Equações e inequações trigonométricas

1. A solução deve satisfazer três exigências: estar no universo, pertencer ao domínio original e tornar a igualdade verdadeira. Cancelar ou usar uma inversa não elimina essas verificações.

1. Na primeira volta, as posições são π/6 e 5π/6. Cada uma recebe deslocamentos de 2kπ, com k negativo, zero ou positivo. Somar apenas π troca o sinal do seno e não gera a família pedida.

1. O cosseno é negativo nos quadrantes II e III. Com referência π/3, as entradas são π−π/3=2π/3 e π+π/3=4π/3.

1. O arco tangente principal é −π/4. Como o período da tangente é π, todas as soluções são −π/4+kπ. As entradas π/2+kπ são justamente as exclusões do domínio.

1. 3x=kπ, logo x=kπ/3. O universo impõe 0≤k≤6: os sete inteiros 0,1,2,3,4,5,6. Zero e 2π são entradas distintas e ambas pertencem ao intervalo fechado.

1. As famílias 2x=π/6+2kπ e 2x=5π/6+2kπ dão x=π/12+kπ e x=5π/12+kπ. k=0 e k=1 servem em cada família, pois o argumento percorre duas voltas.

1. Dois senos iguais podem vir de argumentos congruentes ou suplementares por voltas completas. As duas famílias fornecem, respectivamente, x=kπ e x=π/4+kπ/2.

1. Os candidatos de índice ímpar são π/2 mais múltiplos de π e deixam ambas as tangentes indefinidas. Restam os candidatos de índice par, todos os múltiplos inteiros de π, onde as duas razões valem zero.

1. Fatore cosx(senx−1)=0. cosx=0 dá π/2 e 3π/2; senx=1 dá π/2, já incluído. Dividir por cosx perderia uma família válida.

1. A variável u é um valor do cosseno e precisa pertencer a [−1,1]. Dois fica fora dessa imagem. A raiz 1/2 é possível e gera π/3+2kπ e −π/3+2kπ.

1. A combinação tem amplitude √(3²+4²)=5 e imagem [−5,5]. O nível seis não é atingido, portanto não há solução real.

1. O domínio exige cosx≠0. Cancelar nesse domínio dá 2senx=2, mas todos os candidatos senx=1 têm cosx=0. Não existe solução admitida da expressão original.

1. Cotangente é cosx/senx. O numerador deve zerar e o denominador permanecer não nulo, o que ocorre em π/2+kπ. Não precisamos da tangente definida para calcular cotangente nesses pontos.

1. A raiz principal exige cosx≥0. Quadrar fornece senx(senx−1)=0, com candidatos zero, π e π/2. Em π, a raiz é um e o cosseno −1, então a igualdade original falha. Restam zero e π/2.

1. A imagem principal de arcsin é [−π/2,π/2], que não contém 5π/6. Aplicar seno aos dois lados sem conservar essa restrição criaria candidatos que não satisfazem a equação original.

1. O método exclui x=π porque tg(π/2) não existe. Essa exclusão é da substituição, não do seno: senπ=0. A entrada 2π está fora do universo, então a resposta final é {0,π}.

1. As fronteiras são 7π/6 e 11π/6. O seno fica abaixo de −1/2 apenas entre elas; como a comparação é ≥, as fronteiras entram e excluímos somente o interior desse arco inferior. Zero entra e 2π fica fora pelo universo.

1. A reta de abscissa 1/2 encontra π/3 e 5π/3. O arco à esquerda tem cosseno menor ou igual ao nível. A comparação inclui as duas fronteiras.

1. Cada ramo cresce a partir da entrada π/4+kπ, onde a tangente vale um. Os limites π/2+kπ são assíntotas, sempre excluídos. Repetir por π dá as duas faixas admitidas.

1. A faixa do seno é [π/6,5π/6]; a positividade do cosseno restringe à direita do ciclo. A interseção inclui π/6, mas exclui π/2 porque ali o cosseno é zero.

1. cosx+1 é positivo, exceto em π, onde zera. Fora desse ponto, precisamos de senx≥1/2. Em π, o produto vale zero e entra na comparação, embora o primeiro fator seja negativo. O ponto é isolado na solução.

1. Os zeros do numerador são π/6 e 5π/6; os do denominador, π/2 e 3π/2. O quociente é positivo entre π/6 e π/2 e entre 5π/6 e 3π/2. Inclua zeros do numerador, mas nunca os do denominador.

1. −1<tgx<1 equivale a −π/4+kπ<x<π/4+kπ em cada ramo. Intersectar com [0,2π) dá as três faixas; as entradas onde |tgx|=1 ficam fora, e zero entra pelo universo.

1. A raiz exige seno não negativo, mas está no denominador e não pode ser zero. Juntar as duas exigências dá senx>0. O domínio é a união de (2kπ,π+2kπ).

1. a=0 é impossível. Para a≠0, precisamos de 2/a∈[−1,1], equivalente a |a|≥2. Os extremos a=±2 também servem, e valores negativos não podem ser descartados.

1. Isolar o cosseno dá cos(πt/12)≤−1/2, invertendo a comparação ao dividir por −8. Em uma volta, o argumento fica entre 2π/3 e 4π/3, inclusive. Converter de volta produz [8,16] s, com duração oito segundos.

Geral: $x=\pi/6+k\pi$ ou $x=\pi/2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. No intervalo: $S=\{-5\pi/6,-\pi/2,\pi/6,\pi/2\}$.

1. O argumento deve ser π/6+2kπ ou 5π/6+2kπ. k é qualquer inteiro, incluindo negativos, pois o universo geral contém entradas nos dois sentidos.
2. Na primeira família, 2x−π/6=π/6+2kπ dá x=π/6+kπ. Na segunda, 2x−π/6=5π/6+2kπ dá x=π/2+kπ.
3. Impondo −π≤x≤π, em ambas servem k=−1 e k=0. A primeira fornece −5π/6 e π/6; a segunda, −π/2 e π/2.
4. As fronteiras x=±π deixam o argumento congruente a −π/6, com seno −1/2, e não entram. As quatro entradas obtidas dão seno 1/2 na expressão original.

Domínio: $\cos x\ne0$. A primeira condição dá $[\pi/3,\pi/2)\cup(3\pi/2,5\pi/3]$; a segunda dá $[\pi/6,\pi/2)\cup[5\pi/6,3\pi/2)$. Interseção: $S=[\pi/3,\pi/2)$.

1. Ambas as expressões exigem cosx≠0, excluindo π/2 e 3π/2 no universo.
2. Para secx≥2, um cosseno negativo não serve. Com cosx>0, a comparação equivale a 1≥2cosx: 0<cosx≤1/2. Isso dá [π/3,π/2)∪(3π/2,5π/3].
3. No quociente, analise os zeros do numerador π/6 e 5π/6 e as exclusões do denominador. A solução não negativa é [π/6,π/2)∪[5π/6,3π/2).
4. A parte comum é [π/3,π/2). A entrada π/3 satisfaz as duas condições; π/2 é proibida pelo domínio. A faixa do IV quadrante da primeira condição não encontra a segunda.

$S=[\pi/6,\pi/3]\cup[2\pi/3,5\pi/6]\cup[7\pi/6,4\pi/3]\cup[5\pi/3,11\pi/6]$.

1. Faça u=sen²x, com 0≤u≤1. O produto tem raízes 1/4 e 3/4 e coeficiente do termo quadrático positivo. Portanto é não positivo entre as raízes, inclusive: 1/4≤u≤3/4.
2. Voltando, 1/4≤sen²x≤3/4 equivale a 1/2≤|senx|≤√3/2. Isso contempla seno positivo e negativo.
3. No semicírculo superior, as faixas são [π/6,π/3] e [2π/3,5π/6]. No inferior, são [7π/6,4π/3] e [5π/3,11π/6].
4. Todos os extremos entram porque o produto original zera neles e a comparação admite igualdade. Os eixos não servem: neles o produto vale três, positivo.

$T=18$ s. $H=9{,}5$ m em $t=6,12,24,30$ s. $H\ge9{,}5$ m em $[6,12]\cup[24,30]$ s, por $12$ s ao todo. Máximo $12$ m em $t=9$ s e $27$ s.

1. A linha média é sete e a amplitude cinco, logo a imagem é [2,12]. O período é 2π/(π/9)=18 s; o universo observado contém duas voltas.
2. H=9,5 implica 7−5cos(πt/9)=9,5, ou cos(πt/9)=−1/2. Em cada volta, os argumentos são 2π/3 e 4π/3. Assim t=6+18k ou t=12+18k.
3. No intervalo [0,36], k=0 e k=1 servem em cada família: t=6,12,24,30 s. Os dois extremos do universo têm altura dois e não são soluções.
4. H≥9,5 equivale a cos(πt/9)≤−1/2, pois dividir por −5 inverte a comparação. Daí 6+18k≤t≤12+18k. As faixas são [6,12] e [24,30] s, com duração total seis mais seis, doze segundos.
5. O máximo ocorre quando o cosseno é −1: πt/9=π+2kπ, então t=9+18k. No universo, t=9 s e 27 s, com H=12 m. Instantes isolados e duração são respostas de naturezas diferentes.