positivo porque a potência é do cosseno.

1. A redução dá (3+cos4x)/4. Como o mínimo de cos4x é −1 e é atingido, o mínimo da expressão é (3−1)/4=1/2, por exemplo em x=π/4.

1. sen(3x)=3senx−4sen³x=1−4/27=23/27. A fórmula vale para qualquer quadrante compatível com o dado, sem recuperar o ângulo.

1. α/2=150°, no II quadrante. A raiz dá módulo √((1+cos300°)/2)=√3/2, mas o cosseno deve ser negativo nesse quadrante.

1. A diferença entre os arcos originais é uma volta de 360°; entre as metades, é meia volta de 180°. Logo os pontos das metades são opostos no ciclo. Controlar a volta é necessário ao usar arco metade.

1. A primeira forma da aula, senx/(1+cosx), existe quando cosx≠−1 e inclui x=0. A outra escrita exige senx≠0 e é indefinida nessa entrada. 0/0 não é zero.

1. A fórmula dá [sen(2x+5x)+sen(2x−5x)]/2=[sen7x+sen(−3x)]/2. Pela imparidade do seno, isso é (sen7x−sen3x)/2.

1. A meia soma é (5x+x)/2=3x; a meia diferença é (5x−x)/2=2x. A fórmula fornece 2sen3x cos2x para todo x real.

1. A diferença de cossenos é −2sen((x+3x)/2)sen((x−3x)/2)=−2sen2x sen(−x). O último seno é −senx, dando +2sen2x senx.

1. O denominador original é 2cos3x cos2x, então ambos os fatores devem ser não nulos. O cancelamento de cos2x é válido no domínio, mas não devolve suas entradas excluídas.

1. 1+t²=5, então senx=2t/(1+t²)=4/5 e cosx=(1−t²)/(1+t²)=−3/5. A parametrização exige t definido e não determina a quantidade de voltas de x.

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$. $\cos15^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)/4$, $\sin15^\circ=(\sqrt6-\sqrt2)/4$, $\tan15^\circ=2-\sqrt3$.

1. Por coordenadas, PQ²=(cosα−cosβ)²+(senα−senβ)²=2−2(cosαcosβ+senαsenβ), usando a relação fundamental nas duas parcelas.
2. A rotação conserva distâncias e leva Q a (1,0), P ao argumento α−β. A distância ao quadrado passa a 2−2cos(α−β). Igualar, retirar dois e dividir por −2 demonstra o cosseno da diferença para quaisquer argumentos reais.
3. Trocar β por −β e usar paridade fornece cos(α+β)=cosαcosβ−senαsenβ. Pelos complementares e pela paridade, obtemos também seno da soma/diferença.
4. Com 15°=45°−30°, o cosseno é (√6+√2)/4 e o seno (√6−√2)/4. cos15° é positivo e não nulo; portanto a tangente existe.
5. Pela fórmula da diferença das tangentes, tan15°=(1−1/√3)/(1+1/√3)=2−√3; as tangentes individuais existem e o denominador 1+1/√3 é não nulo.

$\sin x=-24/25$; $\sin2x=336/625$, $\cos2x=-527/625$, $\tan2x=-336/527$. $\sin(x/2)=4/5$, $\cos(x/2)=-3/5$, $\tan(x/2)=-4/3$.

1. x está no III quadrante. sen²x=1−49/625=576/625, e seu seno é negativo: senx=−24/25.
2. sen2x=2(−24/25)(−7/25)=336/625; cos2x=2(49/625)−1=−527/625. O cosseno do duplo é não nulo, permitindo tan2x=−336/527.
3. A metade satisfaz π/2<x/2<3π/4, no II quadrante. Portanto seu seno é positivo e seu cosseno negativo.
4. sen(x/2)=√((1+7/25)/2)=4/5 e cos(x/2)=−√((1−7/25)/2)=−3/5. O cosseno da metade é não nulo; tan(x/2)=(4/5)/(−3/5)=−4/3.
5. A forma sem raízes confere: senx/(1+cosx)=(−24/25)/(18/25)=−4/3, com denominador não nulo.

$2\sin3x\cos4x=\sin7x-\sin x$. O quociente é $\tan5x$ onde $\cos5x\ne0$ e $\cos2x\ne0$. Em $x=\pi/4$, o original não existe e a tangente simplificada vale $1$.

1. Produto misto: 2sen3x cos4x=sen(7x)+sen(−x)=sen7x−senx, pela imparidade.
2. Na soma do quociente, a meia soma dos argumentos é 5x e a meia diferença é 2x. O numerador é 2sen5x cos2x, e o denominador 2cos5x cos2x.
3. O domínio exige cos5x≠0 e cos2x≠0. Só nesse domínio podemos cancelar 2cos2x e obter tan5x.
4. Em x=π/4, cos2x=0. As somas originais são ambas zero: seno de 7π/4 mais seno de 3π/4 e cosseno de 7π/4 mais cosseno de 3π/4. O quociente 0/0 é indefinido.
5. A tangente de 5π/4 vale um, pois seu cosseno é não nulo. Esse valor pertence à função simplificada, mas não à expressão original: a condição cancelada deve ser mantida.

$y(t)=4+10\sin(2t+\varphi)$ com $\varphi=-\arctan(4/3)$. Linha média $4$, amplitude $10$, imagem $[-6,14]$, $T=\pi$ s, frequência $1/\pi$ Hz, $y(0)=-4$. Primeiro máximo em $t=\pi/4+\tfrac12\arctan(4/3)$ s.

1. R=√(6²+(−8)²)=10. Comparar coeficientes exige cosφ=6/10=3/5 e senφ=−8/10=−4/5. Podemos escolher φ no IV quadrante como −arctan(4/3).
2. A linha média é quatro, a amplitude dez e a imagem [4−10,4+10]=[−6,14]. Não se somam os módulos dos coeficientes para obter amplitude.
3. A escala do argumento é dois, então T=2π/2=π s e a frequência é 1/π Hz. Em t=0, y=4−8=−4, conferindo o modelo transformado.
4. O máximo exige seno um. Como φ∈(−π/2,0), o primeiro argumento de máximo alcançado quando t cresce desde zero é π/2. Assim 2t+φ=π/2, ou t=π/4+(1/2)arctan(4/3).
5. O máximo anterior estaria um período π antes e seria negativo; portanto o instante encontrado é o primeiro no tempo não negativo. O valor máximo é quatorze.