Arcos e ciclo trigonométrico

1. A medida em radianos é s/r. Se o arco e o raio têm o mesmo comprimento, a razão é um. A unidade não depende de escolher um raio específico.

1. Multiplique 75 por π/180: 75π/180=5π/12. A medida fica entre π/3 e π/2, como 75° fica entre 60° e 90°.

1. Multiplicando por 180/π, obtemos (7π/4)(180/π)=315°. O ângulo fica no IV quadrante.

1. A parte fracionária 0,5° corresponde a 0,5·60=30 minutos de ângulo. Os minutos usam base sessenta.

1. O sinal vale para todo o conjunto: −(12+30/60)=−12,5°. Não se soma meio grau positivo depois de negar apenas doze.

1. A conversão é 2·180/π=360/π graus, aproximadamente 114,59°. Dois radianos não são dois π radianos.

1. Com θ em radianos, s=rθ=4·3π/4=3π cm. O resultado é comprimento, não área.

1. θ=s/r=10/5=2 rad. As unidades de comprimento se cancelam; não é necessário que apareça π no resultado.

1. A=r²θ/2=16·(π/3)/2=8π/3 m². O setor é um sexto do disco de área 16π m².

1. 90°=π/2 rad. Subtraindo áreas: A=(36−4)(π/2)/2=8π cm². A diferença dos quadrados não é o quadrado da diferença dos raios.

1. O sinal registra orientação do giro. O ponto final depende também do tamanho da medida: por exemplo, −270° chega ao topo e tem seno positivo.

1. A diferença precisa ser um número inteiro de voltas, cada uma com 2π rad. O inteiro pode ser positivo, negativo ou zero; meia volta mudaria para o ponto oposto.

1. Subtraia uma volta, 12π/6: 23π/6−12π/6=11π/6, que fica entre zero e 2π. O ponto está no IV quadrante.

1. Some 2π=8π/4: −π/4+8π/4=7π/4. O sinal do giro inicial não é transformado em um módulo; adicionamos uma volta para obter o representante no intervalo.

1. 3π/2 rad são 270°. O ponto é (0,−1) e fica sobre o eixo, uma fronteira entre regiões, não dentro de um quadrante.

1. Os representantes são 2kπ, com k inteiro. Entre os negativos, −2π é o mais próximo de zero. Zero não é estritamente negativo.

1. No ciclo a ordem é horizontal e vertical: P=(cosθ,senθ). A coordenada horizontal é negativa e a vertical positiva, como no II quadrante.

1. O ponto (1,1) tem x²+y²=2, e não um. Os outros três satisfazem a equação do ciclo.

1. 5π/6=150° está no II quadrante, com referência π/6=30°. O módulo é √3/2 e o sinal horizontal é negativo.

1. No ponto (0,1), a razão seno/cosseno tentaria dividir um por zero. Isso não define um número real; não se atribui infinito como valor da tangente.

1. tgθ=y/x=(−12/13)/(−5/13)=12/5. No III quadrante os dois sinais são negativos e o quociente é positivo.

1. O seno é 1/2 nos dois, mas os cossenos são √3/2 e −√3/2. A diferença 2π/3 não é um múltiplo inteiro de 2π.

1. P tem x negativo. Para obter x=1 em λP, o fator λ=1/x precisa ser negativo; o ponto de interseção fica no lado oposto da reta em relação a O. Só x=0 impediria a interseção.

1. sen²θ=1−9/25=16/25. Os dois pontos (3/5,4/5) e (3/5,−4/5) pertencem ao ciclo, portanto a informação fornecida não escolhe o sinal.

1. A diferença direta é 340°, e a abertura pelo outro lado mede 360°−340°=20°. Procuramos a menor abertura, não o giro acumulado de um movimento.

1. Rapidez é v=r|ω|=3·π/2=3π/2 m/s, não negativa. O sinal negativo de ω informa sentido horário e não uma distância percorrida negativa.

$\theta=7\pi/9\text{ rad}$, $s=7\pi\text{ cm}$ e $A=63\pi/2\text{ cm}^2$.

1. Converta 140°: θ=140π/180=7π/9 rad. A abertura é menor que uma volta, então define um setor simples.
2. O arco mede s=rθ=9·7π/9=7π cm.
3. A área é A=r²θ/2=81·(7π/9)/2=63π/2 cm².
4. A fração da volta é 140/360=7/18. A circunferência mede 18π cm e o disco tem área 81π cm²; multiplicar cada um por 7/18 confirma o arco e a área. As unidades de área são quadradas.

$\alpha=7\pi/6$, $\gamma=-5\pi/6$, quadrante III; $\sin\theta=-1/2$, $\cos\theta=-\sqrt3/2$ e $\tan\theta=\sqrt3/3$.

1. Some 6π=36π/6 para obter −29π/6+36π/6=7π/6. Logo θ=2(−3)π+7π/6, com representante α=7π/6.
2. O maior representante negativo é γ=α−2π=7π/6−12π/6=−5π/6. O coeficiente −3 da decomposição não é uma exigência de três voltas físicas completas no giro original.
3. 7π/6=210° fica no III quadrante, com referência π/6. Os dois sinais são negativos: seno −1/2 e cosseno −√3/2.
4. A tangente é (−1/2)/(−√3/2)=1/√3=√3/3, definida porque o cosseno é não nulo.
5. Conferindo: θ−α=−36π/6=−6π, três voltas algébricas negativas de diferença; θ−γ=−24π/6=−4π. Os três representantes terminam no mesmo ponto.

Menor ângulo $2\pi/3\text{ rad}=120^\circ$; arco menor $20\pi/3\text{ m}$; corda $10\sqrt3\text{ m}$.

1. A diferença de direções é 120°, menor que 180°, então δ=2π/3 rad. O outro arco corresponde a 240° e não é o arco menor pedido.
2. O arco menor mede rδ=10·2π/3=20π/3 m, aproximadamente 20,94 m.
3. A corda mede c=2r sen(δ/2)=20 sen60°=10√3 m, aproximadamente 17,32 m.
4. As coordenadas são P=(5√3,5) e Q=(−5√3,5), pois multiplicamos as coordenadas unitárias pelo raio dez. Elas têm a mesma altura; a separação horizontal é 10√3, confirmando a distância retilínea.

$\omega=-\pi/15\text{ rad/s}$, $v=\pi/30\text{ m/s}$; posição final $-5\pi/6$ rad, côngrua a $7\pi/6$; $P=(-\sqrt3/4,-1/4)\text{ m}$; percurso $2\pi/3\text{ m}$.

1. Como T=30 s, o módulo da velocidade angular é 2π/30=π/15 rad/s. O sentido horário exige ω=−π/15. A rapidez é v=0,5·π/15=π/30 m/s.
2. A posição inicial no topo é $\theta_i=\pi/2$. O giro orientado em vinte segundos é Δθ=ω·20=−4π/3; a posição final é $\theta_f=\pi/2-4\pi/3=-5\pi/6$.
3. Somar 2π dá o representante 7π/6, no III quadrante. O ponto unitário é (−√3/2,−1/2). Multiplicar por 0,5 fornece P=(−√3/4,−1/4) m.
4. O percurso conta o giro completo feito nesse intervalo: s=0,5·|−4π/3|=2π/3 m. Também v·20=(π/30)·20=2π/3 m.
5. A mudança desde o topo foi dois terços de volta no sentido horário; isso concorda com o tempo 20/30 de uma volta. Não usamos o representante 7π/6 como se fosse o giro desde o topo.