Funções trigonométricas

1. Uma função associa exatamente uma saída a cada entrada de seu domínio. Entradas distintas podem compartilhar a mesma saída; essa restrição adicional seria a injetividade. f(x) nomeia a saída da regra em x, não um produto.

1. O domínio do seno é ℝ e sua imagem é [−1,1]. Na tangente, π/2 é entrada excluída, porque cos(π/2)=0. Infinito não é um valor real atribuído à função.

1. No gráfico registramos (entrada,saída)=(π/2,sen(π/2))=(π/2,1). O par (0,1) representa o ponto do ciclo trigonométrico, cuja primeira coordenada é o cosseno, não o arco.

1. Nesse trecho o ponto está no II quadrante e sua altura cai de um para zero sem alcançar os extremos no intervalo aberto. Sinal positivo não implica crescimento.

1. O ponto do ciclo atinge a menor coordenada horizontal em x=π, onde cosπ=−1. O valor extremo é a saída −1, enquanto π é a entrada correspondente.

1. Como cos(−x)=cosx, temos f(−x)=2+cos(−x)=2+cosx=f(x). Somar dois a uma função ímpar, como o seno, em geral destrói sua imparidade sem criar paridade.

1. O argumento deve aumentar uma volta completa: 3T=2π. Logo T=2π/3. Embora 2π também seja período, a pergunta pede o menor período positivo.

1. A amplitude é |−3|=3. Multiplicar o intervalo [−1,1] por −3 produz [−3,3]; somar dois dá [−1,5]. A distância do mínimo ao máximo é seis, o dobro da amplitude.

1. Fatore o argumento: 2x−π/3=2(x−π/6). A referência de argumento zero fica em x=π/6. Portanto h=π/6, deslocamento para a direita, e não π/3.

1. d=(11+3)/2=7 e a amplitude é (11−3)/2=4. Como T=8, |b|=2π/8=π/4 rad/s. Esses dados ainda não determinam a fase.

1. O seno é estritamente crescente nesse trecho, aproximando zero sem atingi-lo e atingindo 1/2 na extremidade incluída π/6. Portanto senx∈(0,1/2] e f(x)∈(2,7/2].

1. O argumento é sempre π/6, então f(x)=4+3/2=11/2. Qualquer deslocamento positivo mantém a saída e o domínio ℝ; como sempre existe um deslocamento positivo menor, não há período fundamental. Não usamos 2π/|b| com b=0.

1. No ramo principal a tangente cresce sem limite inferior ou superior, atingindo todas as saídas reais. Ela não tem máximo, mínimo absoluto nem amplitude finita. As assíntotas delimitam entradas excluídas.

1. cos(π/2)=0 e sen(π/2)=1, logo cot(π/2)=0/1=0. A escrita 1/tgx não pode definir a cotangente em todo seu domínio, pois impõe restrições extras.

1. Como secx=1/cosx e 0<|cosx|≤1 no domínio, |secx|≥1. O valor −2 ocorre quando cosx=−1/2. As outras três saídas têm módulo menor que um.

1. O denominador é sen(3x), que zera quando 3x=kπ. Devemos excluir x=kπ/3. A alternativa π/6+kπ/3 corresponderia aos zeros do cosseno.

1. A tangente básica repete a cada π; assim T=π/2. O argumento zera em x=π/4 e g(π/4)=−1. Portanto esse ponto é centro do ramo, mas não é zero da função. x=0 é assíntota.

1. O módulo elimina a troca de sinal: |sen(u+π)|=|−senu|=|senu|. Logo 2T=π e T=π/2. Os zeros são x=kπ/2; qualquer período positivo deve levar o zero de x=0 a outro zero, e o menor candidato positivo π/2 realmente repete a função.

1. O arco seno devolve um ângulo em [−π/2,π/2]. Nesse intervalo, o ângulo cujo seno é −√3/2 é −π/3. Outros ângulos com o mesmo seno ficam fora da faixa principal.

1. O arco cosseno devolve ângulos em [0,π]. Como −1<−1/2<0, a saída está na parte obtusa desse intervalo; cos(2π/3)=−1/2. O ângulo 4π/3 tem o mesmo cosseno, mas não pertence à faixa principal.

1. A tangente principal tem domínio (−π/2,π/2) e imagem ℝ. Ao inverter, arctan recebe qualquer real e devolve somente ângulos desse intervalo aberto. Nenhuma entrada real produz ±π/2.

1. Primeiro sen(7π/6)=−1/2. Depois o arco seno escolhe o ângulo principal em [−π/2,π/2]: −π/6. A simplificação arcsin(senx)=x exige que x já esteja nessa faixa.

1. Se θ=arccos(−3/5), θ está no II quadrante da faixa [0,π]. Seu seno é a raiz positiva √(1−9/25)=4/5. Assim tanθ=(4/5)/(−3/5)=−4/3. O sinal vem da faixa principal.

1. A entrada do arco seno deve ficar entre −1 e 1: −1≤2senx≤1. Dividir a desigualdade por dois dá −1/2≤senx≤1/2. No intervalo dado, isso seleciona [0,π/6]∪[5π/6,7π/6]∪[11π/6,2π].

1. T=2π/(4π)=1/2 s. A frequência é o número de ciclos por segundo: ν=1/T=2 Hz. O coeficiente 4π é a frequência angular em rad/s, não a frequência em Hz.

1. Agora o argumento está explicitamente em graus. Uma volta exige 3T=360, então T=120 nessa variável. O valor 2π/3 seria o período da expressão com argumento em radianos.

Amplitude $4$; imagem $[-1,7]$; $T=\pi$; $h=-\pi/6$. Pontos: $(-\pi/6,-1)$, $(\pi/12,3)$, $(\pi/3,7)$, $(7\pi/12,3)$ e $(5\pi/6,-1)$.

1. d=3, a=−4 e b=2. A amplitude é |a|=4, a linha média é y=3 e a imagem é [3−4,3+4]=[−1,7].
2. T=2π/|2|=π. Fatore 2x+π/3=2(x+π/6); assim h=−π/6, deslocamento de π/6 para a esquerda.
3. Faça u=2x+π/3. A entrada nova é x=(u−π/3)/2. Para u=0,π/2,π,3π/2,2π, as entradas são −π/6,π/12,π/3,7π/12,5π/6.
4. Os cossenos correspondentes são 1,0,−1,0,1; ao aplicar 3−4cosu, as saídas são −1,3,7,3,−1. O fator negativo faz o primeiro ponto ser mínimo.
5. Nesse ciclo fechado, o mínimo −1 ocorre nas duas extremidades −π/6 e 5π/6; o máximo sete ocorre em π/3. Na reta, esses pontos se repetem a cada π.

$D=\mathbb R\setminus\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$; imagem $\mathbb R$; $T=\pi/2$. Assíntotas $x=k\pi/2$. Centro $(\pi/4,2)$, ramo decrescente; pontos $(\pi/8,5)$, $(\pi/4,2)$, $(3\pi/8,-1)$. Zero $x=\pi/4+\tfrac12\arctan(2/3)$.

1. Exclua 2x−π/2=π/2+kπ: x=π/2+kπ/2. Como k percorre todos os inteiros, o mesmo conjunto é x=kπ/2. Essas são as assíntotas verticais.
2. A tangente assume qualquer valor real em cada ramo e os fatores não nulos preservam imagem ℝ. Seu período é π/|2|=π/2; não possui amplitude finita.
3. O argumento zero ocorre em x=π/4, com saída dois. Como ab=−3·2<0, o ramo é decrescente. Para argumentos −π/4,0,π/4, as entradas são π/8,π/4,3π/8 e as saídas são 5,2,−1.
4. O zero exige 2−3tanu=0, isto é, tanu=2/3. No ramo principal, u=arctan(2/3)∈(0,π/2). Então x=(u+π/2)/2=π/4+(1/2)arctan(2/3), que está no ramo (0,π/2).
5. O centro tem saída dois e não é zero. A unicidade do zero nesse ramo decorre do decrescimento estrito e da imagem ℝ; nos demais ramos ele se repete com o período.

$-12/5$; $24/25$; $-\pi/6$. A última expressão proposta, $\tan(\arccos0)$, não existe.

1. Se θ=arccos(−5/13), θ está no II quadrante, onde seno é positivo. senθ=√(1−25/169)=12/13 e tanθ=(12/13)/(−5/13)=−12/5.
2. Se α=arcsin(−7/25), α pertence a [−π/2,π/2], onde o cosseno é não negativo. cosα=√(1−49/625)=24/25, a raiz positiva.
3. sen(11π/6)=−1/2. O ângulo principal com esse seno é −π/6, não 11π/6, que está fora da faixa do arco seno.
4. arccos0=π/2. O arco cosseno existe, mas a tangente dessa saída não existe: seu denominador cos(π/2) é zero. Uma composição exige verificar também o domínio da função externa.

Mínima 4 m; máxima 20 m; período 30 s; frequência 1/30 Hz. H(0)=4 m, H(7,5)=12 m e H(15)=20 m. H=16 m em t=10 s e 20 s; imagem no trecho inicial: [4,12] m.

1. A linha média é 12 m e a amplitude é 8 m. Portanto a cabine vai de 12−8=4 m a 12+8=20 m.
2. O argumento aumenta 2π quando (π/15)T=2π. Logo T=30 s e ν=1/30 Hz. A fórmula estendida à reta é periódica; o modelo físico usa somente tempos não negativos.
3. Em t=0 o argumento é zero, com cosseno um, e H=4. Em t=7,5 o argumento é π/2, com cosseno zero, e H=12. Em t=15 o argumento é π, com cosseno −1, e H=20.
4. H=16 implica 12−8cos(πt/15)=16 e cos(πt/15)=−1/2. Em uma volta fechada, os argumentos são 2π/3 e 4π/3, correspondendo a t=10 e t=20.
5. De zero a 7,5 s, o argumento cresce de zero a π/2, o cosseno decresce de um a zero e a altura cresce de quatro a doze. As duas extremidades estão incluídas; a imagem é [4,12] m.