Relações fundamentais e redução de arcos

1. A relação vem de x²+y²=1 no ciclo. Os quadrados das coordenadas satisfazem a mesma equação em todos os quadrantes e eixos.

1. cos²θ=1−49/625=576/625. O módulo é 24/25; no II quadrante o cosseno é negativo.

1. A definição da cotangente usa seno não nulo. Em π/2 ela existe e vale zero; a expressão 1/tg(π/2) é que não existe.

1. Secante é 1/cosθ=1/(−5/13)=−13/5. Recíproco não troca o sinal.

1. Cossecante é 1/seno. Como sen0=0, a expressão tentaria dividir um por zero e não tem valor real.

1. Tangente e cotangente precisam existir simultaneamente. Uma exclui cosseno zero e a outra, seno zero. Só então seus fatores podem ser cancelados.

1. Dividindo cada termo por cos²θ, obtemos sen²θ/cos²θ+1=1/cos²θ. As definições dão a identidade indicada.

1. cot²θ=csc²θ−1=289/225−1=64/225. No III quadrante os dois sinais das coordenadas são negativos, então a cotangente é positiva: 8/15.

1. Secante 3/4 exigiria cosseno 4/3, fora do intervalo [−1,1]. Os demais valores são atingidos no domínio de cada razão.

1. Secante tem o sinal do cosseno. Seno positivo e cosseno negativo determinam o II quadrante; as desigualdades estritas excluem os eixos.

1. A raiz é |senθ|. No III quadrante o seno é negativo, então seu módulo é −senθ, uma quantidade positiva.

1. (1+9/16)cos²θ=1, portanto cos²θ=16/25. No IV quadrante o cosseno é positivo, fornecendo 4/5.

1. Cosseno é par: cos(−θ)=cosθ. Seus recíprocos também coincidem, desde que o cosseno seja não nulo.

1. 7π/4 está no IV quadrante, com cosseno √2/2 e seno −√2/2. A cotangente é o quociente cosseno/seno, igual a −1.

1. 19π/6−2π=7π/6=π+π/6. Meia volta troca o sinal do seno, então o resultado é −1/2.

1. 5π/3=2π−π/3. O cosseno é cos(π/3)=1/2, então a secante é dois.

1. 4π/3=π+π/3. Cotangente repete após π e vale cot(π/3)=1/√3=√3/3.

1. O quarto de volta transforma (x,y) em (−y,x). A coordenada vertical nova é x=cosθ.

1. cos(π/2−θ)=senθ. Inverter essa igualdade exige senθ≠0 e fornece a cossecante.

1. O ponto transformado é (−senθ,−cosθ). A tangente nova é (−cosθ)/(−senθ)=cotθ; o denominador exige seno não nulo.

1. sen(3π/2+θ)=−cosθ, então seu recíproco é −1/cosθ=−secθ.

1. Somando três voltas, −855°+1080°=225°. O ponto está no III quadrante, com referência 45° e seno −√2/2.

1. O numerador é sen²θ. Cancelar um fator seno fornece senθ, mas exige o seno não nulo do denominador original.

1. Em zero, a primeira é 0/0 e não existe; a segunda é 0/2=0. Elas coincidem no domínio comum, mas os domínios isolados não são iguais.

1. Elevando ao quadrado: 3/4=1+2senθcosθ. Portanto o produto é (3/4−1)/2=−1/8.

1. São necessários cosθ≠0 para a tangente e senθ≠0 para a cossecante. A união dos eixos excluídos é θ=kπ/2.

$\cos\theta=-21/29$, $\tan\theta=20/21$, $\cot\theta=21/20$, $\sec\theta=-29/21$ e $\csc\theta=-29/20$.

1. cos²θ=1−400/841=441/841. No III quadrante o cosseno é negativo, logo cosθ=−21/29.
2. As duas coordenadas são não nulas. Assim tgθ=(−20/29)/(−21/29)=20/21 e cotθ=21/20.
3. Os recíprocos são secθ=−29/21 e cscθ=−29/20. Os sinais concordam com o III quadrante.
4. Conferindo a relação fundamental: 400/841+441/841=1. Conferindo 1+cot²θ=csc²θ: 1+441/400=841/400, igual a (−29/20)². A segunda verificação exige seno não nulo, satisfeito aqui.

Representante $5\pi/6$, quadrante II, referência $\pi/6$. $(\sin\theta,\cos\theta)=(1/2,-\sqrt3/2)$; $\tan\theta=-\sqrt3/3$, $\cot\theta=-\sqrt3$, $\sec\theta=-2\sqrt3/3$, $\csc\theta=2$; $\cos(\pi/2+\theta)=-1/2$.

1. Some 6π=36π/6: θ+6π=5π/6, no II quadrante. A referência é π−5π/6=π/6.
2. A reflexão vertical conserva seno 1/2 e torna o cosseno −√3/2. As duas coordenadas são não nulas, então todas as seis razões existem.
3. Tangente é (1/2)/(−√3/2)=−√3/3; cotangente é −√3. Secante é −2/√3=−2√3/3; cossecante é dois.
4. Um quarto de volta leva (x,y) a (−y,x). A coordenada horizontal nova é −senθ=−1/2, portanto cos(π/2+θ)=−1/2. Essa igualdade não exige excluir nenhum θ real.

A expressão vale 2 onde $\sin\theta\ne0$, isto é, $\theta\ne k\pi$, k inteiro.

1. Os denominadores exigem cosθ≠1 e cosθ≠−1. Pela relação fundamental isso equivale a senθ≠0, ou θ≠kπ.
2. Somando as frações, o numerador é 1+cosθ+1−cosθ=2 e o denominador é (1−cosθ)(1+cosθ)=1−cos²θ=sen²θ.
3. O produto fica (2/sen²θ)sen²θ=2. O cancelamento só foi permitido porque o domínio original já exigia seno não nulo.
4. Em zero o fator 1−cosθ zera; em π o fator 1+cosθ zera. Em ambos, uma fração original não existe. Multiplicação por sen²θ=0 não torna definida uma expressão que continha divisão por zero.

Produto $-4/9$; diferença $\pm\sqrt{17}/3$; pares $\left(\frac{-1+\sqrt{17}}6,\frac{-1-\sqrt{17}}6\right)$ e o par com as coordenadas trocadas.

1. O quadrado da soma dá 1/9=1+2senθcosθ. Portanto o produto é −4/9.
2. O quadrado da diferença é 1−2(−4/9)=17/9, então a diferença pode ser √17/3 ou −√17/3. O enunciado não escolhe sua ordem.
3. Somando e subtraindo as equações da soma e da diferença, seno=(−1/3±√17/3)/2=(−1±√17)/6 e cosseno=(−1∓√17)/6.
4. Em um par o seno é positivo e o cosseno negativo, no II quadrante; no par trocado, seno negativo e cosseno positivo, no IV. Como 4<√17<5, todas as coordenadas estão entre −1 e 1.
5. A soma dos quadrados é ((−1+√17)²+(−1−√17)²)/36=36/36=1. Os dois pares pertencem ao ciclo, têm soma −1/3 e satisfazem o produto; ambos são possíveis.